Fibonacci is een van de bekendste namen in de wiskunde. Dit zou een verrassing zijn voor Leonardo Pisano, de wiskundige die we nu kennen met die naam. En hij zou net zo verbaasd zijn geweest dat hij vereeuwigd is in de beroemde reeks– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – in plaats van voor wat wordt beschouwd als zijn veel grotere wiskundige prestatie – het helpen populariseren van ons moderne getalsysteem in de Latijns-sprekende wereld.,
Het Romeinse Rijk verliet Europa met het Romeinse cijfersysteem dat we nog steeds zien in de copyrightvermeldingen na film en TV-programma ‘ s (2013 is MMXIII). De Romeinse cijfers werden pas in het midden van de 13e eeuw n. Chr. verloren, en Leonardo Pisano ‘ s boek, Liber Abaci (wat “het Boek der berekeningen” betekent), was een van de eerste westerse boeken om hun uiteindelijke vervanging te beschrijven.
Leonardo Fibonacci c1175-1250.,Leonardo Pisano werd eind twaalfde eeuw geboren in Pisa, Italië: Pisano gaf in het Italiaans aan dat hij uit Pisa kwam, op dezelfde manier als Mancunian aangeeft dat ik Uit Manchester kom. Zijn vader was een koopman genaamd Guglielmo Bonaccio en het is vanwege de naam van zijn vader dat Leonardo Pisano bekend werd als Fibonacci. Eeuwen later, toen scholars de handgeschreven exemplaren van Liber Abaci bestudeerden (zoals het werd gepubliceerd voordat de druk werd uitgevonden), interpreteerde Theymis een deel van de titel – “filius Bonacci” betekent “zoon van Bonaccio” – als zijn achternaam, en Fibonacci werd geboren.,Fibonacci (zoals we hem zullen blijven noemen) bracht zijn jeugd door in Noord-Afrika, waar zijn vader douanebeambte was. Hij werd opgeleid door de Moren en reisde op grote schaal in barbarij (Algerije), en werd later gestuurd op zakenreizen naar Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en Provence.In 1200 hij keerde terug naar Pisa en gebruikte de kennis die hij op zijn reizen had opgedaan om Liber Abaci (gepubliceerd in 1202) te schrijven waarin hij de Latijns-sprekende wereld introduceerde tot het decimale getalsysteem. Het eerste hoofdstuk van Deel 1 begint:
” Dit zijn de negen figuren van de Indianen: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Met deze negen cijfers, en met dit teken 0 dat in het Arabisch zephirum wordt genoemd, kan elk getal worden geschreven, zoals zal worden aangetoond.”
Italië bestond destijds uit kleine onafhankelijke steden en regio ‘ s en dit leidde tot het gebruik van vele soorten gewichten en geldsystemen. Handelaren moesten om te zetten van de ene naar de andere wanneer ze handel tussen deze systemen., Fibonacci schreef Liber Abaci voor deze kooplieden, gevuld met praktische problemen en werkte voorbeelden waaruit bleek hoe eenvoudig commerciële enmathetische berekeningen kunnen worden gedaan met dit nieuwe nummersysteem in vergelijking met de logge Romeinse cijfers. De impact van Fibonacci ‘ s boek als hetbeginnen van de verspreiding van decimale getallen was zijn grootste wiskundige prestatie. Echter, Fibonacci wordt beter herinnerd voor een bepaalde volgorde van getallen die verscheen als een voorbeeld in LiberAbaci.,
een pagina van Fibonacci ‘ s Liber Abaci uit de Biblioteca Nazionale di Firenze met de Fibonacci-reeks (in het vak rechts).”
het probleem met konijnen
een van de wiskundige problemen die Fibonacci onderzocht in Liber Abaci was over hoe snel konijnen konden broeden in ideale omstandigheden.Stel dat een pasgeboren paar konijnen, een mannetje, een vrouwtje, in een veld worden gezet. Konijnen zijn in staat om te paren op de leeftijd van een maand, zodat aan het einde van de tweede maand een vrouwtje een ander paar konijnen kan produceren., Stel dat onze konijnen nooit sterven en dat het vrouwtje vanaf de tweede maand elke maand een nieuw paar (een mannetje, een vrouwtje) produceert. De puzzel die Fibonacci stelde was… Hoeveel paren zullen er in een jaar zijn?
- aan het einde van de eerste maand paren ze, maar er is nog steeds slechts 1 paar.
- aan het einde van de tweede maand produceert het vrouwtje een nieuw paar, dus nu zijn er 2 paar konijnen.
- aan het einde van de derde maand produceert het oorspronkelijke vrouwtje een tweede paar, dat in totaal 3 paren oplevert.,
- aan het einde van de vierde maand heeft het oorspronkelijke vrouwtje een nieuw paar geproduceerd, het twee maanden geleden geboren vrouwtje produceerde ook haar eerste paar, waardoor het 5 paar werd.
stel je nu voor dat er paar konijnen zijn na maanden. Het aantal paren in maand zal zijn (in dit probleem sterven konijnen nooit) plus het aantal geboren paren. Maar nieuwe paren worden alleen geboren uit paren van ten minste 1 maand oud, dus er zullen nieuwe paren zijn., Dus we hebben
|
dat is gewoon de regel voor het genereren van de Fibonacci-getallen: voeg de laatste twee om het volgende. Hierna zul je zien dat er na 12 maanden (of 1 jaar) 233 paren konijnen zullen zijn.
bijen zijn beter
het konijnenprobleem is duidelijk zeer gekunsteld, maar de Fibonacci-sequentie komt wel voor in echte populaties. Honingbijen geven een voorbeeld., In een kolonie honingbijen is er een speciaal vrouwtje genaamd de koningin. De andere vrouwtjes zijn werkbijen die, in tegenstelling tot de bijenkoningin, geen eieren produceren. De mannelijke bijen werken niet en worden dronebijen genoemd.
mannetjes worden geproduceerd door onbevruchte eieren van de koningin, zodat mannelijke bijen alleen een moeder hebben, maar geen vader. Alle vrouwtjes worden geproduceerd wanneer de koningin heeft gedekt met een mannetje en dus hebben twee ouders., Vrouwtjes eindigen meestal als werkbijen, maar sommige worden gevoed met een speciale substantie genaamd koninginnengelei, waardoor ze groeien tot koninginnen die klaar zijn om een nieuwe kolonie te beginnen wanneer de bijen een zwerm vormen en hun huis (een bijenkorf) verlaten op zoek naar een plek om een nieuw nest te bouwen. Vrouwelijke bijen hebben dus twee ouders, een mannetje en een vrouwtje, terwijl mannelijke bijen slechts één ouder hebben, een vrouwtje.
laten we eens kijken naar de stamboom van een mannelijke dronebij.
hij heeft 1 ouder, een vrouw.hij heeft twee grootouders, omdat zijn moeder twee ouders had, een man en een vrouw.,hij heeft drie overgrootouders: zijn grootmoeder had twee ouders, maar zijn grootvader had er maar één.hoeveel over-overgrootouders had hij?,”>
grootouders
grootouders
grootouders
Spiralen en shells
Bee populaties zijn niet de enige plek in de natuur waar Fibonacci-getallen optreden, ze verschijnen ook in de mooie vormen van schelpen., Om dit te zien, laten we bouwen een foto te beginnen met twee kleine vierkantjes van grootte 1 naast elkaar. Boven op beide zijden een vierkant van grootte 2 (=1+1). We kunnen nu tekenen een nieuw vierkant-aanraken van zowel een van de eenheid vierkanten en de nieuwste vierkant van kant 2-sohaving zijden 3 eenheden lang; en dan een ander aanraken van zowel de 2-vierkant en de 3-vierkant (die zijden van 5 eenheden heeft). We kunnen doorgaan met het toevoegen vanquares rond de foto, elk nieuw vierkant met een zijde die zo lang is als de som van de laatste twee zijden van het vierkant., Deze reeks rechthoeken waarvan de zijden zijn twee opeenvolgende Fibonacci nummers in lengte en die zijn samengesteld uit vierkanten met zijden die Fibonaccinumbers, zullen we de Fibonacci rechthoeken noemen.
als we nu een kwart van een cirkel in elk vierkant tekenen, kunnen we een soort spiraal opbouwen. De spiraal is geen echte wiskundige spiraal (omdat het bestaat uit fragmenten die deel uitmaken van cirkels en niet steeds kleiner en kleiner worden), maar het is een goede benadering van een soort spiraal die vaak in de natuur voorkomt., Dergelijke spiralen (logaritmische spiralen genoemd) worden gezien in de vorm van schelpen van slakken en zeeschelpen. De afbeelding hieronder van een doorsnede van een nautilus schelp toont de spiraalvormige kromming van de schelp en de inwendige kamers die het dier gebruikt als het groeit. De kamers zorgen voor drijfvermogen in het water.
Fibonacci-getallen komen ook voor in planten en bloemen. Sommige planten vertakken zo dat ze altijd een Fibonacci aantal groeipunten hebben. Bloemen hebben vaak een Fibonacci aantal bloemblaadjes,madeliefjes kunnen hebben 34, 55 of zelfs maar 89 bloemblaadjes!,
een bijzonder mooie verschijning van Fibonacci-getallen is in despiralen van zaden in een zaadkop. De volgende keer dat je een zonnebloem ziet,kijk dan naar de arrangementen van de zaden in het midden. Ze lijken zowel naar links als naar rechts naar buiten te spiralen.
|
aan de rand van deze foto van een zonnebloem, als je de krommingen van zaden telt die naar links spiralen als je naar buiten gaat, zijn er 55 spiralen., Op hetzelfde punt zijn er 34 spiralen van zaden spiralen naar rechts.Even verder naar het centrum en we tellen 34 spiralen links en 21 spiralen rechts. Het paar getallen (tellende spiralen die links en rechts buigen) zijn (bijna altijd) buren in de Fibonacci-serie.
hetzelfde gebeurt in veel zaad – en bloemhoofdjes in de natuur., De reden lijkt te zijn dat deze opstelling een optimale verpakking van de zaden vormt, zodat, hoe groot de zaadkop ook is, ze in elk stadium gelijkmatig worden verpakt, alle zaden zijn even groot, geen verdringing in het Midden en niet te schaars aan de randen.
Nature lijkt hetzelfde patroon te gebruiken om bloemblaadjes rond de rand van een bloem te rangschikken en bladeren rond een stengel te plaatsen. Wat meer is, al deze handhaven hunefficiëntie als de plant blijft groeien en dat is veel te vragen van een enkel proces! Dus hoe groeien planten om deze optimaliteit van het ontwerp te behouden?,
gouden groei
botanici hebben aangetoond dat planten groeien uit een kleine groep cellen direct aan de top van een groeiende plant, de meristem genaamd. Er is een aparte meristem aan het einde van elke tak of tak waar nieuwe cellen worden gevormd. Eenmaal gevormd, groeien ze in grootte, maar nieuwe cellen worden alleen gevormd op dergelijke groeipunten. Cellen eerder langs de stengel uitzetten en zo stijgt het groeipunt.Ook groeien deze cellen op een spiraalvormige manier: het is alsof de meristem draait door een hoek, produceert een nieuwe cel, draait weer door dezelfde hoek, produceert een nieuwe cel, enzovoort., Deze cellen kunnen dan een zaad, een nieuw blad, een nieuwe tak, of misschien op een bloem worden bloemblaadjes en meeldraden.
de bladeren hier zijn beurtelings genummerd – elk is precies 0,618 van een wijzerzin (222,5°) van de vorige.
het verbazingwekkende is dat een enkele vaste draaihoek het optimale ontwerp kan produceren, ongeacht hoe groot de plant groeit., Het principe dat een enkele hoek uniforme verpakkingen produceert, ongeacht hoeveel groei er ook verschijnt, werd al in de vorige eeuw vermoed, maar werd pas in 1993 wiskundig bewezen door Stéphane Douady en Yves Couder, twee Franse wiskundigen. Het maken van 0,618 van een beurt voor het produceren van een nieuw zaad (of blad, bloemblaadje, enz.) produceert de optimale verpakking van zaden ongeacht de grootte van de zaadkop. Maar waar komt dit magische getal 0.618 vandaan?,
de gulden snede
als we de verhouding nemen van twee opeenvolgende getallen in de reeks van Fibonacci, elk gedeeld door het getal ervoor, vinden we de volgende reeks getallen:
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…
als je een grafiek van deze waarden plot, zul je zien dat ze lijken te neigen naar een limiet, die we de gulden snede noemen (ook bekend als het goudnumber en de gulden snede).
Verhouding van opeenvolgende Fibonacci-termen.,
Het heeft een waarde van ( ongeveer 1.618034) en wordt vaak weergegeven door een Griekse letter Phi, geschreven als . De nauw verwante waarde die we schrijven als , een kleine letter phi, is slechts het decimale deel van Phi, namelijk 0.618034… (), het getal dat verantwoordelijk is voor de spiralen in de zaailingen en de rangschikking van bladeren in veel planten. Maar waarom zien we phi in zoveel planten?
het getal Phi (1.618034…), en dus ook phi (0.618034…,), zijn irrationele getallen: ze kunnen niet worden geschreven als een eenvoudige breuk. Laten we eens kijken wat er zou gebeuren als de meristem in een zaadkop in plaats daarvan draaide door een eenvoudiger nummer, bijvoorbeeld de breuk 1/2. Na twee bochten door de helft van een cirkel zouden we terug zijn naar waar het eerste zaadje werd geproduceerd. Na verloop van tijd, een halve draai tussen de zaden zou een zaad hoofd met twee armen uitstralen van een centraal punt, waardoor veel verspilde ruimte.
|
een zaadkop geproduceerd door 0.,5 = 1/2 bochten tussen zaden: alternatieve zaden line-up. |
een zaadkop geproduceerd door 0,48=12/25 windingen tussen zaden: de zaden vormen twee draaiende armen. |
een zaadkop geproduceerd door 0,6=3/5 windingen tussen zaden: de zaden vormen 5 rechte armen., |
Pi bochten tussen zaden produceren zeven spiraalarmen
iets dergelijks gebeurt voor elke andere eenvoudige fractie van een beurt: zaden groeien in spiraalarmen die veel ruimte tussen hen laten (het aantal armen is de noemer van de breuk). Dus de beste waarde voor de bochten tussen zaden zal een irrationeel getal zijn. Maar niet zomaar een irrationeel getal is voldoende. Bijvoorbeeld, de zaadkop gemaakt met pi bochten per zaad lijkt zeven spiraalvormige armen van zaden te hebben., Dit komt omdat 22/7 een zeer goede rationele benadering van pi is.
wat nodig is om geen ruimte te verspillen is een irrationeel getal dat niet goed benaderd wordt door een rationeel getal. En het blijkt dat Phi (1.618034…) en het decimale deel phi (0,618034…) zijn de “meest irrationele” van alle irrationele getallen. (Je kunt erachter komen waarom in Chaos in number land: het geheime leven van voortdurende breuken.) Dit is de reden waarom een beurt van Phi zorgt voor de optimale verpakking van zaden en bladeren in planten., Het verklaart ook waarom de Fibonacci getallen voorkomen in de bladregelingen en als het aantal spiralen in zaailingen. Aangrenzende Fibonacci-getallen geven de beste benaderingen van de gulden snede. Ze zijn om de beurt de noemer van de benaderingen en definiëren het aantal of spiralen als de zaadkoppen in grootte toenemen.
hoe hebben zoveel planten dit mooie en nuttige aantal, Phi, ontdekt?Blijkbaar niet van het oplossen van de wiskunde zoals Fibonacci deed., In plaats daarvan denken we dat, net zoals de verhouding van opeenvolgende Fibonacci-getallen zich op de gulden snede vestigt, de evolutie zich geleidelijk ook op het juiste getal vestigde. De erfenis van Leonardo Pisano, aka Fibonacci, ligt in het hart van elke bloem, evenals in het hart van ons nummersysteem.
verder lezen
Als u van dit artikel heeft genoten, kunt u Fibonacci-nummers en de gulden snede bezoeken.
over dit artikel
Dit artikel is gebaseerd op materiaal geschreven door Dr R., Knott, die eerder docent was aan de afdeling Computing Studies aan de Universiteit van Surrey. Knott begon de website op Fibonacci nummers en de gulden snede terug in 1996 als een experiment op het gebruik van het web te inspireren en aan te moedigen meer wiskunde onderzoeken, zowel binnen als buiten de schooltijd. Het is sindsdien gegroeid en omvat nu vele andere onderwerpen, allemaal met interactieve elementen en online rekenmachines. Hoewel nu gepensioneerd, Knott nog steeds onderhoudt en breidt de webpagina ‘ s., Hij is momenteel een Visiting Fellow aan de Universiteit van Surrey en geeft lezingen over het hele land aan scholen, universiteiten, conferenties en wiskundige verenigingen. Hij houdt ook van wandelen, wiskundige recreaties, het kweken van dingen om te eten en ze te koken.
Geef een reactie