liv og tallene i Fibonacci –

Fibonacci er en av de mest kjente navnene i matematikk. Dette vil komme som en overraskelse til Leonardo Pisano, matematikeren vi vet nå med det navnet. Og han kan ha blitt like overrasket over at han har blitt udødeliggjort i den berømte rekkefølge– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – i stedet for hva som regnes som hans langt større matematiske prestasjoner – bidrar til å popularise vårt moderne tallsystem i Latin-talende verden.,

Det Romerske Imperiet venstre Europa med den Romersk-tallsystem som westill se, blant andre steder, i copyright-merknader etter filmsand TV-programmer (2013 er MMXIII). Den Romerske tall var notdisplaced inntil midten av det 13. Århundre E.KR., og Leonardo Pisano s bok Liber Abaci (som betyr «The Book of Beregninger»), var en av de første Vestlige bøker for å beskrive deres eventuell erstatning.

Leonardo Pisano ble født i slutten av det tolvte århundre i Pisa, Italia: Pisano i italiensk indikerte at han var fra Pisa, på samme måte manchester mishandler indikerer at jeg er fra Manchester. Hans far var kjøpmann kalt Guglielmo Bonaccio og det er på grunn av hans fars navn som Leonardo Pisano ble kjent som Fibonacci. Århundrer senere, whenscholars var å studere håndskrevet kopier av Liber Abaci(som det ble publisert før utskrift ble oppfunnet), theymisinterpreted del av tittelen – «filius Bonacci», som betyr «sonof Bonaccio» – som hans etternavn, og Fibonacci var født.,

Fibonacci (som vi vil fortsette å kalle ham) tilbrakte sin barndom i NorthAfrica, der hans far var en toller. Han ble utdannet ved theMoors og reiste mye i Barbary (Algerie), og ble senere senton business turer til Egypt, Syria, Hellas, Sicilia og Provence.I 1200 vendte han tilbake til Pisa og brukt den kunnskapen han hadde fått onhis reiser for å skrive Liber Abaci (publisert i 1202), hvor han introduserte Latin-talende verden til desimal-tall systemet. Det første kapittelet i Del 1 begynner:

«Disse er det ni tall av Indianere: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Med disse ni tall, og med dette skiltet 0 som på arabisk kalles zephirum, et tall kan skrives som det vil bli vist.»

Italia på den tiden var bygd opp av små uavhengige byer og regioner, og dette førte til bruk av mange typer vekter og penger systemer. Selgerne hadde å konvertere fra ett til et annet når de solgt mellom disse systemene., Fibonacci skrev Liber Abaci for disse kjøpmenn, fylt med praktiske problemer, og jobbet eksempler som viser hvor enkelt kommersielle andmathematical beregninger kan gjøres med det nye nummeret systemcompared til uhåndterlig romertall. Virkningen av Fibonacci-bok som thebeginning for spredning av desimal-tall var hans greatestmathematical prestasjon. Imidlertid, Fibonacci er bedre husket fora bestemt sekvens av tall som dukket opp som et eksempel i LiberAbaci.,

problemet med kaniner

En av de matematiske problemer Fibonacci undersøkt i Liber Abaci var om hvor fort kaniner kan rase i ideelle forhold.La oss anta at en nylig født par kaniner, en mann, en kvinne, er satt inn i et felt. Kaniner er i stand til å mate i en alder av en måned, slik som på slutten av sin andre måned, en hunn kan produsere et par kaniner., Anta at våre kaniner aldri dø, og at den kvinnelige produserer alltid ett nytt par (en mann, en kvinne) hver måned fra den andre måneden på. Puslespillet som Fibonacci utgjøres var… Hvor mange par vil det være i ett år?

• På slutten av den første måneden, mate, men det er fortsatt bare 1 par.
• På slutten av den annen måned, den kvinnelige produserer et par nye, så nå er det 2 par kaniner.
• På slutten av tredje måned, den opprinnelige kvinnelige produserer en andre par, noe som gjør 3 par i det hele tatt.,
• Ved utgangen av fjerde måned, den opprinnelige hunnen har producedyet en annen par nye, kvinnelige født to måneder siden produsert herfirst par også, noe som gjør 5 par.

tenk deg at det er par kaniner etter måneder. Antall par i måned skal (i dette problemet, kaniner aldri dø) pluss antall nye par født. Men nye parene er bare født til par i minst 1 måned gammel, så vil det være nye par., Så har vi

som er rett og slett en regel for å generere Fibonacci-tall: legg de to siste for å få den neste. Som følge av dette gjennom at du vil finne at etter 12 måneder (eller 1 år), vil det være 233 par kaniner.

Bier er bedre

kaninen problemet er selvsagt veldig klar, men Fibonacci-sekvensen ikke skje i det virkelige bestander. Honningbier gi et eksempel., I en koloni av honningbier det er en spesiell kvinne kalt dronningen. De andre hunnene er arbeideren bier som, i motsetning til the queen bee, produsere ingen egg. Den mannlige bier gjøre noe arbeid, og er kalt drone bier.

Menn er produsert av queen ‘ s unfertilised egg, slik at droner bare ha en mor, men ingen far. Alle kvinner er produsert når dronningen har parret med en hann og så ha to foreldre., Kvinner som regel ende opp som arbeideren bier, men noen er foret med et spesielt stoff som heter royal jelly som gjør dem vokse inn queens klar til å gå av for å starte en ny koloni når biene danne en sverm og forlate sine hjem (en bikube) på jakt etter et sted å bygge et nytt reir. Så hunnene har to foreldre, en mann og en kvinne, mens droner har bare én forelder, en kvinne.

La oss se på familietreet av en mannlig drone bee.

Han har 1 forelder, en kvinne.
Han har 2 besteforeldre, siden hans mor hadde to foreldre, en mannlig og en kvinnelig.,
Han har 3 store-besteforeldre: bestemor hans hadde to foreldre, men hans bestefar hadde bare en.
Hvor mange tipp-oldeforeldre han har?,»>

Antall foreldre besteforeldre stor
besteforeldre tipp-
besteforeldre – tipp-tipp-
besteforeldre av en MANNLIG bee 1 2 3 5 8 av en KVINNELIG bee 2 3 5 8 13

Spiraler og skjell

Bee bestander er ikke den eneste sted i naturen der Fibonacci-tall forekommer, vil de også vises i den vakre former av skjell., Å se dette, la oss bygge opp et bilde som starter med twosmall ruter med størrelse 1 ved siden av hverandre. På toppen av begge thesedraw et torg i størrelse 2 (=1+1). Vi kan nå tegne et nytt square –berører både én av enheten torg og den nyeste kvadrat av side 2 – sohaving sider 3 enheter lenge, og så en annen berører både 2-squareand det 3-square (som har sider på 5 enheter). Vi kan fortsette addingsquares rundt bildet, hver nye torget å ha en side som er aslong som summen av siste to square sider., Dette settet ofrectangles hvis sider er to påfølgende Fibonacci-tall i lengthand som er satt sammen av kvadrater med sider som er Fibonaccinumbers, vil vi kalle Fibonacci Rektangler.

Hvis vi nå trekke en fjerdedel av en sirkel i hver rute, vi kan bygge opp asort av spiral. Spiralen er ikke en sann matematiske spiral (siden det er laget offragments som er deler av sirkler og ikke gå på gettingsmaller og mindre), men det er en god tilnærming til en slags ofspiral som ikke vises ofte i naturen., Slike spiraler (såkalt logaritmisk spiraler) er sett i theshape av skjell av snegler og skjell. Bildet nedenfor av et tverrsnitt av en nautilus shell viser spiral kurve ofthe shell og den interne kamre at dyr bruker det legger onas det vokser. Kamrene gi oppdrift i vann.

Fibonacci-tallene også vises i planter og blomster. Someplants gren på en slik måte at de alltid har en Fibonacci økende numberof poeng. Blomster har ofte en Fibonacci antall kronblader,tusenfryd kan ha 34, 55 eller så mange som 89 kronblad!,

Et spesielt vakkert utseende av fibonacci-tall er i thespirals av frø i et frø hodet. Neste gang du ser en solsikke,se på ordninger av frøene i midten. De vises tobe spiral utover både til venstre og høyre.

På kanten av dette bildet av en solsikke, hvis du teller dem kurver av frø komme til leftas du går ut, er det 55 spiraler., På samme punkt det er 34 spiraler av frø spinner til høyre.Litt lenger mot sentrum og du kan telle 34 spiraler til venstre og 21 spiraler til høyre. Par med tall (countingspirals svinger til venstre og svinger til høyre) er (nesten alltid) er naboer i theFibonacci serien.

Det samme skjer i mange frø og blomster hoder i naturen., Årsaken synes å være at denne ordningen danner en optimal pakking av frø slik at, uansett hvor store frø hode, de er jevnt pakket på noe tidspunkt, alle frøene som er av samme størrelse, ingen trengsel i sentrum og ikke så sparsom på kantene.

Arten ser ut til å bruke samme mønster for å ordne kronblad rundt kanten av en blomst og til placeleaves rundt en stamme. Hva er mer, alle disse opprettholde theirefficiency som anlegget fortsetter å vokse, og det er mye å be for asingle-prosessen! Så bare hvordan planter vokser til å opprettholde dette behandles optimalitet av design?,

Gylne vekst

Botanikere har vist at planter vokser fra en enkelt liten gruppe av celler til høyre på tuppen av noen voksende plante, kalt meristem. Det er en egen meristem på slutten av hver gren eller kvist der nye celler blir dannet. Når dannet, de vokser i størrelse, men nye celler er bare dannet ved slike voksende poeng. Celler tidligere ned stammen utvide og så vokser punkt stiger.Også, disse cellene vokse i en spiral mote: det er som om meristem slår av en vinkel, produserer en ny celle, slår igjen med den samme vinkelen, produserer en ny celle, og så videre., Disse cellene kan deretter bli et frø, en ny leaf, en ny gren, eller kanskje på en blomst bli kronblad og stamens.

Det utrolige er at en enkelt fast vinkel kan produsere optimal design, uansett hvor stort planten vokser., Prinsippet om at en enkelt vinkel produserer uniform pakninger uansett hvor mye vekst vises det var mistanke om så tidlig som i forrige århundre, men bare bevist matematisk i 1993 av Stéphane Douady og Yves Couder, to franske matematikere. Gjør 0.618 av en tur før produsere en ny frø (eller blad, petal, etc) producesthe optimal pakking av frø uansett størrelsen av frø hodet. Men hvor kommer denne magiske tallet 0.618 kommer fra?,

golden ratio

Hvis vi tar forholdet mellom to etterfølgende tall i Fibonacci-serie,å dele hver av antallet før det, finner vi følgende tallrekke:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

Hvis du plotte en graf av disse verdiene, vil du se at de synes å være en tendens til en grense, som wecall golden ratio (også kjent som goldennumber og gylne snitt).

Den har en verdi på ( ca 1.618034) og er ofte representert med et greske bokstaven Phi, skrevet som . Den er nært knyttet verdi som vi skrive som , en liten phi, er bare desimal del av Phi, nemlig 0.618034… (), antall som står for spiraler i seedheads og ordninger av blader i mange planter. Men hvorfor gjør vi se phi i så mange planter?

antall Phi (1.618034…), og derfor også phi (0.618034…,), er irrasjonelle tall: de kan ikke skrives som en enkel brøk. La oss se hva som ville skje hvis meristem i et frø hodet i stedet slått av noen enklere nummer, for eksempel brøkdel 1/2. Etter to svinger gjennom halvparten av en sirkel vi ville være tilbake til der den første frøet ble produsert. Over tid, slå av en halv omdreining mellom frø ville produsere et frø hodet med to armer som stråler ut fra et sentralt punkt, som gir mye bortkastet plass.

Et frø hodet produsert av 0.,5=1/2 svinger mellom frø: alternative frø linje opp.

Et frø hodet produsert av 0.48=12/25 svinger mellom frø: frøene danner to roterende armer.

Et frø hodet produsert med 0,6=3/5 svinger mellom frø: frøene skjema 5 rette armer.,

Noe lignende skjer for andre enkle brøkdel av en tur: frø vokser i spiral armer som la mye mellomrom mellom dem (antall armer er nevneren i brøk). Så den beste verdien for den svinger mellom frø vil være en irrasjonell nummer. Men ikke bare noen irrasjonelle tall vil gjøre. For eksempel, frø hodet opprettet med pi slår per frø ser ut til å ha syv spiral armer av frø., Dette er fordi 22/7 er en veldig god rasjonell tilnærming av pi.

Hva er nødvendig for ikke å kaste bort plass er en irrasjonell nummer som ikke er godt rundet av en rasjonell antall. Og det viser seg at Phi (1.618034…) og dens desimal del phi (0.618034…) er den «mest irrasjonelle» av alle irrasjonelle tall. (Du kan finne ut hvorfor i Kaos i antall land: the secret life of fortsatte fraksjoner.) Dette er grunnen til at en tur på Phi gir optimal pakking av frø og blader i planter., Det forklarer også hvorfor Fibonacci-tall vises i bladet ordninger og som antall spiraler i seedheads. Tilstøtende Fibonacci-tall gir best tilnærming til det gylne snitt. De bytter på å være nevneren av approksimasjoner og angi nummeret, eller spiraler som frøet hoder øke i størrelse.

Hvordan fikk så mange planter til å oppdage dette vakre og nyttige nummer, Phi?Åpenbart ikke fra løse problemer med matematikk som Fibonacci gjorde., I stedet weassume som, akkurat som forholdet mellom suksessive Fibonacci numberseventually bosetter seg på the golden ratio, evolusjon gradvis avgjort onthe riktig tall for. Arven av Leonardo Pisano, aka Fibonacci, som ligger i hjertet av hver blomst, samt i hjertet av vårt tallsystem.

Mer å Lese

Hvis du likte denne artikkelen kan du ønsker å besøke i Fibonacci-Tallene og det Gylne snitt.

Om denne artikkelen

Denne artikkelen er basert på materiale som er skrevet av Dr R., Knott, som tidligere var en foreleser ved Institutt for Databehandling Studier ved University of Surrey. Knott startet nettstedet på Fibonacci-Tallene og det Gylne snitt i 1996 som et eksperiment på å bruke nettet til å inspirere og oppmuntre til mer matematikk undersøkelser både i og utenfor skoletid. Det har siden vokst, og nå dekker mange andre fag, alle med interaktive elementsand online kalkulatorer. Selv om det nå pensjonert, Knott fortsatt opprettholder og utvider web-sider., Han er for tiden en Visiting Fellow ved University of Surrey og gir snakker hele landet til skoler, universiteter, konferanser og matematikk samfunn. Han liker også å gå, matematiske rekonstruksjoner, økende ting å spise og tilberede dem.