Precessione

La precessione indotta dalla coppia (precessione giroscopica) è il fenomeno in cui l’asse di un oggetto rotante (ad esempio un giroscopio) descrive un cono nello spazio quando viene applicata una coppia esterna ad esso. Il fenomeno è comunemente visto in un giocattolo rotante, ma tutti gli oggetti rotanti possono subire la precessione. Se la velocità di rotazione e l’entità della coppia esterna sono costanti, l’asse di rotazione si muoverà ad angolo retto rispetto alla direzione che risulterebbe intuitivamente dalla coppia esterna., Nel caso di un top giocattolo, il suo peso agisce verso il basso dal suo centro di massa e la forza normale (reazione) del terreno sta spingendo verso l’alto su di esso nel punto di contatto con il supporto. Queste due forze opposte producono una coppia che provoca la precessione della parte superiore.

Il dispositivo raffigurato a destra (o sopra sui dispositivi mobili) è montato a sospensione cardanica., Dall’interno all’esterno ci sono tre assi di rotazione: il mozzo della ruota, l’asse del giunto cardanico e il perno verticale.

Per distinguere tra i due assi orizzontali, la rotazione attorno al mozzo della ruota sarà chiamata spinning e la rotazione attorno all’asse del giunto cardanico sarà chiamata pitching. La rotazione attorno all’asse di rotazione verticale è chiamata rotazione.

Innanzitutto, immagina che l’intero dispositivo stia ruotando attorno all’asse di rotazione (verticale). Quindi, viene aggiunta la rotazione della ruota (attorno alla rotellasub). Immaginate il giunto cardanico asse per essere bloccato, in modo che la ruota non può passo., L’asse del giunto cardanico ha sensori, che misurano se c’è una coppia attorno all’asse del giunto cardanico.

Nell’immagine, una sezione della ruota è stata denominata dm1. Nel momento raffigurato, la sezione dm1 si trova al perimetro del movimento rotante attorno all’asse di rotazione (verticale)., Sezione dm1, pertanto, ha un sacco di angoli di rotazione velocità rispetto alla rotazione attorno al perno dell’asse, e come dm1 è costretto più vicino all’asse di rotazione (la ruota che gira di più), a causa dell’effetto di Coriolis, rispetto alla verticale asse perno, dm1 tende a muoversi nella direzione superiore sinistro della freccia nel diagramma a 45°) in direzione di rotazione attorno al proprio asse. La sezione dm2 della ruota si sta allontanando dall’asse del perno e quindi una forza (di nuovo, una forza di Coriolis) agisce nella stessa direzione del caso di dm1., Si noti che entrambe le frecce puntano nella stessa direzione.

Lo stesso ragionamento vale per la metà inferiore della ruota, ma lì le frecce puntano nella direzione opposta a quella delle frecce superiori. Combinato su tutta la ruota, c’è una coppia attorno all’asse del giunto cardanico quando viene aggiunta una rotazione alla rotazione attorno ad un asse verticale.

È importante notare che la coppia attorno all’asse del giunto cardanico sorge senza alcun ritardo; la risposta è istantanea.

Nella discussione sopra, la configurazione è stata mantenuta invariata impedendo il pitching attorno all’asse del giunto cardanico., Nel caso di un giocattolo rotante, quando la trottola inizia a inclinare, la gravità esercita una coppia. Tuttavia, invece di rotolare, la trottola si abbassa un po’. Questo movimento di pitching riorienta la trottola rispetto alla coppia che viene esercitata. Il risultato è che la coppia esercitata dalla gravità – attraverso il movimento di pitching-suscita precessione giroscopica (che a sua volta produce una coppia contro la coppia di gravità) piuttosto che causare la trottola a cadere al suo fianco.,

La precessione o le considerazioni giroscopiche hanno un effetto sulle prestazioni della bicicletta ad alta velocità. La precessione è anche il meccanismo dietro le girobussole.

Classical (Newtonian)Edit

La precessione è il cambiamento della velocità angolare e del momento angolare prodotto da una coppia., L’equazione generale che riguarda la coppia di serraggio per il tasso di variazione del momento angolare è:

τ = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}

a Causa del modo in cui la coppia di vettori sono definiti, è un vettore perpendicolare al piano delle forze che lo crea. Quindi si può vedere che il vettore del momento angolare cambierà perpendicolarmente a quelle forze. A seconda di come vengono create le forze, spesso ruotano con il vettore del momento angolare, quindi viene creata la precessione circolare.,ese circostanze, la velocità angolare di precessione è dato da:

ω p = m g r I s ω s = τ I s ω s peccato ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}}

dove È il momento di inerzia, ws è la velocità angolare di rotazione sull’asse di rotazione, m è la massa, g è l’accelerazione di gravità, q è l’angolo tra l’asse di rotazione e l’asse di precessione e r è la distanza tra il centro di massa e il pivot., Il vettore di coppia ha origine al centro di massa. Utilizzando ω = 2π/T, troviamo che il periodo di precessione è dato da:

T p = 4 p 2 I s m o g r T s = 4 π 2 I s peccato ⁡ ( θ ) τ T s {\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}}

Dove È il momento di inerzia, il Ts è il periodo di rotazione sull’asse di rotazione, e τ è la coppia di serraggio. In generale, il problema è più complicato di questo, tuttavia.,

DiscussionEdit

C’è un modo semplice per capire perché la precessione giroscopica si verifica senza utilizzare alcuna matematica. Il comportamento di un oggetto rotante obbedisce semplicemente alle leggi di inerzia resistendo a qualsiasi cambiamento di direzione. Un oggetto rotante possiede una proprietà nota come rigidità nello spazio, il che significa che l’asse di rotazione resiste a qualsiasi cambiamento di orientamento., È l’inerzia della materia che comprende l’oggetto in quanto resiste a qualsiasi cambiamento di direzione che fornisce questa proprietà. Naturalmente, la direzione in cui viaggia questa materia cambia costantemente man mano che l’oggetto gira, ma ogni ulteriore cambiamento di direzione viene resistito. Se una forza viene applicata alla superficie di un disco rotante, ad esempio, la materia non subisce alcun cambiamento di direzione nel punto in cui è stata applicata la forza (o a 180 gradi da quel punto). Ma 90 gradi prima e 90 gradi dopo quel luogo, la materia è costretta a cambiare direzione., Ciò fa sì che l’oggetto si comporti come se la forza fosse stata applicata in quei punti. Quando una forza viene applicata a qualsiasi cosa, l’oggetto esercita una forza uguale indietro ma nella direzione opposta. Poiché nessuna forza effettiva è stata applicata 90 gradi prima o dopo, nulla impedisce che la reazione abbia luogo e l’oggetto si muove in risposta. Un buon modo per visualizzare il motivo per cui ciò accade è immaginare che l’oggetto rotante sia una grande ciambella vuota piena d’acqua, come descritto nel libro Thinking Physics di Lewis Epstein. La ciambella è tenuta ferma mentre l’acqua circola al suo interno., Come la forza viene applicata, l’acqua all’interno è causato a cambiare direzione 90 gradi prima e dopo quel punto. L’acqua esercita quindi la propria forza contro la parete interna della ciambella e fa ruotare la ciambella come se la forza fosse applicata di 90 gradi in avanti nella direzione di rotazione. Epstein esagera il movimento verticale e orizzontale dell’acqua cambiando la forma della ciambella da rotonda a quadrata con angoli arrotondati.

Ora immagina che l’oggetto sia una ruota di bicicletta che gira, tenuta ad entrambe le estremità del suo asse nelle mani di un soggetto., La ruota gira in senso orario come si vede da uno spettatore alla destra del soggetto. Le posizioni dell’orologio sulla ruota sono date rispetto a questo visualizzatore. Mentre la ruota gira, le molecole che la compongono viaggiano esattamente in orizzontale e verso destra nell’istante in cui passano la posizione a ore 12. Quindi viaggiano verticalmente verso il basso nell’istante in cui passano a ore 3, orizzontalmente a sinistra a ore 6, verticalmente verso l’alto a ore 9 e orizzontalmente di nuovo a destra a ore 12. Tra queste posizioni, ogni molecola viaggia componenti di queste direzioni., Ora immagina lo spettatore che applica una forza al bordo della ruota a ore 12. Per questo esempio, immagina la ruota che si inclina quando viene applicata questa forza; si inclina a sinistra come si vede dal soggetto che la tiene al suo asse. Mentre la ruota si inclina nella sua nuova posizione, le molecole a ore 12 (dove è stata applicata la forza) e quelle a ore 6, viaggiano ancora orizzontalmente; la loro direzione non cambia mentre la ruota si inclina. Né la loro direzione è diversa dopo che la ruota si è sistemata nella sua nuova posizione; si muovono ancora orizzontalmente nell’istante in cui passano le ore 12 e 6., MA le molecole che passavano alle 3 e alle 9 sono state costrette a cambiare direzione. Quelli a ore 3 sono stati costretti a cambiare dal movimento dritto verso il basso, verso il basso e verso destra, come visto dal soggetto che tiene la ruota. Le molecole che passavano alle 9 sono state costrette a cambiare dal movimento dritto verso l’alto, verso l’alto e verso sinistra. Questo cambiamento di direzione è resistito dall’inerzia di quelle molecole. E quando sperimentano questo cambiamento di direzione, esercitano una forza uguale e opposta in risposta A QUELLE POSIZIONI-3 E 9 IN PUNTO., Alle 3, dove sono stati costretti a cambiare da muoversi verso il basso verso il basso e verso destra, esercitano la propria forza reattiva uguale e opposta a sinistra. A ore 9, esercitano la propria forza reattiva verso destra, vista dal soggetto che tiene la ruota. Ciò rende la ruota nel suo complesso reagire ruotando momentaneamente in senso antiorario come visto direttamente dall’alto. Pertanto, poiché la forza è stata applicata a ore 12, la ruota si è comportata come se quella forza fosse stata applicata a ore 3, che è avanti di 90 gradi nella direzione di rotazione., Oppure, si può dire che si è comportato come se una forza dalla direzione opposta fosse applicata a ore 9, 90 gradi prima della direzione di rotazione.

In sintesi, quando si applica una forza a un oggetto rotante per cambiare la direzione del suo asse di rotazione, non si cambia la direzione della materia che comprende l’oggetto nel punto in cui è stata applicata la forza (né a 180 gradi da esso); la materia subisce zero cambiamenti di direzione in quei punti. La materia sperimenta il massimo cambiamento di direzione 90 gradi prima e 90 gradi oltre quel luogo, e quantità minori più vicine ad essa., La reazione uguale e opposta che si verifica a 90 gradi prima e dopo fa sì che l’oggetto si comporti come fa. Questo principio è dimostrato negli elicotteri. I comandi dell’elicottero sono truccati in modo che gli input a loro siano trasmessi alle pale del rotore ai punti 90 gradi prima e 90 gradi oltre il punto in cui il cambiamento nell’atteggiamento degli aerei è desiderato. L’effetto è drammaticamente sentito sulle motociclette. Una moto improvvisamente magra e girare nella direzione opposta le barre della maniglia sono girate.,

La precessione del giroscopio causa un altro fenomeno per la rotazione di oggetti come la ruota di bicicletta in questo scenario. Se il soggetto che tiene la ruota rimuove una mano da un’estremità del suo asse, la ruota non si rovescierà, ma rimarrà in posizione verticale, sostenuta solo all’altra estremità. Tuttavia, assumerà immediatamente un movimento aggiuntivo; inizierà a ruotare su un asse verticale, ruotando nel punto di appoggio mentre continua a girare. Se hai permesso alla ruota di continuare a ruotare, dovresti girare il tuo corpo nella stessa direzione della ruota ruotata., Se la ruota non girava, sarebbe ovviamente rovesciarsi e cadere quando una mano viene rimossa. L’azione iniziale della ruota che inizia a rovesciarsi equivale ad applicare una forza ad essa a ore 12 nella direzione verso il lato non supportato (o una forza a ore 6 verso il lato supportato). Quando la ruota gira, l’improvvisa mancanza di supporto ad un’estremità del suo asse equivale a questa stessa forza. Quindi, invece di rovesciarsi, la ruota si comporta come se ad essa venisse applicata una forza continua a ore 3 o 9, a seconda della direzione di rotazione e di quale mano è stata rimossa., Ciò fa sì che la ruota inizi a ruotare all’estremità supportata del suo asse rimanendo in posizione verticale. Anche se ruota in quel punto, lo fa solo a causa del fatto che è supportato lì; l’asse reale di rotazione precessionale si trova verticalmente attraverso la ruota, passando attraverso il suo centro di massa. Inoltre, questa spiegazione non tiene conto dell’effetto della variazione della velocità dell’oggetto di rotazione; illustra solo come si comporta l’asse di rotazione a causa della precessione., Più correttamente, l’oggetto si comporta in base al bilanciamento di tutte le forze in base alla grandezza della forza applicata, alla massa e alla velocità di rotazione dell’oggetto. Una volta visualizzato il motivo per cui la ruota rimane in posizione verticale e ruota, si può facilmente vedere perché l’asse di una trottola ruota lentamente mentre la parte superiore gira come mostrato nell’illustrazione in questa pagina. Un top si comporta esattamente come la ruota della bicicletta a causa della forza di gravità che tira verso il basso. Il punto di contatto con la superficie su cui gira è equivalente all’estremità dell’asse su cui è sostenuta la ruota., Mentre la rotazione della parte superiore rallenta, la forza reattiva che la mantiene in posizione verticale a causa dell’inerzia viene superata dalla gravità. Una volta visualizzata la ragione della precessione del giroscopio, le formule matematiche iniziano ad avere senso.

Relativistica (Einsteiniana)Modifica

Le teorie speciali e generali della relatività forniscono tre tipi di correzioni alla precessione newtoniana, di un giroscopio vicino a una grande massa come la Terra, descritta sopra. Sono:

• Precessione di Thomas, una correzione relativistica speciale che rappresenta un oggetto (come un giroscopio) accelerato lungo un percorso curvo.,
• precessione di de Sitter, una correzione generale-relativistica che rappresenta la metrica di Schwarzschild dello spazio curvo vicino a una grande massa non rotante.
• Precessione Lense–Thirring, una correzione generale-relativistica che rappresenta il trascinamento del fotogramma dalla metrica di Kerr dello spazio curvo vicino a una grande massa rotante.