Fourieranalyse

(continu) Fouriertransformedit

meestal verwijst de ongekwalificeerde term fouriertransformatie naar de transformatie van functies van een continu reëel argument. Een functie wordt omgezet in een andere, en de operatie is omkeerbaar., Wanneer het domein van de input (initiële) functie Tijd (t) is en het domein van de output (uiteindelijke) functie gewone frequentie is, wordt de transformatie van functie s(T) bij frequentie f gegeven door het complexe getal:

S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ S ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s (t)\cdot e^{-I2\pi ft}\,dt.}

het evalueren van deze hoeveelheid voor alle waarden van f levert de frequentiedomeinfunctie op., Dan kan s ( t) worden weergegeven als een recombinatie van complexe exponentialen van alle mogelijke frequenties:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ s(f ) ⋅ e i 2 π F t d f , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }s (f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}

wat de inverse transformatieformule is. Het complexe getal S (f) brengt zowel amplitude als frequentiefase f over.,

zie Fourier transform voor veel meer informatie, waaronder:

• conventies voor amplitudenormalisatie en frequentieschaling/eenheden
• transformatieeigenschappen
• getabelleerde transformaties van specifieke functies
• een extensie/generalisatie voor functies van meerdere dimensies, zoals afbeeldingen.,

Fourier seriesEdit

De Fourier-transformatie van een periodieke functie, sP(t) met periode P, wordt een Dirac-kam functie, gemoduleerd door een opeenvolging van complexe coëfficiënten:

S = 1 P ∫ P s P ( t ) ⋅ e − i 2 π k P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (waar ∫P is de integraal over een interval van lengte P).,

de inverse transformatie, bekend als Fourierreeks, is een representatie van sP(t) in termen van een optelling van een potentieel oneindig aantal harmonisch gerelateerde sinusoïden of complexe exponentiële functies, elk met een amplitude en fase gespecificeerd door een van de coëfficiënten:

S P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ s ⋅ e i 2 π k P t . {\displaystyle s_{P} (t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left (F-{\frac {k}{p}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

elke sP(t) kan worden uitgedrukt als een periodieke som van een andere functie, s(t):

s P ( t) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m p ) , {\displaystyle s_{p}(t)\,\triangleq \,\Sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-MP),}

en de coëfficiënten zijn proportioneel aan monsters van S( F ) met afzonderlijke intervallen van 1/p:

s = 1 p s s ( k p ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot s \ left ({\frac {k}{P}} \ right).}

merk op dat elke s(t) waarvan de transformatie dezelfde afzonderlijke monsterwaarden heeft, kan worden gebruikt in de periodieke sommatie. Een voldoende voorwaarde voor het terugwinnen van s (t) (en dus S (f )) uit alleen deze monsters (d.w.z., uit de Fourierreeks) is dat het niet-nulgedeelte van s(t) beperkt moet worden tot een bekend tijdsinterval P, dat het frequentiedomein duaal is van de Monsternamestelling van Nyquist–Shannon.

zie Fourier series voor meer informatie, inclusief de historische ontwikkeling.

Discrete-time Fourier transform (DTFT) Edit

De DTFT is de wiskundige dual van de tijddomein Fourier series.,e-coëfficiënten zijn voorbeelden van een continue functie:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k) T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ n ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ Fourier-reeks (DTFT) ⏟ Poisson som formule = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\som _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\som _{n – =-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier-reeks (DTFT)}}} _{\text{Poisson som formule}}={\mathcal {F}}\left\{\som _{n – =-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

die bekend staat als de DTFT., De dtft van de S-reeks is dus ook de fouriertransformatie van de gemoduleerde Dirac kamfunctie.

De Fourier-reeks coëfficiënten (en de inverse transformatie), gedefinieerd door:

s ≜ T ∫ 1 T 1 T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f ⏟ ≜ s ( n-T ) . {\displaystyle S\ \triangleq \ t \ int _{\frac {1}{T}}S_ {\frac {1}{T}} (f)\cdot e^{i2\pi fnT}\, df=t\underbrace {\int _{- \infty} ^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\, df} _{\triangleq\, s(nT)}.,}

Parameter T komt overeen met het bemonsteringsinterval, en deze fourierreeks kan nu worden herkend als een vorm van de poisson-sommatieformule. Zo hebben we het belangrijke resultaat dat wanneer een discrete gegevensreeks, s, proportioneel is aan monsters van een onderliggende continue functie, s(t), men een periodieke sommatie van de continue fouriertransformatie, S( f) kan waarnemen. Merk op dat elke s(t) met dezelfde afzonderlijke monsterwaarden dezelfde DTFT produceert, maar onder bepaalde geïdealiseerde omstandigheden kan men theoretisch S( f ) en s(t) precies herstellen., Een voldoende voorwaarde voor perfect herstel is dat het niet-nulgedeelte van S( f ) wordt beperkt tot een bekend frequentie–interval van breedte 1/T. wanneer dat interval is , is de toepasselijke reconstructie formule de Whittaker-Shannon interpolatie formule. Dit is een hoeksteen in de basis van digitale signaalverwerking.

een andere reden om geïnteresseerd te zijn in S1/T( f ) is dat het vaak inzicht geeft in de hoeveelheid aliasing veroorzaakt door het bemonsteringsproces.

toepassingen van de DTFT zijn niet beperkt tot bemonsterde functies.,ing (eindige lengte van de sequenties)

transformeren eigenschappen

in tabelvorm transformaties van de specifieke functies

Discrete Fourier transform (DFT)Bewerken

lijkt op een Fourier-reeks, de DTFT van een periodieke reeks, sN, met periode N, wordt een Dirac-kam functie, gemoduleerd door een opeenvolging van complexe coëfficiënten (zie DTFT § Periodieke gegevens):

S = ∑ n n N ⋅ e − i 2 π k N n , k ∈ Z , {\displaystyle S=\som _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,} (waar ∑n is de som over een reeks van lengte N).,

De S-reeks is wat gewoonlijk bekend staat als de DFT van één cyclus van sN. Het is ook n-periodiek, dus het is nooit nodig om meer dan n coëfficiënten te berekenen. De inverse transformatie, ook bekend als een discrete fourierreeks, wordt gegeven door:

s N = 1 N ∑ k S ⋅ e i 2 π N N k, {\displaystyle s_{n}={\frac {1}{N}} \ sum _{k}S\cdot e^{i2 \ pi {\frac {n}{n}}k},} waar ∑k de som is over elke reeks van lengte N.,

wanneer sN wordt uitgedrukt als een periodieke som van een andere functie:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{n}\,\triangleq \,\Sum _{m=-\infty }^{\infty }s,} en S ≜ s ( N T ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nt),}

de coëfficiënten zijn proportioneel aan monsters van S1/t( f ) met afzonderlijke intervallen van 1/p = 1/nt:

S = 1 t ⋅ s 1 t ( k p ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left ({\frac {k}{P}} \ right).,}

omgekeerd, wanneer men een willekeurig aantal (N) afzonderlijke monsters van één cyclus van een continue DTFT, S1/T( f ), wil berekenen, kan dit worden gedaan door de relatief eenvoudige DFT van sN te berekenen, zoals hierboven gedefinieerd. In de meeste gevallen, N wordt gekozen gelijk aan de lengte van niet-nul gedeelte van s. toenemende N, bekend als zero-padding of interpolatie, resulteert in meer afstand monsters van een cyclus van S1/T( f ). Het verminderen van N, veroorzaakt overlap (toevoegen) in het tijddomein (analoog aan aliasing), wat overeenkomt met decimatie in het frequentiedomein., (zie Dtft § Sampling de DTFT) in de meeste gevallen van praktisch belang vertegenwoordigt de S-sequentie een langere sequentie die werd afgekapt door de toepassing van een eindige-length window functie of FIR filter array.

de DFT kan worden berekend met behulp van een Fast Fourier transform (FFT) algoritme, waardoor het een praktische en belangrijke transformatie is op computers.,

zie Discrete fouriertransformatie voor veel meer informatie, waaronder:

• transformatieeigenschappen
• toepassingen
• getabelleerde transformaties van specifieke functies

SummaryEdit

voor periodieke functies bestaan zowel de fouriertransformatie als de DTFT slechts uit een discrete verzameling frequentiecomponenten (fourierreeksen), en de transformaties verschillen bij die frequenties. Een veel voorkomende praktijk (hierboven niet besproken) is om die divergentie via Dirac delta en Dirac kam functies., Maar dezelfde spectrale informatie kan worden onderscheiden van slechts één cyclus van de periodieke functie, omdat alle andere cycli identiek zijn. Op dezelfde manier kunnen functies met een eindige duur worden weergegeven als een Fourierreeks, zonder daadwerkelijk verlies van informatie, behalve dat de periodiciteit van de inverse-transformatie slechts een artefact is.

in de praktijk is het gebruikelijk dat de duur van s (•) wordt beperkt tot de periode, P of N. Maar deze formules vereisen die voorwaarde niet.,

symmetrie-eigenschappenedit

wanneer de reële en imaginaire delen van een complexe functie worden ontbonden in hun even en oneven delen, zijn er vier componenten, die hieronder worden aangeduid met de subscripten RE, RO, IE en IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Omgekeerd impliceert een even-symmetrische transformatie een reëel-gewaardeerd tijddomein.
• de transformatie van een imaginaire functie (i sIE+ i sIO) is de oneven symmetrische functie SRO+ I SIE, en het omgekeerde is waar.
• de transformatie van een even-symmetrische functie (sRE+ i sIO) is de reëel-gewaardeerde functie SRE+ SRO, en het omgekeerde is waar.
• de transformatie van een oneven-symmetrische functie (sRO+ i sIE) is de imaginaire-gewaardeerde functie I SIE+ I SIO, en het omgekeerde is waar.,

Fouriertransformaties op willekeurige lokaal compacte abelse topologische groupsEdit

De fouriervarianten kunnen ook worden gegeneraliseerd naar Fouriertransformaties op willekeurige lokaal compacte abelse topologische groepen, die in harmonische analyse worden bestudeerd; daar neemt de fouriertransformatiefuncties op een groep over naar functies op de duale groep. Deze behandeling staat ook een algemene formulering van de convolutiestelling toe, die fouriertransformaties en convoluties relateert. Zie ook de Pontryagin dualiteit voor de veralgemeende onderbouwing van de fouriertransformatie.,

meer specifiek kan fourieranalyse worden uitgevoerd op cosets, zelfs op discrete cosets.

Tijdfrequentietransformsedit

in termen van signaalverwerking is een functie (van tijd) een representatie van een signaal met een perfecte tijdresolutie, maar geen frequentie-informatie, terwijl de Fouriertransformator een perfecte frequentieresolutie heeft, maar geen tijd-informatie.,

als alternatief voor de fouriertransformatie gebruikt men in de tijdfrequentieanalyse tijdfrequentietransformaties om signalen weer te geven in een vorm die enige tijdinformatie en enige frequentieinformatie bevat–door het onzekerheidsbeginsel is er een afweging tussen deze., Dit kunnen generalisaties zijn van de fouriertransformatie, zoals de korte-tijd fouriertransformatie, de Gabor-transformatie of fractionele fouriertransformatie (FRFT), of kunnen verschillende functies gebruiken om signalen weer te geven, zoals in wavelet-transformaties en chirplet-transformaties, waarbij het wavelet-analoog van de (continue) fouriertransformatie de continue wavelettransformatie is.