Finite Element Metode – Hva Er Det? FEM og FEA Forklart

The finite element method (FEM) er en numerisk teknikk som brukes til å utføre finite element analysis (FEA) av en gitt fysisk fenomen.

Det er nødvendig å bruke matematikk til å gjøre en omfattende forstå og kvantifisere alle fysiske fenomener, slik som strukturelle eller væske atferd, termisk transport, bølgeutbredelse, og veksten av biologiske celler. De fleste av disse prosessene er beskrevet ved hjelp av partielle differensialligninger (PDEs)., Men for en datamaskin for å løse disse PDEs, numeriske teknikker har blitt utviklet over de siste tiårene, og en av de mest fremtredende i dag er finite element metoden.,

Finite Element Metoden Anvendelser av Finite Element Method

Finite element metoden i gang med store løftet i modellering av flere mekaniske programmer knyttet til romfart og byggeteknikk. Anvendelser av finite element metoden er først nå begynner å nå sitt potensial., En av de mest spennende prospekter er dets anvendelse i kombinert problemer, som for eksempel fluid-struktur interaksjon, termomekaniske, thermochemical, termo-kjemoterapi-mekaniske problemer, biomekanikk, biomedical engineering, piezoelektriske, ferroelektriske og elektromagnetisme.

Det har vært mange alternative metoder som er foreslått i de siste tiår, men deres kommersielle anvendelsen er ennå ikke bevist. Kort sagt, FEM har bare laget en blip på radaren!

Før du starter med differensialligninger, er det viktig å lese artikkelen om FEA programvare i SimWiki., Det begynner med det grunnleggende, og gradvis utvikler seg til differensialligninger.

FEM Ligninger Partielle Differensialligninger

for det Første, det er viktig å forstå de ulike sjanger av PDEs og deres egnethet for bruk med FEM. Å forstå dette er spesielt viktig for alle, uavhengig av motivasjonen for bruk av finite element analysis. Det er viktig å huske at FEM er et verktøy, og noen verktøy er bare så god som sin bruker.

PDEs kan kategoriseres som elliptiske, hyperbolske og parabolske., Når du skal løse disse partielle differensiallikninger, rand og/eller initial betingelser må være gitt. Basert på typen av PDE, nødvendig innganger kan evalueres. Eksempler på PDEs i hver kategori omfatter Poisson ligning (elliptiske), Bølge-ligningen (hyperbolske), og Fourier-loven (parabel).

Det er to viktigste tilnærminger til å løse elliptic PDEs, nemlig endelig forskjellen metoder (FDM) og variational (eller energi) metoder. FEM faller i den andre kategorien. Variational tilnærminger er først og fremst basert på filosofien om energy minimering.,

Hyperbolske PDEs er ofte forbundet med hopp i løsninger. For eksempel, bølge-ligningen er en hyperbolsk PDE. På grunn av eksistensen av discontinuities (eller hopp) i løsninger, den opprinnelige FEM-teknologi (eller Bubnov-Galerkin Metode) ble antatt å være uegnet for å løse hyperbolske PDEs. Imidlertid, over år, modifikasjoner har blitt utviklet for å utvide anvendelsen av FEM teknologi.

Før du avslutter denne diskusjonen, er det nødvendig å vurdere konsekvensene av å bruke en numerisk rammeverk som er egnet for den typen av PDE., Slik bruk fører til løsninger som er kjent som «feil stilt.»Dette kunne bety at små endringer i regelverket for parametere føre til store svingninger i løsninger, eller at løsninger finnes bare i en bestemt del av domene eller tid, noe som ikke er pålitelig. Godt stilt explications er definert som de der en unik løsning finnes kontinuerlig for den definerte data. Derfor, med tanke på pålitelighet, det er svært viktig for å få godt stilt løsninger.,

Last ned vår » Tips for Arkitektur, Engineering & – Bygg og anlegg (AEC) » hvitt papir for å lære hvordan å optimalisere design!

FEM Prinsippet om Energy Minimering

Hvordan gjør FEM fungerer? Hva er den primære drivkraften? Prinsippet om minimering av energi utgjør det primære ryggraden i finite element metoden. Med andre ord, når en bestemt grense tilstanden er brukt til en kropp, kan dette føre til flere konfigurasjoner, men likevel bare en bestemt konfigurasjon er realistisk mulig eller oppnådd., Selv når simuleringen er utført flere ganger, med samme resultat som er gjeldende. Hvorfor er det slik?

Dette er styrt av prinsippet om minimering av energi. Den sier at når en grense tilstand (som vekt eller force) er tatt i bruk, av mange mulige konfigurasjoner at kroppen kan ta, bare at konfigurasjonen der den totale energien er minimum er den som er valgt.,

Finite Element Metoden History of the Finite Element Method

Teknisk, avhengig av ens perspektiv, FEM kan sies å ha hatt sin opprinnelse i arbeidet med Euler, så tidlig som i det 16. århundre. Men de tidligste matematiske papers på FEM kan bli funnet i verk av Schellback og Courant .

FEM ble utviklet uavhengig av ingeniører for å løse strukturell mekanikk problemer knyttet til romfart og byggeteknikk. Utviklingen begynte i midten av 1950-tallet med papirer av Turner, Clough, Martin, og Topp , Argyris , og Babuska og Aziz ., Bøker av Zienkiewicz og Strang, og Fix også lagt grunnlaget for fremtidig utvikling i FEM.

En interessant gjennomgang av disse historiske utviklingen kan bli funnet i Oden . En gjennomgang av FEM utvikling i løpet av de siste 75 år kan bli funnet i denne blogg-artikkel: 75 År av Finite Element Metoden.

Teknisk FEM Teknisk Oversikt over Finite Element Metode

Finite element metoden er i seg selv et semester kurs. I denne artikkelen gir en kortfattet beskrivelse av mekanismen av FEM er beskrevet. Vurdere en enkel 1-D problem å skildre de ulike stadiene som er involvert i FEA.,

Svak Form

En av de første trinnene i FEM er å identifisere PDE forbundet med fysisk fenomen. PDE (eller differensial form) er kjent som den sterke form og integrert form er kjent som den svake form. Vurdere enkle PDE som vist nedenfor. Ligningen er multiplisert med en rettssak funksjon v(x) på begge sider, og er integrert med domenet .,

Nå, ved hjelp av integrering av deler, den LHS av ligningen over kan bli redusert til

Som det kan sees, rekkefølgen av kontinuitet er nødvendig for den ukjente funksjonen u(x) er redusert med én. Den tidligere differential equation kreves u(x) for å være differensiable minst to ganger mens integrert ligning, krever det å være differensiable bare én gang., Det samme er sant for multi-dimensjonale funksjoner, men derivater er erstattet av graderinger og divergens.

Uten å gå inn i matematikken, og Riesz representasjon teorem kan bevise at det er en unik løsning for u(x) for integrert og dermed differensial form. I tillegg, hvis f(x) er glatt, det sikrer også at u(x) er glatt.

Discretization

Når integrert eller svak form har blitt satt opp, er det neste trinnet er discretization av den svake form., Integrert form må løses numerisk og dermed integreringen er konvertert til en sum som kan beregnes numerisk. I tillegg, en av de viktigste målene for discretization er også å konvertere integrert form til et sett av matrix ligninger som kan løses ved hjelp av kjente teorier av matrise algebra.

Som vist i Fig., 03, domenet er delt inn i små biter kjent som «elementer» og hjørnepunkt av hvert element er kjent som en «node». Den ukjente funksjonelle u(x) er beregnet på nodal poeng. Interpolering funksjonene er definert for hvert element for å interpolere, for verdier inne i elementet, ved hjelp av-nodal verdier. Disse interpolering funksjoner er også ofte referert til som form eller ansatz funksjoner., Dermed ukjent funksjonelle u(x) kan bli redusert til

hvor nen er antall noder i det elementet, Ni og ui er interpolert funksjon og ukjente forbundet med node jeg, henholdsvis., skjemaet kan bli omskrevet som

summering ordninger kan bli forvandlet til matrix produkter og kan bli omskrevet som

Den svake form kan nå bli redusert til en matrise form {u} = {f}

Merk ovenfor at den tidligere rettssaken funksjon v(x) det hadde blitt multiplisert finnes ikke lenger i den resulterende matrisen ligningen., Også her er kjent som stivhetsmatrise, {u} er vektoren av-nodal ukjente, og {R} er rester av vektor. Videre, ved å bruke numerisk integrasjon ordninger, som Gauss eller Newton-Cotes kvadratur, den integrasjoner i svak form som danner tangent stivhet og gjenværende vector er også håndteres lett.

mye matematikk er involvert i beslutningen om å velge interpolering funksjoner, som krever kunnskap om funksjonelle områder (for eksempel Hilbert og Sobolev). For mer detaljer i denne forbindelse, referansene i artikkelen «Hvordan Kan jeg Lære Finite Element Analysis?,»anbefales.

Solvers

Når matrix ligninger har blitt etablert, ligninger er gitt videre til en solver til å løse den system av ligninger. Avhengig av type problem, direkte og iterativ solvers er vanligvis brukt. En mer detaljert oversikt over solvers og hvordan de fungerer, samt tips om hvordan å velge mellom dem, er tilgjengelig i blogg-artikkel «Hvordan Velge Solvers: Direkte eller Iterativ?,»

Typer av FEM Ulike Typer av Finite Element Method

Som nevnt tidligere, tradisjonell FEM teknologi har vist svakheter i modellering problemer knyttet til fluidmekanikk og bølgeutbredelse. Flere forbedringer har blitt gjort nylig for å forbedre løsningen prosessen og utvide anvendelsen av finite element analysis til et bredt spekter av problemer., Noen av de viktigste fortsatt blir brukt er:

Utvidet Finite Element Metoden (XFEM)

Bubnov-Galerkin metoden krever kontinuitet i vekt over elementer. Selv om problemer som kontakt, brudd og skade innebære discontinuities og hopper som ikke kan bli direkte behandlet av finite element metoden. For å overvinne denne brist, XFEM ble født i 1990. XFEM fungerer gjennom utvidelse av formen funksjoner med Heaviside trinn funksjoner. Ekstra grader av frihet er tilordnet til nodene rundt punktet av diskontinuitet, slik at hoppene kan bli vurdert.,

Generalisert Finite Element Metoden (GFEM)

GFEM ble lansert rundt samme tid som XFEM på 90-tallet. Den kombinerer funksjonene til den tradisjonelle FEM og meshless metoder. Form funksjoner er først og fremst definert av den globale koordinater og videre multiplisert med partisjon-av-enhet til å opprette lokale elementær form funksjoner. En av fordelene med GFEM er forebygging av re-modellering rundt singularities.

Blandet Finite Element Metode

I flere problemer, for eksempel kontakt eller incompressibility, begrensninger som er pålagt å bruke Lagrange multiplikatorer., Disse ekstra grader av frihet fremkommer fra Lagrange multiplikatorer løses uavhengig av hverandre. Den system av ligninger er løst som et kombinert system av ligninger.

hp-Finite Element Metode

hp-FEM er en kombinasjon av automatiske mesh foredling (h-foredling), og en økning i den rekkefølgen av polynom (s-foredling). Dette er ikke det samme som å gjøre t – og p – forbedringer separat. Når automatisk hp-foredling er brukt, og et element er delt opp i mindre elementer (h-foredling), og hvert element kan ha ulike polynom bestillinger som godt.,

Usammenhengende Galerkin Finite Element Metoden (DG-FEM)

DG-FEM har vist store løftet for å utnytte ideen om begrensede elementer for å løse hyperbolske ligninger, hvor tradisjonelle finite element metoder har vært svak. I tillegg har det også vist forbedringer i bøying og inkompressible problemer som vanligvis observeres i de fleste materielle prosesser. Her, ytterligere begrensninger er lagt til den svake form som inkluderer en straff parameteren (for å hindre interpenetration) og vilkårene for andre likevekt av spenninger mellom elementene.,

FEM Konklusjon

– Vi håper denne artikkelen har dekket svar på viktige spørsmål om hva som er finite element metoden. Hvis du ønsker å se det i praksis, SimScale tilbyr muligheten til å gjennomføre finite element analyser i nettleseren. Å oppdage alle de funksjonene som tilbys av de SimScale cloud-basert simulering-plattformen last ned denne oversikten, eller se opptak av en av våre nettkurs.

Materialer for å komme i gang med SimScale kan bli funnet i blogg-artikkel «9 læringsressurser for å Komme i Gang med Prosjektering Simulering».,