Kurve (Norsk)

Grovt sett en differensiable kurve er en kurve som er definert som lokalt bildet av en injective differensiable funksjon γ : jeg → X {\displaystyle \gamma, \kolon jeg\rightarrow X} fra et intervall jeg av reelle tall i en differensiable manifold X, ofte R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}

Mer presist, en differensiable kurve er et delsett C av X der hvert punkt i C har en nabolaget U slik at C ∩ U {\displaystyle C\cap U} er diffeomorphic til et intervall av reelle tall., Med andre ord, en differensiable kurve er en differensiable manifold av en dimensjon.

Lengde på en curveEdit

Lengde ⁡ ( γ ) = def ∫ b | γ ‘ ( t ) | d-t . {\displaystyle \operatorname {Lengde} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma,\, ‘(t)|~\mathrm {d} {t}.}

lengden av en kurve som er uavhengig av parametrization γ {\displaystyle \gamma } .

s = ∫ a b 1 + 2 d x . {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Lengde ⁡ ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t ) , γ ( t − 1 ) ) | n ∈ N og a = t 0 < t-1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Lengde} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\i \mathbb {N} ~{\text{og}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} Lengde ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \operatorname {Lengde} \!,\left(\gamma |_{}\right)=t_{2}-t_{1}.} Hastighet γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Hastighet} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\o}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}

og deretter vise at

Lengde ⁡ ( γ ) = ∫ b Hastighet γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Lengde} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Hastighet} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.,}

Differensial geometryEdit

Mens de første eksempler på kurver som er oppfylt for det meste plane kurver (som er, i dagligdagse ord, buede linjer i to-dimensjonale rommet), er åpenbare eksempler som helix som finnes naturlig i tre dimensjoner. Den behov av geometri, og også for eksempel klassisk mekanikk er å ha en oppfatning av kurven i løpet av en rekke dimensjoner. I generell relativitetsteori, en verden line er en kurve i romtid.,

Hvis X {\displaystyle X} er en differensiable manifold, så vi kan definere begrepet differensiable kurve i X {\displaystyle X} . Denne generelle ideen er nok til å dekke mange av programmene som er av kurver i matematikk. Fra en lokal synsvinkel kan man ta X {\displaystyle X} for å være Euclidean plass. På den annen side, det er nyttig å være mer generelt, i og med at (for eksempel) det er mulig å definere tangent vektorer X {\displaystyle X} ved hjelp av denne oppfatningen av kurven.,

Hvis X {\displaystyle X} er en jevn manifold, en glatt kurve i X {\displaystyle X} er en jevn kart

γ : jeg → X {\displaystyle \gamma, \kolon jeg\rightarrow X} .

En differensiable kurve sies å være vanlig hvis dens avledede aldri forsvinner. (I ord, en vanlig kurve aldri stopper å stoppe eller backtracks på seg selv.,) To C k {\displaystyle C^{k}} differensiable kurver

γ 1 : jeg → X {\displaystyle \gamma _{1}\kolon jeg\rightarrow X} og γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\kolon J\rightarrow X}

er sagt å være tilsvarende hvis det er en bijective C k {\displaystyle C^{k}} kart

p : J → jeg {\displaystyle p\kolon J\rightarrow jeg}

slik som den inverse kart

p − 1 : jeg → J {\displaystyle p^{-1}\kolon jeg\rightarrow J}

er også i k k {\displaystyle C^{k}} , og

γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}