Curve

ruwweg gesproken is een differentieerbare curve een curve die wordt gedefinieerd als lokaal het beeld van een injectieve differentieerbare functie γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} van een interval I van de reële getallen in een differentieerbare variëteit X, vaak R n . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{n}.}

om precies te zijn, een differentieerbare kromme is een deelverzameling C van X waarin elk punt van C een omgeving U heeft, zodanig dat C ∩ U {\displaystyle C\cap U} diffeomorf is met een interval van de reële getallen., Met andere woorden, een differentieerbare kromme is een differentieerbare variëteit van dimensie één.

lengte van een krommedit

lengte ⁡ ( γ ) = def ∫ a b | γ ‘ ( t ) | d t . {\displaystyle \ operatorname {Length} (\gamma) ~{\stackrel {\text{def}} {=}}~\int _{a}^{b}|\gamma\, ‘(t)|~ \ mathrm {d} {t}.}

De lengte van een kromme is onafhankelijk van de parametrisatie γ {\displaystyle \gamma } .

s = ∫ A b 1 + 2 d x . {\displaystyle s = \ int _{a}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Length ⁡ ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) | n ∈ n en a = T 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <T_{n}=B\right\}\right),} length ( γ | ) = T 2 − t 1 . {\displaystyle \ operatorname {lengte} \!,\ left (\gamma |_{} \ right) = t_{2}-t_{1}.} Speed γ ( t ) = def lim sup ∋ s → T d ( γ ( S ) , γ ( t ) ) | S − t | {\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (T))}{|s-t|}}}

en dan tonen dat

lengte ⁡ ( γ ) = ∫ A B toerental γ ( t ) d t . {\displaystyle \ operatorname {Length} (\gamma) =\int _{a}^{b} {\operatorname {Speed} _{\gamma}} (t)~ \ mathrm {d} {t}.,}

Differentiaalmeetkundedit

terwijl de eerste voorbeelden van krommen waaraan wordt voldaan meestal vlakke krommen zijn (dat wil zeggen, in alledaagse woorden, gebogen lijnen in tweedimensionale ruimte), zijn er duidelijke voorbeelden zoals de helix die van nature bestaan in drie dimensies. De behoeften van de meetkunde, en bijvoorbeeld ook van de klassieke mechanica zijn om een notie van kromme in de ruimte van een willekeurig aantal dimensies te hebben. In de algemene relativiteitstheorie is een wereldlijn een kromme in de ruimtetijd.,

Als X {\displaystyle X} een differentieerbare variëteit is, dan kunnen we de notie van differentieerbare kromme in X {\displaystyle X} definiëren . Dit algemene idee is voldoende om veel van de toepassingen van krommen in de wiskunde te dekken. Vanuit een lokaal oogpunt kan men x {\displaystyle X} als Euclidische ruimte beschouwen. Aan de andere kant is het nuttig om algemener te zijn, omdat het bijvoorbeeld mogelijk is om de raakvectoren aan X {\displaystyle X} te definiëren door middel van deze notie van kromme.,

Als X {\displaystyle X} een gladde variëteit is, is een gladde kromme in X {\displaystyle X} een gladde afbeelding

γ: I → X {\displaystyle \ gamma \ colon I \ rightarrow X} .

van een differentieerbare kromme wordt gezegd dat hij regelmatig is als zijn afgeleide nooit verdwijnt. (In woorden, een regelmatige curve vertraagt nooit tot een stop of backtracks op zichzelf., Twee C k {\displaystyle C^{k}} differentieerbare krommen

γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X} en γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}

wordt gezegd te zijn equivalent als er een bijective C k {\displaystyle C^{k}} kaart

p : J → I {\displaystyle p\colon J\rightarrow I}

zo dat de inverse kaart

p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}

ook C k {\displaystyle C^{k -}} en

γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}