Implisitt funksjon

I kalkulus, en metode som kalles implisitt differensiering gjør bruk av kjeden regel å skille det som er implisitt definert funksjoner.

for Å skille en implisitt funksjon y(x), som er definert av et ligningen R(x, y) = 0, det er generelt ikke mulig å løse det eksplisitt for y og deretter skille. I stedet, kan man helt skille R(x, y) = 0 med hensyn til x og y, og deretter løse den resulterende lineær ligning for dy/dx for å få den deriverte i form av x og y., Selv når det er mulig å eksplisitt løse den opprinnelige ligningen, formel som følge av totale differensiering er generelt mye enklere og enklere å bruke.

ExamplesEdit

Eksempel 1. Vurder å

y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y+x+5=0\,.}

Denne ligningen er lett å løse for y, noe som gir

y = − x − 5 , {\displaystyle y=-x-5\,,}

hvor den høyre siden er eksplisitt form av funksjonen y(x). Differensiering gir deretter dy/dx = -1.

Alternativt kan man helt skille den opprinnelige ligningen:

d y d x d x d x d d x ( 5 ) = 0 ; l y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{justert}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{justert}}}

for å Løse dy/dx gir

d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}

det samme svaret som er innhentet tidligere.

Eksempel 2. Et eksempel på en implisitt funksjon som implisitt differensiering er enklere enn å bruke eksplisitt differensiering er funksjonen y(x) er definert ved ligningen

x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.,}

for Å skille dette eksplisitt med hensyn til x, har man først for å få

y ( x ) = ± 8 − x 4, 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}

og deretter skille denne funksjonen. Dette skaper to derivater: en for y ≥ 0 og en annen for y < 0.

Det er vesentlig enklere å implisitt skille mellom den opprinnelige ligningen:

4 x 3 + 4 y d y d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

gi

d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}

Eksempel 3., Ofte er det vanskelig eller umulig å løse eksplisitt for y, og implisitt differensiering er den eneste mulige metode for differensiering. Et eksempel er ligningen

y 5 − y = – x . {\displaystyle y^{5} y=x\,.}

Det er umulig å algebraically express y eksplisitt som en funksjon av x, og derfor kan man ikke finne dy/dx ved eksplisitt differensiering. Ved hjelp av den implisitte metoden, dy/dx kan fås ved å skille ligningen for å få

5 y 4 d y d x − l y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}

hvor dx/dx = 1., Factoring ut dy/dx viser at

( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}

som gir resultatet

d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}

som er definert for

y ≠ ± 1 5 4 og y ≠ ± jeg 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{og}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt{5}}}\,.}

Generell formel for derivat av implisitt functionEdit

Dersom H(x, y) = 0, avledet av det implisitt funksjon y(x) er gitt ved:§11.,5

d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x R , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\delvis R}{\delvis x}}\,}{\frac {\delvis R}{\delvis y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}

hvor Rx og Ry indikerer den partiellderiverte av R med hensyn på x og y.,

Den ovennevnte formel kommer fra å bruke generalisert chain rule for å få sum derivater — med hensyn til x — av begge sider av R(x, y) = 0:

∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\delvis R}{\delvis x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\delvis R}{\delvis y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

dermed

∂ R ∂ x ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\delvis R}{\delvis x}}+{\frac {\delvis R}{\delvis y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

som, når løst for dy/dx, gir uttrykket ovenfor.