in de calculus maakt een methode genaamd impliciete differentiatie gebruik van de kettingregel om impliciet gedefinieerde functies te onderscheiden.
om een impliciete functie y(x) te differentiëren, gedefinieerd door een vergelijking R(x, y) = 0, is het over het algemeen niet mogelijk om deze expliciet op te lossen voor y en dan te differentiëren. In plaats daarvan kan men R(x, y) = 0 volledig onderscheiden met betrekking tot x en y en dan de resulterende lineaire vergelijking voor dy/dx oplossen om expliciet De afgeleide in termen van x en y te krijgen., Zelfs wanneer het mogelijk is om de oorspronkelijke vergelijking expliciet op te lossen, is de formule als gevolg van totale differentiatie in het algemeen veel eenvoudiger en gemakkelijker te gebruiken.
Voorbeelddit
Voorbeeld 1. Beschouw
y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y+x + 5=0\,.}
deze vergelijking is gemakkelijk op te lossen voor y, waarbij
y = − x − 5 {\displaystyle y=-x-5\,,}
waar de rechterkant de expliciete vorm van de functie y(x) is. Differentiatie geeft dan dy / dx = -1.
alternatief kan men de oorspronkelijke vergelijking volledig differentiëren:
d y d x + d x d x + d d x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}} (5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1 + 0& = 0\,.\ end{aligned}}}
oplossen voor dy / dx geeft
d y d x = – 1, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}} = -1\,,}
hetzelfde antwoord als eerder verkregen.
Voorbeeld 2. Een voorbeeld van een impliciete functie waarvoor impliciete differentiatie gemakkelijker is dan expliciete differentiatie is de functie y(x) gedefinieerd door de vergelijking
x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle X^{4}+2y^{2} = 8\,.,}
om dit expliciet te onderscheiden met betrekking tot x, moet men eerst
y (x ) = ± 8 – x 4 2 krijgen, {\displaystyle y (x)= \ pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}
en dan differentiëren deze functie. Dit creëert twee derivaten: een voor y ≥ 0 en een andere voor y < 0.
Het is veel gemakkelijker om impliciet onderscheid te maken tussen de oorspronkelijke vergelijking:
4 x 3 + 4 y d y d x = 0, {\displaystyle 4x^{3}+4y {\frac {dy}{dx}} = 0\,,}
geeft
d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {- 4x^{3}} {4y}}= – {\frac {x^{3}}{y}}\,.}
Voorbeeld 3., Vaak is het moeilijk of onmogelijk om expliciet op te lossen voor y, en impliciete differentiatie is de enige haalbare methode van differentiatie. Een voorbeeld is de vergelijking
y 5-y = x . {\displaystyle y^{5} – y=x\,.}
het is onmogelijk om y expliciet uit te drukken als een functie van x, en daarom kan men dy/dx niet vinden door expliciete differentiatie. Met behulp van de impliciete methode kan dy/dx worden verkregen door de vergelijking te differentiëren om
5 y 4 D y d x − d y d x = d x D x, {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}
waarbij dx/dx = 1., Uit dy/dx blijkt dat
(5 y 4 − 1 ) d y d x = 1, {\displaystyle \ left (5y^{4}-1\right) {\frac {dy}{dx}} = 1\,,}
wat het resultaat
D y D x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}} = {\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}
die is gedefinieerd voor
y ≠ ± 1 5 4 en y ≠ ± 1 5 4 . {\displaystyle y \ neq \ pm {\frac {1}{\sqrt{5}}} \quad {\text{en}}\quad y \neq\pm {\frac {i} {\sqrt{5}}}\,.}
algemene formule voor afgeleide van impliciete functiedit
als R (x, y) = 0, wordt de afgeleide van de impliciete functie y(x) gegeven door:§11.,5
d y d x = − ∂ r ∂ x ∂ R ∂ y = − R x r y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}
waarbij Rx en Ry de partiële derivaten van R met betrekking tot X en y.,
De bovenstaande formule komt van het gebruik van de gegeneraliseerde kettingregel te verkrijgen van de totale afgeleide — met betrekking tot x — van beide zijden van R(x, y) = 0:
∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
dus
∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
die, wanneer het wordt opgelost voor dy/dx, geeft de uitdrukking hierboven.
Geef een reactie