Gamma funksjon

GeneralEdit

Andre viktige funksjonelle ligninger for gamma funksjon er Euler refleksjon formel

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π synd ⁡ ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \i \mathbb {Z} }

som innebærer

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}

og Legendre duplisering formel

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma, \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}

duplisering formelen er et spesielt tilfelle av multiplikasjon teoremet (Se, Eq. 5.5.6)

∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m, z ) . {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma, \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}

En enkel, men nyttig egenskap, som kan sees fra grensen definisjon er:

Γ ( z ) = Γ ( z ) ⇒ Γ ( z ) Γ ( z ) ∈ R ., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\i \mathbb {R} .,quad n\i \mathbb {N} \\|\Gamma, \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\i \mathbb {N} \\|\Gamma, \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\i \mathbb {N} \end{justert}}}

Kanskje den mest kjente verdien av gamma-funksjonen på en ikke-heltall argumentet er

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma, \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = ( n − 1 2 n ) n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2) n − 1 ) ! ! π = π ( − 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{justert}\Gamma, \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma, \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!,}}\end{justert}}}

Den derivat av gamma-funksjonen er beskrevet i form av polygamma funksjon. For eksempel:

Γ ‘ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) . {\displaystyle \Gamma ‘(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}

For et positivt heltall m derivat av gamma-funksjonen kan beregnes som følger (her γ {\displaystyle \gamma } er Euler–Mascheroni konstant):

Γ ‘ ( m + 1 ) = m ! ( − γ + ∑ k = 1 m, 1 k ) . {\displaystyle \Gamma ‘(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.,}

For ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} th derivat av gamma-funksjonen er:

d n d u n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1-e − t ( ln ⁡ t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(Dette kan utledes ved å differensiere integrert form av gamma funksjon med hensyn til x {\displaystyle x} , og bruker teknikken på differensiering under integrert tegn.)

ved Hjelp av identitet

Γ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n n ! ∑ π ⊢ n ∏ i = 1 r ζ ∗ ( a i ) k jeg ! ⋅ en jeg ζ ∗ ( x ) := { ζ ( x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\summen \grenser _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{tilfeller}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{tilfeller}}} π = a 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 vilkårene + ⋯ + r + ⋯ + r ⏟ k r vilkår , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ form}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ form}}},}

vi har i bestemt

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z-3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\til høyre)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma, \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}

InequalitiesEdit

Når er begrenset til den positive reelle tall, gamma-funksjonen er en strengt logaritmisk konveks funksjon., Denne egenskapen kan være angitt på noen av de følgende tre tilsvarende måter:

• For to positive reelle tall x 1 {\displaystyle x_{1}} og x 2 {\displaystyle x_{2}} , og for alle t ∈ {\displaystyle t\i } ,

Γ ( t x 1 + ( 1 − t) – x 2 ) ≤ Γ ( x-1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• For to positive reelle tall x og y med y > x

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ⁡ ( Γ ‘ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ‘(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• For alle positive reelle tall x {\displaystyle x} ,

Γ » ( x ) Γ ( x ) > Γ ‘ ( x ) 2 . {\displaystyle \Gamma «(x)\Gamma (x)>\Gamma ‘(x)^{2}.} Γ ( 1 x 1 + ⋯ + en n x n-1 + ⋯ + n ) ≤ ( Γ ( x 1 ) 1 ⋯ Γ ( x n ) n ) 1 a 1 + ⋯ + a n ., {\displaystyle \Gamma, \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

Det er også grenser på prosenter av gamma funksjoner. Den mest kjente er Gautschi er ulikhet, som sier at for alle positive reelle tall x og alle s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

Stirling er formulaEdit

virkemåten av Γ – ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} i et stadig økende positiv variabel er enkel. Den vokser raskt, raskere enn en eksponentiell funksjon i faktum., Asymptotically som z → ∞ , {\textstyle z\til \infty \ ,} omfanget av gamma-funksjonen er gitt ved Stirling formelen

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim – {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

en Annen nyttig grense for asymptotiske tilnærming er:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\til \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \i \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

virkemåten for ikke-positiv z {\displaystyle z} er mer intrikat., Euler er integrert ikke konvergerer for z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0} , men den funksjonen den definerer i positiv komplekse halv-flyet har en unik analytisk fortsettelse på den negative halv-plan. Én måte å finne det analytisk fortsettelse, er å bruke Euler er integrert for positive argumenter og utvide domenet til negative tall ved gjentatt bruk av gjentakelse formel,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n) {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\c}(z-c)f(z).}

For enkel pol z = − n , {\displaystyle z=-n,} vi omskrive gjentakelse formel som:

( z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) . {\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}

telleren på z = − n , {\displaystyle z=-n,} er

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

og nevneren

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

Så rester av gamma-funksjonen på disse punktene er:

Res ⁡ ( Γ , n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

gamma-funksjonen har et lokalt minimum i zmin ≈ +1.46163214496836234126 (avkortet) hvor det oppnår verdien Γ(zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (avkortet)., Gamma-funksjonen må alternative tegn mellom polene fordi produktet i fremover gjentakelse inneholder et ulikt antall negative faktorer hvis antall av polakkene mellom z {\displaystyle z} og z + n {\displaystyle z+n} er merkelig, og et partall hvis antall av polakkene er selv.

Integrert representationsEdit

Det er mange formler, foruten Euler en integrert del av den andre typen, som uttrykker gamma funksjon som et integral. For eksempel, når den reelle delen av z er positiv,

Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log ⁡ 1 t ) z − 1 d t ., {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\logg {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}

Binet første integrert formel for gamma funksjon sier at, når den reelle delen av z er positivt, så:

logg ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) logg ⁡ z − z + 1 2 logg ⁡ ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1, e, t − 1 ) e − t z t d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\logg z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}

integrert på høyre side kan tolkes som en Laplace transform., Det vil si at

logg ⁡ ( Γ ( z ) ( e z ) z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 t-2 + 1 t ( e t − 1 ) ) ( z ) . {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

Binet nest integrert formelen sier at, igjen når den reelle delen av z er positivt, så:

logg ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) logg ⁡ z − z + 1 2 logg ⁡ ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\logg z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

La C være en Hankel kontur, noe som betyr en sti som begynner og slutter i punktet ∞ på Riemann sfære, hvis enheten tangent vektor konvergerer mot -1 ved starten av stien, og 1 på slutten, som har svingete nummer 1 på rundt 0, og som ikke krysser

Γ ( z ) = − 1 2 jeg synd ⁡ π z ∫ C ( − t ) z − 1-e − t-d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\synd \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = 2 π ∫ C ( − t ) − z-e − t-d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i} og{2\pi }}\int _{C}(-t)^{z}e^{-t}\,dt,}

igjen gyldig når z er ikke et heltall.,square har følgende fourierrekker utvidelse for 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ π − 1 2 ln ⁡ synd ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n synd ⁡ ( 2 π n z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

som var i lang tid tilskrives Ernst Kummer, som utledet det i 1847., Imidlertid, Iaroslav Blagouchine oppdaget at Carl Johan Malmsten første avledet denne serien i 1842.

Raabe er formulaEdit

I 1840 Joseph Ludwig Raabe viste seg at

∫ a a + 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π + a ln ⁡ a − a , a > 0. {\displaystyle \int _{a}^{+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad-en>0.}

I særlig hvis a = 0 {\displaystyle a=0} deretter

∫ 0 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

Den siste kan være avledet tar logaritmen på over multiplikasjon formel, som gir et uttrykk for Riemann-summen av integrand. Tar grensen for a → ∞ {\displaystyle en\rightarrow \infty } gir formelen.,

Pi functionEdit

Et alternativ notasjon som opprinnelig ble introdusert av Gauss og som noen ganger ble brukt er Π {\displaystyle \Pi } -funksjon, som i form av gamma-funksjonen er

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t-t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}

slik at Π ( n ) = n ! {\displaystyle \Pi (n)=n!} for alle ikke-negative heltall n {\displaystyle n} .,

ved Hjelp av pi funksjon refleksjon formelen tar på formen

Π ( z ) Π ( − z ) = π z synd ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

hvor sinc er normalisert sinc-funksjonen, mens multiplikasjon teorem tar på formen

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

Vi også noen ganger finner

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}

volumet av en n-ellipsoide med radius r1, …, rn kan uttrykkes som

V n ( r 1 , … , r-n ) = π n 2 Π ( n-2 ) ∏ k = 1 n r k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

Forhold til andre functionsEdit

• I det første integralet ovenfor, som definerer gamma funksjon, grensene for integrering er løst., Øvre og nedre ufullstendig gamma funksjoner er funksjoner oppnådd ved at nedre eller øvre (henholdsvis) grensen for integrasjon for å variere.
• gamma funksjon er knyttet til beta-funksjon ved formelen

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• Den logaritmiske derivat av gamma-funksjonen er kalt digamma funksjon; høyere derivater er polygamma funksjoner.,
• analog av gamma funksjon over et bestemt felt eller en avgrenset ring er den Gaussiske summer, en type eksponentiell sum.
• Den gjensidige gamma-funksjonen er en hel funksjon og har blitt studert som et bestemt emne.
• gamma funksjon viser seg også i et viktig forhold med Riemann zeta-funksjon, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} .

π − z 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) ., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma, \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma, \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} Det vises også i følgende formel: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u − 1 d u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},} som er gyldig bare for ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., Logaritmen av gamma funksjon tilfredsstiller følgende formel på grunn av Lerch: logg ⁡ Γ ( x ) = ζ H ‘( 0 , x ) − ζ ‘ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‘(0),} hvor ζ H {\displaystyle \zeta _{H}} er Hurwitz zeta-funksjon, ζ {\displaystyle \zeta } er Riemann zeta-funksjon og prime (‘) betegner differensiering i den første variabelen.

• gamma funksjon er knyttet til strukket eksponentielle funksjonen. For eksempel, de øyeblikkene av at funksjonen er

⟨ τ n ⟩ ≡ ∫ 0 ∞ d t t n − 1-e − ( t-τ ) β = τ n β Γ ( n β ) ., {\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \ekv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma, \left({n \over \beta }\right).}

Bestemt valuesEdit

Inkludert opp til de første 20 sifre etter desimaltegnet, noen bestemte verdier av gamma-funksjonen er:

Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

Den komplekse verdsettes gamma-funksjonen er definert for ikke-positive heltall, men i disse tilfellene kan verdien være definert i Riemann sfære som ∞. Den gjensidige gamma-funksjonen er godt definert og analytisk på disse verdiene (og i hele det komplekse plan):

1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}