Fourier-analyse (Norsk)

(Kontinuerlig) Fourier transformEdit

de Fleste ofte, ubetinget sikt Fourier transform refererer til transformeringen av funksjoner av en kontinuerlig virkelige argumentet, og det produserer en kontinuerlig funksjon av frekvens, kjent som en frekvens fordeling. En funksjon er forvandlet til en annen, og operasjonen er reversibel., Når domenet av-inngang (første) – funksjonen tid (t), og domenet av utgang (endelig) funksjonen er vanlig frekvens, transformeringen av funksjonen s(t) ved frekvens f er gitt ved komplekse tall:

S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) ⋅ e − i 2 π f t l t . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi m}\,dt.}

Evaluering av dette kvantum for alle verdier av f produserer frekvens-domenet funksjon., Deretter s(t) kan representeres som en rekombinasjon av komplekse exponentials av alle mulige frekvenser:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f t l f {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi m}\df,}

som er invers transform formel. Den komplekse tall, S( f ), formidler både amplitude og fase av frekvens f.,

Se Fourier transform for mye mer informasjon, blant annet:

• konvensjoner for amplitude normalisering og frekvens skalering/enheter
• forvandle egenskaper
• ordnet forvandler på spesifikke funksjoner
• en utvidelse/generalisering for funksjoner av flere dimensjoner, for eksempel bilder.,

Fourier seriesEdit

Fourier-transform av en periodisk funksjon, sP(t), med perioden P, blir en Dirac kam funksjon, modulert med en sekvens av komplekse koeffisienter:

S = 1 S ∫ S s S ( t ) ⋅ e − i 2 π k S t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{S}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\i \mathbb {Z} ,} (der ∫P er integrert over et intervall av lengde P).,

Den invers transform, kjent som fourierrekker, er en representasjon av sP(t) i form av en summering av et potensielt uendelig antall harmonisk i slekt sinusoidene eller komplekse eksponensielle funksjoner, hver med en amplitude og fase, som er angitt av en av koeffisientene:

s P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k-P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e i 2 π k S t . {\displaystyle s_{S}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

Noen sP(t) kan uttrykkes som en periodisk summering av en annen funksjon, s(t):

s P ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m-P ) , {\displaystyle s_{S}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

og koeffisientene er proporsjonal med prøver av S( f ) på diskrete intervaller på 1/P:

S = 1 P ⋅ S ( k S ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}

Merk at s(t) som forvandle har samme diskrete eksempel på verdier som kan benyttes i den periodiske summering. En tilstrekkelig betingelse for å gjenopprette s(t) (og dermed S( f )) fra nettopp disse prøvene (dvs., fra Fourier-rekker), er at den ikke er null del av s(t) være begrenset til et visst intervall varighet P, som er frekvens-domenet dual av Nyquist–Shannon sampling teoremet.

Se fourierrekker for mer informasjon, inkludert den historiske utviklingen.

Diskret-tid Fourier transform (DTFT)Edit

DTFT er den matematiske dual av gang-domene fourierrekker.,e koeffisientene er eksempler på beslektede kontinuerlig klokkeslett-funksjon:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ fourierrekker (DTFT) ⏟ Poisson-summering formelen = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n i T T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\ekv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{fourierrekker (DTFT)}}} _{\text{Poisson-summering formel}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

som er kjent som DTFT., Dermed DTFT av s sekvens er også Fourier-transform av modulert Dirac kam funksjon.

Fourier-serie koeffisientene (og invers transform), er definert ved:

s ≜ T ∫ 1 T-S 1 T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f n T l f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\df} _{\triangleq \,s(nT)}.,}

– Parameteren T tilsvarer sampling interval, og dette fourierrekker kan nå bli anerkjent som en form av Poisson-summering formel. Dermed har vi viktig resultat som når en diskret data sekvens, s, er proporsjonal med prøver av en underliggende kontinuerlig funksjon, s(t), kan man observere en periodisk summering av kontinuerlig Fourier transform, S( f ). Merk at s(t), med den samme diskrete eksempel verdier produserer de samme DTFT, Men under visse idealiserte betingelser kan man teoretisk gjenopprette S( f ) og s(t) nøyaktig., En tilstrekkelig betingelse for perfekt recovery er at den ikke er null del av S( f ) være begrenset til en kjent frekvens intervall bredde 1/T. Ved at intervallet er , gjeldende rekonstruksjon formelen er Whittaker–Shannon interpolering formel. Dette er en hjørnestein i stiftelsen av digital signalbehandling.

en Annen grunn til å være interessert i S1/T( f ) er at det ofte gir innsikt i mengden av aliasing forårsaket av innsamlingsprosessen.

Programmer av DTFT er ikke begrenset til samplet funksjoner.,ing (endelig-lengde-sekvenser)

forvandle egenskaper

ordnet forvandler på spesifikke funksjoner

Diskret Fourier transform (- FUNKSJONALITETEN)Edit

Ligner på en Fourier-serie, DTFT av en periodisk sekvens, sN, med periode N, blir en Dirac kam funksjon, modulert av en sekvens av komplekse koeffisienter (se DTFT § Periodiske data):

S = ∑ n s N ⋅ e − i 2 π k N n , k ∈ Z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\i \mathbb {Z} ,} (der ∑n er summen over alle sekvens av lengde N).,

S sekvensen er hva som er vanlig kjent som den FUNKSJONALITETEN av en syklus av sN. Det er også N-periodisk, så det er aldri nødvendig å beregne mer enn N koeffisienter. Invers transform, også kjent som en diskret Fourier-serie, er gitt ved:

s N = 1 N ∑ k S ⋅ e i 2 π n N k , {\displaystyle s_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{k}S\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},} der ∑k er summen over alle sekvens av lengde N.,

Når sN er uttrykt som en periodisk summering av en annen funksjon:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s,} og s ≜ s ( n, T ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nT),}

koeffisientene er proporsjonal med prøver av S1/T( f ) på diskrete intervaller på 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S 1 T ( k S ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).,}

i Motsatt fall, når man ønsker å beregne et vilkårlig antall (N) av diskret prøver av en syklus av en kontinuerlig DTFT, S1/T( f ), kan det gjøres ved å beregne den relativt enkle FUNKSJONALITETEN av sN, som definert ovenfor. I de fleste tilfeller, N er valgt lik lengden av ikke-null del av s. Økende N, kjent som zero-padding eller interpolering, resulterer i mer tett linjeavstand prøver av en syklus av S1/T( f ). Synkende N, fører til overlapping (legger) i tiden-domene (analogt til aliasing), som svarer til uttynning i frekvens-domenet., (se DTFT § Prøvetaking DTFT) I de fleste tilfeller av praktisk interesse, s-sekvensen representerer en lengre sekvens som ble avkortet ved anvendelsen av begrenset lengde vindu funksjon eller FIR filter rekke.

Den FUNKSJONALITETEN kan beregnes ved hjelp av en fast Fourier transform (FFT) algoritme, noe som gjør det til en praktisk og viktig transformasjon på datamaskiner.,

Se Diskret Fourier transform for mye mer informasjon, blant annet:

• forvandle egenskaper
• programm.
• ordnet forvandler på spesifikke funksjoner

SummaryEdit

For periodiske funksjoner, både Fourier transform og DTFT utgjør bare et diskret sett av frekvenskomponenter (Fourier-serie), og forvandler avviker på disse frekvensene. En vanlig praksis (ikke omtalt ovenfor) er å håndtere det divergens via Dirac delta og Dirac kam funksjoner., Men den samme spektral informasjon kan bli utledes fra bare én syklus av den periodiske funksjonen, siden alle de andre sykluser er identiske. På samme måte, endelig-varighet funksjoner kan være representert som en Fourier-rekker, med ingen faktiske tap av informasjon, bortsett fra at periodisitet av invers transform er en ren artefakt.

Det er vanlig i praksis for varigheten av s(•) for å være begrenset til den perioden, P eller N. Men disse formlene ikke krever at tilstand.,

Symmetri propertiesEdit

Når den virkelige og imaginære deler av en kompleks funksjon er blitt brutt ned i sine selv og ulike deler, er det fire komponenter, merket under med senket skrift RE, RO, DVS, og IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., I motsatt fall, en selv-symmetrisk forvandle innebærer en reell verdsettes tid-domene.
• transformeringen av en imaginær-verdsatt funksjon (jeg sIE+ jeg sIO) er odd symmetrisk funksjon SRO+ jeg SIE, og det motsatte er sant.
• transformeringen av en selv-symmetrisk funksjon (sRE+ jeg sIO) er virkelig verdsatt funksjon WED+ SRO, og det motsatte er sant.
• transformeringen av en odd-symmetrisk funksjon (sRO+ jeg sIE) er den imaginære-verdsatt funksjon jeg SIE+ i SIO, og det motsatte er sant.,

Fourier-transformasjoner på vilkårlig lokalt kompakt abelsk topologiske groupsEdit

Fourier-varianter kan også utvides til Fourier-transformasjoner på vilkårlig lokalt kompakt Abelsk topologiske grupper som er studert i harmonisk analyse; det, Fourier-transform tar funksjonene på en gruppe til funksjoner på dobbel gruppe. Denne behandlingen gir også en generell formulering av det ferdige teorem, som gjelder Fourier transformasjoner og convolutions. Se også Pontryagin dualitet for generalisert grunnlaget av Fourier-transform.,

Mer spesifikke, Fourier-analyse kan gjøres på cosets, selv diskret cosets.

Tid–frekvens transformsEdit

I signal processing vilkår, en funksjon (for tiden) er en representasjon av et signal med en perfekt tid oppløsning, men ingen frekvens informasjon, mens Fourier transform har perfekt frekvens oppløsning, men ingen tid informasjon.,

Som alternativer til Fourier transform, i tid–frekvens analyse, bruker man tid–frekvens omformer å representere signaler i en form som har litt tid på informasjon og noen frekvens informasjon – av usikkerhet prinsippet er det en trade-off mellom disse., Disse kan være generaliseringer av Fourier transform, slik som på kort tid Fourier transform, den Gabor transformere eller brøk Fourier transform (FRFT), eller du kan bruke forskjellige funksjoner til å representere signaler, som i wavelet forvandler og chirplet forvandler, med wavelet analog av (kontinuerlig) Fourier transform blir kontinuerlig wavelet transform.