de eindige-elementenmethode (FEM) is een numerieke techniek die wordt gebruikt om eindige-elementenanalyse (FEA) uit te voeren van een bepaald fysisch fenomeen.
Het is noodzakelijk wiskunde te gebruiken om alle fysische verschijnselen, zoals structuur-of vloeistofgedrag, thermisch transport, golfvoortplanting en de groei van biologische cellen, volledig te begrijpen en te kwantificeren. De meeste van deze processen worden beschreven met partiële differentiaalvergelijkingen (PDEs)., Echter, voor een computer om deze PDEs op te lossen, numerieke technieken zijn ontwikkeld in de afgelopen decennia en een van de meest prominente vandaag is de eindige elementenmethode.,
eindige-elementenmethode toepassingen van de eindige-elementenmethode
de eindige-elementenmethode begon met significante belofte in het modelleren van verschillende mechanische toepassingen met betrekking tot lucht-en ruimtevaart en Civiele Techniek. De toepassingen van de eindige-elementenmethode beginnen nu pas hun potentieel te bereiken., Een van de meest opwindende vooruitzichten is de toepassing in gekoppelde problemen zoals vloeistof-structuur interactie, thermomechanische, thermo-chemische, thermo-chemo-mechanische problemen, biomechanica, biomedische technologie, Piëzo-elektrische, ferro-elektrische en elektromagnetisme.
Er zijn de laatste decennia veel alternatieve methoden voorgesteld, maar hun commerciële toepasbaarheid moet nog worden bewezen. Kortom, FEM heeft zojuist een stip op de radar gemaakt!
voordat u begint met de differentiaalvergelijkingen, is het essentieel om het artikel over FEA software in de SimWiki te lezen., Het begint met de basis en geleidelijk vordert naar de differentiaalvergelijkingen.
FEM-vergelijkingen partiële differentiaalvergelijkingen
Ten eerste is het belangrijk om de verschillende genre van PDE ‘ s en hun geschiktheid voor gebruik met FEM te begrijpen. Het begrijpen hiervan is vooral belangrijk voor iedereen, ongeacht de motivatie voor het gebruik van eindige-elementenanalyse. Het is van cruciaal belang om te onthouden dat FEM een tool is en elke tool is slechts zo goed als de gebruiker.
PDEs kunnen worden gecategoriseerd als elliptisch, hyperbolisch en parabool., Bij het oplossen van deze differentiaalvergelijkingen moeten grens-en/of beginvoorwaarden worden verstrekt. Op basis van het type PDE kunnen de benodigde inputs worden geëvalueerd. Voorbeelden voor PDE ‘ s in elke categorie zijn de poissonvergelijking (elliptisch), golfvergelijking (hyperbolisch) en Fourierwet (parabolisch).
Er zijn twee belangrijke benaderingen om elliptische PDE ‘ s op te lossen, namelijk de eindige verschilmethoden (FDM) en variationele (of energie) methoden. FEM valt in de tweede categorie. Variationele benaderingen zijn voornamelijk gebaseerd op de filosofie van energieminimalisatie.,
hyperbolische PDEs worden vaak geassocieerd met sprongen in oplossingen. De golfvergelijking is bijvoorbeeld een hyperbolische PDE. Vanwege het bestaan van discontinuïteiten (of sprongen) in oplossingen werd aangenomen dat de oorspronkelijke FEM-technologie (of Bubnov-Galerkin-methode) ongeschikt was voor het oplossen van hyperbolische PDEs. In de loop der jaren zijn echter wijzigingen ontwikkeld om de toepasbaarheid van FEM-technologie uit te breiden.
alvorens deze discussie af te sluiten, is het noodzakelijk om na te gaan wat de gevolgen zijn van het gebruik van een numeriek raamwerk dat ongeschikt is voor het type PDE., Dergelijk gebruik leidt tot oplossingen die bekend staan als “onjuist gesteld.”Dit zou kunnen betekenen dat kleine veranderingen in de domeinparameters leiden tot grote oscillaties in de oplossingen, of dat de oplossingen alleen bestaan in een bepaald deel van het domein of de tijd, die niet betrouwbaar zijn. Goed geposeerde explicitaties worden gedefinieerd als die waarbij een unieke oplossing continu bestaat voor de gedefinieerde data. Daarom, gezien de betrouwbaarheid, is het uiterst belangrijk om goed geposeerde oplossingen te verkrijgen.,
Download onze whitepaper ‘Tips for Architecture, Engineering & Construction (AEC) ‘ om te leren hoe u uw ontwerpen kunt optimaliseren!
Fem principe van Energieminimalisatie
Hoe werkt FEM? Wat is de belangrijkste drijvende kracht? Het principe van het minimaliseren van energie vormt de primaire ruggengraat van de eindige-elementenmethode. Met andere woorden, wanneer een bepaalde grensvoorwaarde wordt toegepast op een lichaam, kan dit leiden tot verschillende configuraties, maar toch is slechts één bepaalde configuratie realistisch mogelijk of bereikt., Zelfs wanneer de simulatie meerdere keren wordt uitgevoerd, prevaleren dezelfde resultaten. Waarom is dit zo?
Dit wordt beheerst door het principe van minimalisatie van energie. Het stelt dat wanneer een grensvoorwaarde (zoals verplaatsing of kracht) wordt toegepast, van de vele mogelijke configuraties die het lichaam kan nemen, alleen die configuratie waarbij de totale energie minimaal is, de gekozen is.,
eindige-elementenmethode geschiedenis van de eindige-elementenmethode
technisch gezien kan worden gesteld dat FEM al in de 16e eeuw zijn oorsprong heeft in het werk van Euler. De vroegste wiskundige artikelen over FEM zijn echter te vinden in de werken van Schellback en Courant .
FEM werd onafhankelijk van elkaar ontwikkeld door ingenieurs om constructiemechanische problemen met betrekking tot lucht-en ruimtevaart en civiele techniek aan te pakken. De ontwikkelingen begonnen in het midden van de jaren 1950 met de papieren van Turner, Clough, Martin, en Topp , Argyris , en Babuska en Aziz ., De boeken van Zienkiewicz en Strang, en Fix legden ook de basis voor toekomstige ontwikkeling in FEM.een interessant overzicht van deze historische ontwikkelingen is te vinden in Oden . Een overzicht van de FEM-ontwikkeling in de afgelopen 75 jaar is te vinden in dit blogartikel: 75 jaar van de eindige-elementenmethode.
technisch FEM technisch overzicht van eindige-elementenmethode
eindige-elementenmethode is op zichzelf een semestercursus. In dit artikel wordt een beknopte beschrijving gegeven van het mechanisme van FEM. Overweeg een eenvoudig 1-D probleem om de verschillende stadia die betrokken zijn bij FEA weer te geven.,
zwakke vorm
een van de eerste stappen in FEM is het identificeren van de PDE geassocieerd met het fysische fenomeen. De PDE (of differentiële vorm) staat bekend als de sterke vorm en de integrale vorm staat bekend als de zwakke vorm. Overweeg de eenvoudige PDE zoals hieronder getoond. De vergelijking wordt vermenigvuldigd met een proeffunctie v (x) aan beide zijden en geïntegreerd met het domein .,
Nu, met behulp van de integratie van de onderdelen, de LHS van de bovenstaande vergelijking kan worden gereduceerd tot
het kan worden gezien, de volgorde van de continuïteit die nodig is voor de onbekende functie u(x) wordt verminderd met één. Voor de eerdere differentiaalvergelijking moest u(x) minstens tweemaal differentieerbaar zijn, terwijl de integrale vergelijking vereist dat zij slechts eenmaal differentieerbaar is., Hetzelfde geldt voor multidimensionale functies, maar de afgeleiden worden vervangen door gradiënten en divergentie.
zonder in te gaan op de wiskunde, kan de representatiestelling van Riesz bewijzen dat er een unieke oplossing is voor u(x) voor de integraal en dus de differentiaalvorm. Bovendien, als f(x) glad is, zorgt het er ook voor dat u(x) glad is.
discretisatie
zodra de integrale of zwakke vorm is opgezet, is de volgende stap de discretisatie van de zwakke vorm., De integrale vorm moet numeriek worden opgelost en daarom wordt de integratie omgezet in een optelling die numeriek kan worden berekend. Daarnaast is een van de primaire doelen van discretisatie ook om de integrale vorm om te zetten in een reeks matrixvergelijkingen die kunnen worden opgelost met behulp van bekende theorieën van matrixalgebra.
zoals weergegeven in Fig., 03, Het domein is verdeeld in kleine stukjes bekend als ” elementen “en het hoekpunt van elk element is bekend als een”knooppunt”. De onbekende functionele U (x) wordt berekend op de knooppunten. Interpolatiefuncties worden gedefinieerd voor elk element om te interpoleren, voor waarden binnen het element, met behulp van knooppuntwaarden. Deze interpolatiefuncties worden ook wel shape-of ansatz-functies genoemd., De onbekende functie u (x) kan dus worden gereduceerd tot
waarbij nen het aantal knooppunten in het element is, Ni en ui zijn respectievelijk de interpolatiefunctie en onbekenden geassocieerd met knooppunt i., vorm kan worden herschreven als
De som van de regelingen kan worden omgezet in matrix producten en kan worden herschreven als
De zwakke vorm kan nu worden gereduceerd tot een matrix van de vorm {u} = {f}
Opmerking hierboven dat de eerdere test van de functie v(x) dat werd vermenigvuldigd bestaat niet meer in de resulterende matrix vergelijking., Ook hier is bekend als de stijfheidsmatrix, {u} is de vector van nodaal onbekenden, en {R} is de resterende vector. Verder, met behulp van numerieke integratieschema ‘ s, zoals Gauss of Newton-Cotes kwadratuur, worden de integraties in de zwakke vorm die de raakstijfheid en resterende vector vormt ook gemakkelijk behandeld.
veel wiskunde is betrokken bij de keuze van interpolatiefuncties, die kennis van functionele ruimten vereist (zoals Hilbert en Sobolev). Voor meer details in dit verband, de verwijzingen vermeld in het artikel ” Hoe kan ik leren eindige elementen analyse?,”worden aanbevolen.
oplossers
zodra de matrixvergelijkingen zijn vastgesteld, worden de vergelijkingen doorgegeven aan een oplosser om het stelsel van vergelijkingen op te lossen. Afhankelijk van het type probleem worden over het algemeen directe of iteratieve oplossers gebruikt. Een meer gedetailleerd overzicht van de oplossers en hoe ze werken, evenals tips over hoe te kiezen tussen hen, zijn beschikbaar in het blog artikel ” Hoe Solvers kiezen: Direct of iteratief?,”
typen FEM verschillende typen eindige-elementenmethode
zoals eerder besproken, heeft traditionele FEM-technologie aangetoond tekortkomingen in het modelleren van problemen met betrekking tot vloeistofmechanica en golfvoortplanting. Er zijn onlangs verschillende verbeteringen aangebracht om het oplossingsproces te verbeteren en de toepasbaarheid van eindige-elementenanalyse uit te breiden tot een breed scala aan problemen., Enkele belangrijke die nog steeds worden gebruikt zijn:
Extended Finite Element Method (XFEM)
Bubnov-Galerkin method vereist continuïteit van verplaatsing over elementen. Hoewel problemen zoals contact, breuk en schade discontinuïteiten en sprongen impliceren die niet direct kunnen worden behandeld door de eindige-elementenmethode. Om deze tekortkoming te verhelpen, werd XFEM geboren in de jaren 1990. XFEM werkt door de uitbreiding van de vorm functies met Heaviside stap functies. Extra vrijheidsgraden worden toegewezen aan de knooppunten rond het punt van discontinuïteit, zodat de sprongen kunnen worden overwogen.,
veralgemeende eindige-elementenmethode (Gfem)
GFEM werd rond dezelfde tijd als XFEM in de jaren 90 geïntroduceerd. Het combineert de kenmerken van de traditionele FEM-en meshless-methoden. Vormfuncties worden voornamelijk gedefinieerd door de Globale coördinaten en verder vermenigvuldigd met partition-of-unity om lokale elementaire vormfuncties te creëren. Een van de voordelen van GFEM is de preventie van re-meshing rond singulariteiten.
gemengde eindige-elementenmethode
In verschillende problemen, zoals contact of incompressibiliteit, worden beperkingen opgelegd met behulp van Lagrange-multipliers., Deze extra vrijheidsgraden die voortvloeien uit Lagrange multipliers worden onafhankelijk opgelost. Het systeem van vergelijkingen wordt opgelost als een gekoppeld systeem van vergelijkingen.
HP-eindige elementenmethode
hp-FEM is een combinatie van automatische mesh verfijning (h-verfijning) en een toename van de Orde van polynoom (p-verfijning). Dit is niet hetzelfde als h – en p – verfijningen afzonderlijk doen. Wanneer automatische HP-verfijning wordt gebruikt, en een element wordt verdeeld in kleinere elementen (h-verfijning), kan elk element ook verschillende polynomiale orden hebben.,
discontinue Galerkin eindige-elementenmethode (DG-FEM)
DG-FEM heeft een significante belofte getoond voor het gebruik van het idee van eindige elementen om hyperbolische vergelijkingen op te lossen, waar traditionele eindige-elementenmethoden zwak zijn geweest. Bovendien heeft het ook verbeteringen aangetoond in buig-en incompressible problemen die meestal worden waargenomen in de meeste materiaalprocessen. Hier worden extra beperkingen toegevoegd aan de zwakke vorm die een strafparameter bevat (om interpenetratie te voorkomen) en termen voor ander evenwicht van spanningen tussen de elementen.,
Fem conclusie
We hopen dat dit artikel de antwoorden heeft behandeld op uw belangrijkste vragen over wat de eindige-elementenmethode is. Als u het in de praktijk wilt zien, biedt SimScale de mogelijkheid om eindige elementanalyses uit te voeren in de webbrowser. Download dit overzicht of bekijk de opname van een van onze webinars om alle functies van het simscale cloudgebaseerde simulatieplatform te ontdekken.
materialen om aan de slag te gaan met SimScale zijn te vinden in het blogartikel “9 Learning Resources to Get You Started with Engineering Simulation”.,
ontdek de voordelen van cloudgebaseerde simulatie door een GRATIS account aan te maken op het simscale-platform. Geen installatie, speciale hardware of creditcard vereist.
Geef een reactie