Øl–Lambert loven

Anta at en lysstråle som går inn i et materiale som eksempel. Angi z som en akse parallelt med retningen av strålen. Dele materialet eksempel i tynne skiver, vinkelrett på strålen av lys, med tykkelse dz tilstrekkelig liten for at en partikkel i en skive kan ikke skjule en annen partikkel i samme skive når de ses langs z-retning., Strålende flux av lys som kommer fra en skive er redusert, sammenlignet med lys som kom inn, ved dΦe(z) = −μ(z)Φe(z) dz, der μ er den (Napierian) demping-koeffisienten, som gir følgende første-ordens lineære ODE:

d Φ e ( z ) d z = − μ ( z ) Φ e ( z ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z).}

Den demping er forårsaket av fotoner som ikke gjorde det til den andre siden av stykket på grunn av spredning eller absorpsjon.,lution til dette differensial ligningen beregnes ved å multiplisere den integrerende faktoren

e ∫ 0 μ z ( z ‘) d z ‘{\displaystyle e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}}

gjennom å skaffe

d Φ e ( z ) d z e ∫ 0 μ z ( z ‘) d z ‘ + μ ( z ) Φ e ( z ) e ∫ 0 μ z ( z ‘) d z ‘= 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}+\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}=0,}

som forenkler fordi produktet regel (brukt bakover) for å

d d z ( Φ e ( z ) e ∫ 0 μ z ( z ‘) d z ‘ ) = 0., {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\bigl (}\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}{\bigr )}=0.}

å Integrere begge sider, og løse for Φe for et materiale av fast tykkelse står, med hendelsen strålende flux på skive Φei = Φe(0) og overføres strålende flux Φet = Φe(står ) gir

Φ e t = Φ e i e − ∫ 0 står μ ( z ) d z , {\displaystyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }=\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }\,e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z},}

og til slutt

T = Φ e t Φ e i = e − ∫ 0 står μ ( z ) d z ., {\displaystyle T={\frac {\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }}}=e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z}.}

Siden decadic demping koeffisient μ10 er knyttet til (Napierian) demping koeffisient av μ10 = μ/ln 10, man må også ha

T = e − ∫ 0 står ln ⁡ 10 μ 10 ( z ) d z = ( e − ∫ 0 står μ 10 ( z ) d z ) ln ⁡ 10 = 10 − ∫ 0 står μ 10 ( z ) d z . {\displaystyle T=e^{-\int _{0}^{\ell }\ln {10}\,\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}={\bigl (}e^{-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}{\bigr )}^{\ln {10}}=10^{-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}.,}

for Å beskrive demping koeffisient på en måte som er uavhengig av antall tettheter ni av N dempe arter av materialet eksempel, en innfører demping tverrsnitt σi = µi(z)/ni(z). σi har dimensjon av et område; det uttrykker sannsynligheten for samhandling mellom partikler i bredde og partikler i natura jeg i materialet eksempel:

T = e − ∑ i = 1 N σ jeg ∫ 0 står n i ( z ) d z . {\displaystyle T=e^{-\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z}.,}

En kan også bruke molar demping koeffisienter ei = (NA/ln 10)σi, der NA er det Avogadro konstant, for å beskrive den demping koeffisient på en måte som er uavhengig av mengden konsentrasjoner ci(z) = ni(z)/NA av dempe arter av materialet eksempel:

T = e − ∑ i = 1 N ln ⁡ 10 N A ε jeg ∫ 0 står n i ( z ) d z = ( e − ∑ i = 1 N ε jeg ∫ 0 står n i ( z ) N A d z ) ln ⁡ 10 = 10 − ∑ i = 1 N ε jeg ∫ 0 ligger p i ( z ) d z ., {\displaystyle {\begin{justert}T=e^{-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\ln {10}}{\mathrm {N_{A}} }}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z}=\\{\Bigl (}e^{-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }{\frac {n_{i}(z)}{\mathrm {N_{A}} }}\mathrm {d} z}{\Bigr )}^{\ln {10}}=10^{-\summen _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i}(z)\mathrm {d} z}.\end{justert}}}

De ovennevnte forutsetning om at demping tverrsnitt er additiv er vanligvis feil siden elektromagnetisk kopling oppstår hvis avstander mellom absorberende enheter er små.,

avledning av konsentrasjonen avhengighet av absorbans er basert på elektromagnetisk teori. Følgelig, den makroskopiske polarisering av et medium P {\displaystyle P} stammer fra den mikroskopiske dipol øyeblikk p {\displaystyle p} i fravær av interaksjon i henhold til

P = N p {\displaystyle P=N\ s\ }

hvor p {\displaystyle p} er dipolmoment og N {\displaystyle N} antall fanger enheter per enhet volum., På den annen side, makroskopiske polarisering er gitt ved:

P = ( ε r − 1 ) ⋅ ε 0 ⋅ E {\displaystyle P=(\varepsilon _{r}-1)\cdot \varepsilon _{0}\cdot E}

Her ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} representerer den relative dielektrisk funksjon, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} vakuum permittivity og E {\displaystyle E} det elektriske feltet.,_{r}=1+c{\frac {N_{A}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}} n ^ = 1 + c N A ⋅ α ε 0 {\displaystyle {\hat {n}}={\sqrt {1+c{\frac {N_{A}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}}}} k = c N A ⋅ α » 2 ε 0 {\displaystyle k=p{\frac {N_{A}\cdot \alpha «}{2\varepsilon _{0}}}} A = 2 π ( log 10 ⁡ e ) N A α » λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\logg _{10}e)N_{A}\alpha «}{\lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}

Som en konsekvens av dette, lineær sammenheng mellom konsentrasjon og absorbans er generelt en tilnærming, og har spesielt bare for små polarisabilities og svake absorptions, jeg.,e. oscillator styrker.,oduce tilnærming √ ( 1 + x ) ≈ 1 + x / 2 {\displaystyle \surd (1+x)\ca 1+x/2} , og benytter i stedet følgende forhold mellom den imaginære delen av den relative dielektrisk funksjon og indeks for brytning og absorpsjon ε r » = 2 n k {\displaystyle \varepsilon _{r}»=2nk} kan det sees at molar demping koeffisient avhengig av indeksen for brytning (som er selve konsentrasjon avhengige):

A = 2 π ( log 10 ⁡ e ) N A α » n ⋅ λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\logg _{10}e)N_{A}\alpha «}{n\cdot \lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}