Background teorico
Sommario
Introduzione
La trave a sbalzo è una delle strutture più semplici. È dotato di un solo supporto, ad una delle sue estremità. Il supporto è un cosiddetto supporto fisso che inibisce tutti i movimenti, compresi gli spostamenti verticali o orizzontali e le eventuali rotazioni. L’altra estremità non è supportata e quindi è libera di muoversi o ruotare. Questa estremità libera è spesso chiamata la punta del cantilever.,
la Rimozione dell’assedio di supporto o di inserimento di una cerniera interna, renderebbe il cantilever beam in un meccanismo: un corpo si muove senza limitazioni in una o più direzioni. Questa è una situazione indesiderata per una struttura di carico. Di conseguenza, la trave a sbalzo non offre ridondanza in termini di supporti. Se si verifica un errore locale, l’intera struttura collasserebbe., Questo tipo di strutture, che non offrono ridondanza, sono chiamate strutture critiche o determinanti. Al contrario, una struttura che presenta più supporti di quelli necessari per limitare i suoi movimenti liberi è chiamata struttura ridondante o indeterminata. La trave a sbalzo è una struttura determinante.
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Ipotesi
L’analisi statica di qualsiasi struttura portante comporta la stima delle sue forze e momenti interni, nonché delle sue deflessioni., Tipicamente, per una struttura piana, con carico in piano, le azioni interne di interesse sono la forza assiale N, la forza di taglio trasversale V e il momento flettente M . Per una trave a sbalzo che trasporta solo carichi trasversali, la forza assiale è sempre zero, a condizione che le deflessioni siano piccole. Pertanto è piuttosto comune trascurare le forze assiali.,
I risultati calcolati in questa pagina sono basati sulle seguenti ipotesi:
- Il materiale è omogeneo e isotropo (in altre parole, le sue caratteristiche sono le stesse, sempre punto e verso qualsiasi direzione)
- Il materiale è elastico lineare
- I carichi sono applicati in maniera statica (non cambia con il tempo)
- La sezione trasversale è lo stesso per tutta la lunghezza della trave
- Le deformazioni sono piccole
- Ogni sezione che, inizialmente, il piano e anche normale all’asse longitudinale, rimane aereo e normale all’asse deviato troppo., Questo è il caso quando l’altezza della sezione trasversale è abbastanza inferiore alla lunghezza del raggio (10 volte o più) e anche la sezione trasversale non è multistrato (non una sezione di tipo sandwich).
Le ultime due ipotesi soddisfano i requisiti cinematici per la teoria del fascio di Eulero Bernoulli che viene adottata anche qui.
Convenzione del segno
Per il calcolo delle forze e dei momenti interni, in qualsiasi sezione tagliata della trave, è necessaria una convenzione del segno., Le seguenti sono adottate qui:
- La forza assiale è considerata positiva quando provoca tensione alla parte
- La forza di taglio è positiva quando provoca una rotazione in senso orario della parte.
- Il momento flettente è positivo quando provoca tensione alla fibra inferiore del fascio e compressione alla fibra superiore.
Queste regole, sebbene non obbligatorie, sono piuttosto universali. Un diverso insieme di regole, se seguite in modo coerente, produrrebbe anche gli stessi risultati fisici.,e, V, e del momento flettente, M
Simboli
- E : il materiale modulo di elasticità (modulo di Young)
- I : il momento di inerzia della sezione trasversale attorno all’elastico asse neutro della flessione
- L : la somma della lunghezza della trave
- R : supporto di reazione
- d : flessione
- M : momento flettente
- V : trasversale forza di taglio
- \theta : pendenza
Cantilever beam con carico distribuito uniforme
Il carico w è distribuito in tutto il cantilever span, essendo costante la grandezza e la direzione., Le sue dimensioni sono forza per lunghezza. La quantità totale di forza applicata alla trave a sbalzo è W=w L, dove L la lunghezza della trave. Può essere data la forza totale W o la forza distribuita per lunghezza w, a seconda delle circostanze.
La seguente tabella contiene le formule che descrivono la risposta statica del fascio a sbalzo sotto un carico distribuito uniforme w .
PUBBLICITÀ
Trave a sbalzo con forza puntiforme sulla punta
La forza è concentrata in un singolo punto, situato all’estremità libera della trave., In pratica, tuttavia, la forza può essere distribuita su una piccola area, sebbene le dimensioni di questa area dovrebbero essere sostanzialmente inferiori alla lunghezza a sbalzo. Nelle immediate vicinanze dell’applicazione della forza, si prevedono concentrazioni di stress e come risultato la risposta prevista dalla teoria classica del fascio è forse imprecisa. Questo è solo un fenomeno locale tuttavia. Mentre ci allontaniamo dalla posizione della forza, i risultati diventano validi, in virtù del principio di Saint-Venant.,
La seguente tabella contiene le formule che descrivono la risposta statica del fascio a sbalzo sotto una forza puntiforme concentrata P , imposta alla punta.
Trave a sbalzo con forza puntiforme in posizione casuale
La forza è concentrata in un singolo punto, in qualsiasi punto della lunghezza a sbalzo. In pratica, tuttavia, la forza può essere distribuita su una piccola area. Per considerare la forza concentrata, tuttavia, le dimensioni dell’area di applicazione dovrebbero essere sostanzialmente inferiori alla lunghezza del raggio., Nelle immediate vicinanze della forza, si prevedono concentrazioni di stress e come risultato la risposta prevista dalla teoria classica del fascio forse imprecisa. Questo è solo un fenomeno locale, tuttavia, e mentre ci allontaniamo dalla posizione della forza, la discrepanza dei risultati diventa trascurabile.
La tabella seguente contiene le formule che descrivono la risposta statica del fascio a sbalzo sotto una forza puntiforme concentrata P , imposta ad una distanza casuale a dal supporto fisso.,
Trave a sbalzo con momento punto
In questo caso, un momento viene imposto in un singolo punto della trave, in qualsiasi punto della campata. In termini pratici, potrebbe essere una coppia di forze, o un membro in torsione, collegato fuori dal piano e perpendicolare al raggio.
In ogni caso, l’area di applicazione del momento dovrebbe diffondersi su una piccola lunghezza del cantilever, in modo che possa essere idealizzata con successo come momento concentrato in un punto., Sebbene nelle immediate vicinanze dell’area di applicazione, i risultati previsti attraverso la teoria classica del fascio dovrebbero essere imprecisi (a causa di concentrazioni di stress e altri effetti localizzati), i risultati previsti diventano perfettamente validi, quando ci allontaniamo, come affermato dal principio di Saint-Venant.
La seguente tabella contiene le formule che descrivono la risposta statica del fascio a sbalzo sotto un momento punto concentrato M , imposto ad una distanza a dal supporto fisso.,
Trave a sbalzo con carico distribuito variabile
Il carico è distribuito su tutta la lunghezza a sbalzo, avendo grandezza linearmente variabile, a partire da w_1 al supporto fisso, a w_2 all’estremità libera. Le dimensioni di w_1 e w_2 sono forza per lunghezza. La quantità totale di forza applicata alla trave è W={L \ over2} (w_1 + w_2), dove L la lunghezza a sbalzo.
I valori di w_1 e w_2 possono essere liberamente assegnati. Non è obbligatorio che il primo sia più piccolo del secondo. Possono assumere anche valori negativi (uno o entrambi).,
Se w_1=0 , le formule nella tabella seguente corrispondono a un carico distribuito triangolare, con grandezza crescente (picco alla punta).
Se w_2=0 , le formule della tabella seguente corrispondono ad un carico distribuito triangolare, con grandezza decrescente (picco al supporto fisso).
La seguente tabella contiene le formule che descrivono la risposta statica della trave a sbalzo sotto un carico distribuito variabile, di forma trapezoidale.,
Trave a sbalzo con distribuzione del carico trapezoidale a lastra
Questa distribuzione del carico è tipica delle travi a sbalzo che sostengono una lastra. La distribuzione si presenta come un trapezio destro, con una parte crescente vicina al supporto fisso e una parte costante, con grandezza pari a w , alla lunghezza rimanente, fino alla punta. Le dimensioni di w sono forza per lunghezza. La quantità totale di forza applicata alla trave è W=w (L-a/2) , dove, L , è la lunghezza a sbalzo e, a , è la lunghezza vicino al supporto fisso, dove la distribuzione del carico è variabile (triangolare).,
La seguente tabella contiene le formule che descrivono la risposta statica della trave a sbalzo sotto una distribuzione di carico trapezoidale, dovuta a una lastra, come illustrato nello schema sopra.
Trave a sbalzo con carico uniforme parzialmente distribuito
Il carico viene distribuito su una parte della lunghezza a sbalzo, con grandezza costante w , mentre la lunghezza rimanente viene scaricata. Le dimensioni di w sono forza per lunghezza., La quantità totale di forza applicata alla trave è W = w \ left (L-a-b\right) , dove L la lunghezza a sbalzo e a , b le lunghezze scaricate sul lato sinistro e destro della trave, rispettivamente.
La seguente tabella contiene le formule che descrivono la risposta statica del fascio a sbalzo sotto un carico uniforme parzialmente distribuito.
Trave a sbalzo con carico trapezoidale parzialmente distribuito
Il carico viene distribuito su una parte della lunghezza a sbalzo, con grandezza linearmente variabile da w_1 a w_2 , mentre la lunghezza rimanente viene scaricata., Le dimensioni di w_1 e w_2 sono forza per lunghezza. La quantità totale di forza applicata alla trave è W={L-a-b \ over2} (w_1 + w_2), dove L la lunghezza della trave e a, b le lunghezze scaricate sul lato sinistro e destro della trave rispettivamente.
I valori di w_1 e w_2 possono essere liberamente assegnati. Non è obbligatorio che il primo sia più piccolo del secondo. Possono assumere anche valori negativi (uno o entrambi).
Questo è il caso più generico., Le formule per carichi uniformi e triangolari parzialmente distribuiti possono essere derivate impostando in modo appropriato i valori di w_1 e w_2 . Inoltre, i rispettivi casi per span a pieno carico, possono essere derivati impostando a e b a zero.
La seguente tabella contiene le formule che descrivono la risposta statica della trave a sbalzo sotto un carico trapezoidale parzialmente distribuito.,
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