mobiele notitie tonen Toon alle notities Verberg alle notities
sectie 3-5 : derivaten van Trig functies
Met deze sectie gaan we beginnen met het bekijken van de derivaten van andere functies dan polynomen of wortels van polynomen. We beginnen dit proces door te kijken naar de afgeleiden van de zes trig functies. Twee van de derivaten zullen worden afgeleid. De overige vier zijn aan u overgelaten en zullen soortgelijke bewijzen voor de twee hier gegeven volgen.
voordat we in de afgeleiden van de trig-functies komen, moeten we een paar limieten geven die zullen verschijnen in de afleiding van twee van de afgeleiden.,
Fact
zie de sectie bewijs van Trig-limieten van het hoofdstuk Extra ‘ s om het bewijs van deze twee limieten te zien.
voordat u een snelle notitie uitvoert. Studenten vragen zich vaak af waarom we altijd radialen gebruiken in een Calculus klas. Dit is de reden waarom! Het bewijs van de formule waarbij sinus hierboven vereist dat de hoeken in radialen. Als de hoeken in graden zijn, is de grens met sinus niet 1 en dus zullen de formules die we hieronder zullen afleiden ook veranderen. De formules hieronder zou pick-up een extra constante die zou net krijgen in de weg van ons werk en dus gebruiken we radialen om dat te voorkomen., Dus, vergeet niet om altijd radialen te gebruiken in een Calculus klasse!
voordat we beginnen met het differentiëren van trig-functies, laten we een snelle set limietproblemen uitwerken die we nu kunnen doen.
Oké, nu we deze set limietvoorbeelden uit de weg hebben gehaald, gaan we terug naar het hoofdpunt van deze sectie, het differentiëren van trig functies.
we beginnen met het vinden van de afgeleide van de sinusfunctie. Om dit te doen zullen we de definitie van de afgeleide moeten gebruiken. Het is al een tijdje geleden dat we dit moesten gebruiken, maar soms is er gewoon niets wat we eraan kunnen doen., Hier is de definitie van de afgeleide voor de sinusfunctie.
\
omdat we \(h = 0\) niet zomaar kunnen inpluggen om de limiet te evalueren, moeten we de volgende trig formule gebruiken op de eerste sinus in de teller.
\
als we dit doen, geeft
\
zoals je kunt zien bij het gebruik van de trig formule kunnen we de eerste en derde term combineren en daar dan een sinus uit factor. We kunnen dan de breuk in twee stukken splitsen, die beide afzonderlijk kunnen worden behandeld.
\
Op dit punt hoeven we alleen maar de limieten in het bovenstaande feit te gebruiken om dit probleem op te lossen.,
\
het differentiëren van cosinus gebeurt op dezelfde manier. Het vereist een andere trig formule, maar anders dan dat is een bijna identiek bewijs. De details worden aan u overgelaten. Als je klaar bent met het bewijs dat je zou moeten krijgen, zijn
\
met deze twee uit de weg de resterende vier vrij eenvoudig te krijgen. Alle resterende vier trig functies kunnen worden gedefinieerd in termen van sinus en cosinus en deze definities, samen met de juiste afgeleide regels, kunnen worden gebruikt om hun derivaten te krijgen.
laten we eens kijken naar raaklijn., Raaklijn wordt gedefinieerd als,
\
nu we de derivaten van sinus en cosinus hebben, hoeven we alleen maar de quotiëntregel te gebruiken. Laten we dat doen.
\ \
de overige drie trig-functies zijn ook quotiënten met sinus en/of cosinus en kunnen dus op soortgelijke wijze worden onderscheiden. We laten de details aan u over. Hier zijn de afgeleiden van alle zes van de trig functies.
derivaten van de zes trig functies
Op dit punt zouden we enkele voorbeelden moeten gebruiken.
als een laatste probleem hier laten we niet vergeten dat we nog steeds onze standaard interpretaties van derivaten hebben.,
In deze sectie zagen we hoe trig functies te onderscheiden. We zagen ook in het laatste voorbeeld dat onze interpretaties van de afgeleide nog steeds geldig zijn, zodat we die niet kunnen vergeten.
ook is het belangrijk dat we in staat zijn om trig vergelijkingen op te lossen, omdat dit iets is dat af en toe zal ontstaan in deze cursus. Het is ook belangrijk dat we de soorten getallenlijnen kunnen doen die we in het laatste voorbeeld hebben gebruikt om te bepalen waar een functie positief is en waar een functie negatief is. Dit is iets wat we af en toe zullen doen, zowel in dit hoofdstuk als in het volgende.
Geef een reactie