Gamma-functie

GeneralEdit

een Andere belangrijke functionele vergelijkingen voor de functie van gamma ’s zijn Euler’ s reflectie formule

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }

wat betekent

Γ ( o − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}

en de Legendre duplicatie formule

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) ., {\displaystyle\Gamma (z) \Gamma\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\; {\sqrt {\pi}}\; \ Gamma (2z).}

De duplicatieformule is een speciaal geval van de vermenigvuldigingsstelling (zie, Eq. 5.5.6)

∏ k = 0 m – 1 Γ (z + k m) = (2 π) m − 1 2 m 1 2 − m Z Γ ( m z). {\displaystyle \ prod _{k = 0}^{m-1} \ Gamma \ left (z+{\frac {k}{m}}\right) = (2\pi) ^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (Mz).}

een eenvoudige maar nuttige eigenschap, die uit de limietdefinitie kan worden afgeleid, is:

Γ (z) = Γ ( z) ⇒ Γ ( z) Γ ( z) ∈ R ., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}} = \ Gamma ({\overline {z}})\; \ Rightarrow \; \ Gamma(z) \Gamma ({\overline {z}}) \in \ mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k)^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad\n \ in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k)-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad\n \ in \mathbb {N} \end{aligned}}}

Misschien wel de meest bekende waarde van de gamma-functie bij een non-integer argument is

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = (2 n-1)! ! 2 N π = (n-1 2 n) n ! π Γ (1 2-n) = (- 4) n n ! (2 n)! π = (- 2 ) n (2 n − 1 ) ! ! π = π (- 1/2 n) n ! {\displaystyle {\begin{aligned} \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{2}}+n\right)& = {(2n)! \over 4^{n}n!{\sqrt {\pi}} ={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }} ={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}} n!{\sqrt {\pi }} \ \ \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{2}} – n \ right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }} ={\frac {(-2)^{n}} {(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }} ={\frac {\sqrt {\pi }} {{\binom {-1 / 2}{n}} n!,}} \ end{aligned}}}

de afgeleiden van de gammafunctie worden beschreven in termen van de polygamma-functie. Bijvoorbeeld:

Γ ‘ (z) = Γ ( z) ψ 0 ( z). {\displaystyle \ Gamma ‘ (z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}

voor een positief geheel getal m kan de afgeleide van de gammafunctie als volgt worden berekend (hier is γ {\displaystyle \gamma } de constante van Euler–Mascheroni):

Γ ‘ (m + 1) = m ! (- γ + ∑ k = 1 m 1 k). {\displaystyle \ Gamma ‘ (m+1) = m!\ left (- \gamma + \ sum _{k = 1}^{m} {\frac {1}{k}}\right)\,.,}

Voor ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} de n {\displaystyle n} de afgeleide van de gammafunctie is:

D N D x n γ ( x) = ∞ 0 ∞ t x − 1 e − t ( Ln ⁡ t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}} \ Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t} (\ln t)^{n}\,dt.,}

(Dit kan worden afgeleid door de integraalvorm van de gammafunctie te differentiëren ten opzichte van x {\displaystyle x} , en door gebruik te maken van de differentiatietechniek Onder het integraalteken.)

met behulp van de identiteit

Γ (n) (1) = (−1) n n ! ∑ π ⊢ n ∏ i = 1 R ζ ζ (a i ) k i ! ⋅ a i ζ ζ ( x ) := { ζ (x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\ sum \ limits _{\pi\, \ vdash \, n}\, \ prod _{i = 1}^{r} {\frac {\zeta ^{*} (a_{i})}{k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}} π = 1 + ⋯ + 1 ⏟ k) voorwaarden 1 + ⋯ + a r + ⋯ + r ⏟ k r termen , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ voorwaarden}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ voorwaarden}}},}

we hebben in het bijzonder

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z-3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\rechts)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}

Ongelijkheidsedit

wanneer de gammafunctie beperkt is tot de positieve reële getallen, is de gammafunctie een strikt logaritmisch convexe functie., Deze eigenschap kan op een van de volgende drie gelijkwaardige manieren worden vermeld:

• voor elke twee positieve reële getallen x 1 {\displaystyle x_{1}} en x 2 {\displaystyle x_{2}}, en voor elke t ∈ {\displaystyle T\in},

Γ ( t x 1 + (1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ (x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• voor twee positieve reële getallen x en y met y > x,

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ⁡ ( Γ ‘ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \ left ({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left ({\frac {\Gamma ‘(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• voor elk positief reëel getal x {\displaystyle x},

Γ ” (x ) Γ ( x ) > Γ ‘ (x ) 2 . {\displaystyle \ Gamma ” (x)\Gamma(x)>\Gamma ‘(x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + A n X N A 1 + ⋯ + a n) ≤ (Γ (x 1 ) A 1 Γ Γ ( x n ) a n) 1 a 1 + ⋯ + a n ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

Er zijn ook grenzen aan verhoudingen van gammafuncties. De bekendste is Gautschi ‘ s ongelijkheid, die zegt dat voor elk positief reëel getal x en elke s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle X^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma(x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

Stirling ‘ s formulaEdit

het gedrag van Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} voor een toenemende positieve variabele is eenvoudig. Het groeit snel, sneller dan een exponentiële functie in feite., Asymptotisch als z → ∞ , {\textyle z\to \infty \ ,} de magnitude van de gammafunctie wordt gegeven door Stirling ‘ s formule

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π Z ( Z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\SIM {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

een andere nuttige limiet voor asymptotische benaderingen is:

Lim N → ∞ γ ( N + α ) γ ( N ) N α = 1 , α c c . {\displaystyle \ lim _{n \ to \ infty } {\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

het gedrag voor niet-positieve z {\displaystyle z} is complexer., De integraal van Euler convergeert niet voor z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0}, maar de functie die hij definieert in het positieve complexe halfvlak heeft een unieke analytische voortzetting op het negatieve halfvlak. Een manier om die analytische voortzetting te vinden is door de integraal van Euler te gebruiken voor positieve argumenten en het domein uit te breiden naar negatieve getallen door herhaalde toepassing van de recidiefformule,

Γ ( z + n + 1) z ( z + 1) ⋯ (z + n), {\displaystyle \Gamma ( z) = {\frac {\Gamma (z+n+1)} {z (z+1)\cdots(z+n)}},} Res ⁡ (f , c)=lim z → c ( z − c) f ( z)., {\displaystyle \ operatorname {Res} (f, c)=\lim _{z\to c}(z-c) f(z).}

voor de eenvoudige pool z − – n {\displaystyle z= – n} herschrijven we de herhalingsformule als:

(z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) Z ( z + 1) ⋯ (z + n − 1 ) . {\displaystyle(z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)} {z(z+1) \ cdots (z+n-1)}}.}

De teller bij z − – n, {\displaystyle z= – n,} is

Γ ( z + n + 1 ) = Γ (1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma ( 1)=1}

en de noemer

z ( z + 1) ⋯ (z + n − 1 ) = − n ( 1 − n) ⋯ (n − 1 − n) = (−1 ) n n ! ., {\displaystyle z(z+1) \ cdots(z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

dus de residuen van de gammafunctie op die punten zijn:

Res ⁡ (Γ, – n) = (−1) n n ! . {\displaystyle \ operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

de gammafunctie heeft een lokaal minimum op zmin ≈ + 1.46163214496836234126(afgekapt) waar het de waarde Γ (zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (afgekapt) bereikt., De gammafunctie moet teken afwisselen tussen de polen omdat het product in de voorwaartse herhaling een oneven aantal negatieve factoren bevat als het aantal polen tussen z {\displaystyle z} en z + n {\displaystyle z+n} oneven is, en een even getal als het aantal polen even is.

integrale representatiesedit

Er zijn vele formules, naast de Euler-integraal van de tweede soort, die de gammafunctie als een integraal uitdrukken. Bijvoorbeeld, wanneer het reële deel van z positief is,

Γ (z) = ∫ 0 1 ( log 1 1 t) z − 1 d t ., {\displaystyle \ Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left (\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}

Binet ‘ s eerste integrale formule voor de gammafunctie stelt dat, wanneer het reële deel van z positief is, dan:

log Γ Γ ( z) = (z − 1 2 ) log ⁡ z-z + 1 2 log ⁡ (2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t-1) e-t z t d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)= \ left (z – {\frac {1}{2}}\right) \ log z-z+{\frac {1}{2}} \ log (2\pi) +\int _{0}^{\infty} \ left ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-TZ}}{t}}\, dt.}

De integraal aan de rechterkant kan worden geïnterpreteerd als een Laplace-transformatie., Dat wil zeggen,

log ⁡ ( Γ ( Z ) ( e z ) z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 T 2 + 1 T ( e t − 1 ) ) ( z ) . {\displaystyle \ log \ left (\Gamma (z)\left ({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left ({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{T^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right) (z).}

Binet ‘ s tweede integraal formule stelt dat, opnieuw als het reële deel van z positief is, dan:

log Γ Γ ( z) = (z − 1 2 ) log z z − z + 1 2 log ⁡ (2 π ) + 2 ∞ 0 ∞ arctan ⁡ (t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi) +2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)} {e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

Laat C een Hankel contour, de betekenis van een pad dat begint en eindigt op het punt ∞ op de Riemann-gebied, waarvan de eenheid raaklijn vector convergeert naar -1 aan het begin van het pad en 1 op het einde, die heeft kronkelende nummer 1 rond 0, en die niet over

Γ ( z ) = − 1 2 i sin ⁡ π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C ( − t ) − z-e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}

opnieuw geldig wanneer z is niet een geheel getal.,zalving heeft de volgende Fourier-reeks uitbreiding voor 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ π − 1 2 ln ⁡ zonde ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n zonde ⁡ ( 2 π n z) {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi-z)+{\frac {1}{\pi }}\som _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

die was voor een lange tijd toegeschreven aan Ernst Kummer, die afgeleid is het in 1847., Iaroslav Blagouchine ontdekte echter dat Carl Johan Malmsten deze serie voor het eerst had afgeleid in 1842.in 1840 bewees Joseph Ludwig Raabe dat

∫ a a + 1 ln Γ Γ (z ) d z = 1 2 ln 2 2 π + a ln ⁡ a − a , a > 0. {\displaystyle\int _{a}^{a+1} \ln\Gamma (z)\, dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +A\ln a-a, \ quad a>0.}

in het bijzonder, als a = 0 {\displaystyle a=0} dan

0 0 1 ln Γ Γ ( z ) d z = 1 2 ln 2 2 π . {\displaystyle\int _{0}^{1} \ln\Gamma (z)\, dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2 \ pi .,}

deze laatste kan worden afgeleid aan de hand van de logaritme in de bovenstaande vermenigvuldigingsformule, die een uitdrukking geeft voor de Riemann-som van de integrand. Het nemen van de limiet voor a → ∞ {\displaystyle a \ rightarrow \ infty } geeft de formule.,

Pi functionEdit

een alternatieve notatie die oorspronkelijk werd geïntroduceerd door Gauss en die soms werd gebruikt is De Π {\displaystyle \Pi } -functie, die in termen van de gammafunctie

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }E^{-T}T^{Z}\,DT,}

zodat π ( N ) = N ! {\displaystyle \ Pi (n) = n!} voor elk NIET-negatief geheel getal n {\displaystyle n} .,

met Behulp van de functie van pi de reflectie formule neemt de vorm

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

waar sinc is de genormaliseerde sinc functie, terwijl de vermenigvuldiging stelling neemt de vorm

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \ Pi \ left ({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

we vinden soms ook

π ( z)=1 Π ( z), {\displaystyle \pi (z) = {\frac {1}{\Pi (z)}}\,}

het volume van een n-ellipsoïde met radii r1, …, rn kan worden uitgedrukt als

V n (r 1,…, r n) = π n 2 Π ( n 2) ∏ k = 1 N r k . {\displaystyle V_{n} (r_{1}, \ dotsc, r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

relatie met andere functiet

• in de eerste integraal hierboven, die de gammafunctie definieert, zijn de grenzen van integratie vast., De bovenste en onderste incomplete gammafuncties zijn de functies die worden verkregen door de onderste of bovenste grens van integratie te laten variëren.
• de gammafunctie is gerelateerd aan de bètafunctie door de formule

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \ mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• het logaritmische derivaat van de gammafunctie wordt de digamma-functie genoemd; hogere derivaten zijn de polygamma-functies.,
• het analoog van de gammafunctie over een eindig veld of een eindige ring is de Gaussiaanse Som, een type exponentiële Som.
• de reciproke gammafunctie is een volledige functie en is als een specifiek onderwerp bestudeerd.
• de gammafunctie verschijnt ook in een belangrijke relatie met de Riemann-zèta-functie, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} .

π-z 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ (1 − z ) ., {\displaystyle \ pi ^{- {\frac {z}{2}}}\; \ Gamma \ left ({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{- {\frac {1-z}{2}}}\; \Gamma\left ({\frac {1-Z}{2}}\right)\; \ zeta (1-z).} Het komt ook voor in de volgende formule: ζ ( z ) Γ ( z) = ∞ 0 ∞ U z E u − 1 d U u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{U}-1}}\,{\frac {du}{u}},} die alleen geldig is voor ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (Z)>1} ., De logaritme van de gammafunctie voldoet aan de volgende formule door Lerch: log Γ Γ ( x ) = ζ H ‘( 0 , x ) − ζ ‘ ( 0 ) , {\displaystyle \Log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‘(0),} waar ζ H {\displaystyle \zeta _{h}} De Hurwitz-zèta-functie is, ζ {\displaystyle \zeta } de Riemann-zèta-functie en het priemgetal (‘) duidt differentiatie aan in de eerste variabele.

• de gammafunctie is gerelateerd aan de uitgerekte exponentiële functie. De momenten van die functie zijn bijvoorbeeld

τ τ n ⟩ ≡ 0 0 ∞ d t t n-1 E – (T τ ) β = τ N β Γ (N β ) ., {\displaystyle \ langle \ tau ^{n}\rangle \equiv \ int _{0}^{\infty }dt\, t^{n-1}\, e^{- \left ({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left ({n \over \beta }\right).}

bijzondere waardenedit

tot de eerste 20 cijfers na de komma zijn enkele bijzondere waarden van de gammafunctie:

Γ (- 3 2) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ (- 1 2) = – 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ (1 2) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ (1) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

de complexe gammafunctie is niet gedefinieerd voor niet-positieve gehele getallen, maar in deze gevallen kan de waarde in de Riemann-sfeer worden gedefinieerd als ∞. De reciproke gammafunctie is goed gedefinieerd en analytisch bij deze waarden (en in het gehele complexe vlak):

1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}