Precessie

Torque-induced precessie (gyroscopische precessie) is het fenomeen waarbij de as van een draaiend object (bijvoorbeeld een gyroscoop) een kegel in de ruimte beschrijft wanneer er een extern Koppel Op wordt toegepast. Het fenomeen wordt vaak gezien in een draaiende speelgoedtop, maar alle roterende objecten kunnen precessie ondergaan. Als de rotatiesnelheid en de magnitude van het externe koppel constant zijn, beweegt de Spinas loodrecht op de richting die intuïtief zou voortvloeien uit het externe koppel., In het geval van een top van speelgoed, werkt het gewicht naar beneden vanuit het middelpunt van de massa en de normale kracht (reactie) van de grond drukt op het punt van contact met de steun. Deze twee tegengestelde krachten produceren een koppel waardoor de top precess.

Het rechts afgebeelde apparaat (of boven op mobiele apparaten)is gimbal-mounted., Van binnen naar buiten zijn er drie assen van de rotatie: de naaf van het wiel, de gimbal as, en de verticale pivot.

om onderscheid te maken tussen de twee horizontale assen, wordt rotatie rond de wielnaaf spinnen genoemd, en rotatie rond de gimbalas pitching. Rotatie rond de verticale draaias wordt rotatie genoemd.

stel je eerst voor dat het hele apparaat rond de (verticale) draaias draait. Vervolgens wordt het draaien van het wiel (rond de wielnaaf) toegevoegd. Stel je voor dat de cardanas vergrendeld is, zodat het wiel niet kan pitchen., De cardanas heeft sensoren, die meten of er een koppel rond de cardanas zit.

in de afbeelding is een deel van het wiel dm1 genoemd. Op het afgebeelde moment in de tijd bevindt sectie dm1 zich aan de omtrek van de draaiende beweging rond de (verticale) scharnieras., Sectie dm1 heeft daarom veel hoekige rotatiesnelheid ten opzichte van de rotatie rond de draaias, en omdat dm1 dichter bij de draaias van de rotatie wordt gedwongen (door het wiel dat verder draait), vanwege het corioliseffect, ten opzichte van de verticale draaias, heeft dm1 de neiging om in de richting van de pijl linksboven in het diagram (getoond bij 45°) in de draairichting rond de draaias te bewegen. Sectie dm2 van het wiel beweegt weg van de scharnieras, en dus werkt een kracht (opnieuw een Corioliskracht) in dezelfde richting als in het geval van dm1., Merk op dat beide pijlen in dezelfde richting wijzen.

dezelfde redenering geldt voor de onderste helft van het wiel, maar daar wijzen de pijlen in de tegenovergestelde richting van die van de bovenste pijlen. Gecombineerd over het hele wiel, is er een koppel rond de carbale as wanneer wat spinnen wordt toegevoegd aan de rotatie rond een verticale as.

Het is belangrijk op te merken dat het koppel rond de cardanas zonder vertraging ontstaat; de respons is ogenblikkelijk.

in de discussie hierboven werd de setup ongewijzigd gehouden door het voorkomen van pitching rond de gimbal as., In het geval van een draaiende speelgoedtop, wanneer de draaiende top begint te kantelen, oefent de zwaartekracht een koppel uit. Echter, in plaats van om te rollen, de tol gewoon pitches een beetje. Deze pitching motion heroriënteert de tol ten opzichte van het koppel dat wordt uitgeoefend. Het resultaat is dat het koppel dat door de zwaartekracht wordt uitgeoefend – via de pitching motion – gyroscopische precessie uitlokt (wat op zijn beurt een tegenkoppel oplevert tegenover het zwaartekrachtkoppel) in plaats van de draaiende top naar zijn kant te laten vallen.,

precessie of gyroscopische overwegingen hebben een effect op de prestaties van de fiets bij hoge snelheid. Precessie is ook het mechanisme achter gyrocompassen.

Classical (Newtonian)Edit

precessie is de verandering van hoeksnelheid en impulsmoment veroorzaakt door een koppel., De algemene vergelijking die het koppel relateert aan de veranderingssnelheid van het impulsmoment is:

τ = d L D t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}

vanwege de manier waarop de koppelvectoren zijn gedefinieerd, is het een vector die loodrecht staat op het vlak van de krachten die het creëren. Aldus kan worden gezien dat de vector van het impulsmoment loodrecht op die krachten zal veranderen. Afhankelijk van hoe de krachten worden gecreëerd, zullen ze vaak draaien met de impulsmomentvector, en dan circulaire precessie wordt gecreëerd.,ese omstandigheden de hoeksnelheid van de precessie wordt gegeven door:

ω p = m g e r I s ω s = τ I s ω s zonde ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}}

waar is het traagheidsmoment, ws is de hoeksnelheid van de spin over de spin-as, m is de massa, g de versnelling door de zwaartekracht, θ is de hoek tussen de rotatieas en de as van de precessie en r is de afstand tussen het centrum van de massa en de spil., De koppelvector begint in het middelpunt van de massa. Met ω = 2π/T, vinden we dat de periode van de precessie is gegeven door:

T p = 4 π 2 I s m e g r o T s = 4 π 2 I s de zonde ⁡ ( θ ) τ T s {\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}}

Waar is het traagheidsmoment, Ts is de periode van spin over de spin-as, en τ is de koppel. In het algemeen is het probleem echter ingewikkelder dan dit.,

Discussiedit

Er is een eenvoudige manier om te begrijpen waarom gyroscopische precessie optreedt zonder enige wiskunde te gebruiken. Het gedrag van een draaiend object volgt simpelweg de wetten van traagheid door elke verandering in richting te weerstaan. Een draaiend object bezit een eigenschap die bekend staat als stijfheid in de ruimte, wat betekent dat de Spinas bestand is tegen elke verandering in oriëntatie., Het is de inertie van de materie die het object omvat omdat het elke verandering in richting weerstaat die deze eigenschap verschaft. Natuurlijk verandert de richting die deze materie reist voortdurend als het object draait, maar elke verdere verandering in richting wordt weerstaan. Als een kracht wordt uitgeoefend op het oppervlak van een draaiende schijf, bijvoorbeeld, materie ervaart geen verandering in richting op de plaats waar de kracht werd uitgeoefend (of 180 graden vanaf die plaats). Maar 90 graden voor en 90 graden na die plaats, materie wordt gedwongen om van richting te veranderen., Dit zorgt ervoor dat het object zich gedraagt alsof de kracht op die plaatsen werd uitgeoefend. Wanneer een kracht op iets wordt uitgeoefend, oefent het object een gelijke kracht terug uit, maar in de tegenovergestelde richting. Omdat er geen werkelijke kracht werd uitgeoefend 90 graden voor of na, niets verhindert de reactie plaats te vinden, en het object veroorzaakt zichzelf te bewegen in reactie. Een goede manier om te visualiseren waarom dit gebeurt is om het draaiende object voor te stellen als een grote holle donut gevuld met water, zoals beschreven in het boek Thinking Physics van Lewis Epstein. De donut wordt stil gehouden terwijl er water in circuleert., Als de kracht wordt uitgeoefend, wordt het water binnen veroorzaakt om richting 90 graden te veranderen voor en na dat punt. Het water oefent dan zijn eigen kracht uit tegen de binnenwand van de donut en zorgt ervoor dat de donut draait alsof de kracht 90 graden vooruit wordt uitgeoefend in de draairichting. Epstein overdrijft de verticale en horizontale beweging van het water door de vorm van de donut te veranderen van rond naar vierkant met afgeronde hoeken.

stel je nu voor dat het object een draaiend fietswiel is, dat aan beide uiteinden van de as in de handen van een onderwerp wordt gehouden., Het wiel draait klok-wise gezien van een kijker naar rechts van het onderwerp. Klokposities op het wiel worden gegeven ten opzichte van deze viewer. Als het wiel draait, reizen de moleculen waaruit het bestaat precies horizontaal en naar rechts op het moment dat ze de 12-uur positie passeren. Ze reizen dan verticaal naar beneden op het moment dat ze 3 uur passeren, horizontaal naar links om 6 uur, verticaal naar boven om 9 uur en horizontaal weer naar rechts om 12 uur. Tussen deze posities, reist elke molecule componenten van deze richtingen., Stel je nu voor dat de kijker om 12 uur een kracht uitoefent op de velg van het wiel. Voor dit voorbeeld, stel je voor dat het wiel kantelt wanneer deze kracht wordt uitgeoefend; het kantelt naar links gezien vanaf het onderwerp dat het bij zijn As houdt. Terwijl het wiel naar zijn nieuwe positie kantelt, reizen moleculen op 12 uur (waar de kracht werd uitgeoefend) en die op 6 uur nog steeds horizontaal; hun richting veranderde niet omdat het wiel kantelde. Ook is hun richting niet anders nadat het wiel in zijn nieuwe positie is neergezet; ze bewegen nog steeds horizontaal op het moment dat ze 12 en 6 uur passeren., Maar moleculen die 3 en 9 uur passeerden, moesten van richting veranderen. Die om 3 uur werden gedwongen om te veranderen van het bewegen van recht naar beneden, naar beneden en naar rechts gezien vanaf het onderwerp met het wiel. Moleculen die 9 uur passeerden werden gedwongen om te veranderen van recht omhoog, naar omhoog en naar links. Deze verandering in richting wordt weerstaan door de traagheid van die moleculen. En wanneer ze deze koerswijziging ervaren, oefenen ze een gelijke en tegengestelde kracht uit in reactie op die locaties-3 en 9 uur., Om 3 uur, waar ze gedwongen werden om te veranderen van recht naar beneden naar beneden en naar rechts, oefenen ze hun eigen gelijke en tegengestelde reactieve kracht naar links uit. Om 9 uur oefenen ze hun eigen reactieve kracht naar rechts uit, gezien vanaf het subject dat het wiel vasthoudt. Dit zorgt ervoor dat het wiel als geheel reageert door even tegen de klok in te draaien, gezien van direct boven. Dus, als de kracht werd uitgeoefend op 12 uur, het wiel gedragen alsof die kracht werd uitgeoefend op 3 uur, dat is 90 graden vooruit in de richting van spin., Of, je kunt zeggen dat het zich gedroeg alsof een kracht uit de tegenovergestelde richting werd uitgeoefend op 9 uur, 90 graden voorafgaand aan de draairichting.

samengevat, wanneer je een kracht uitoefent op een draaiend object om de richting van zijn Spinas te veranderen, verander je niet de richting van de materie waaruit het object bestaat op de plaats waar je de kracht hebt uitgeoefend (noch op 180 graden ervan); materie ervaart nul verandering in richting op die plaatsen. Materie ervaart de maximale verandering in richting 90 graden voor en 90 graden voorbij die plaats, en kleinere hoeveelheden dichter bij., De gelijke en tegengestelde reactie die 90 graden voor en na plaatsvindt zorgt ervoor dat het object zich gedraagt zoals het doet. Dit principe wordt gedemonstreerd in helikopters. De bedieningsorganen van de helikopter zijn zodanig opgezet dat de ingangen ervan naar de rotorbladen worden overgebracht op punten 90 graden vóór en 90 graden voorbij het punt waarop de gewenste verandering in de houding van het vliegtuig wordt gewenst. Het effect is dramatisch voelbaar op motorfietsen. Een motorfiets zal plotseling leunen en draaien in de tegenovergestelde richting de handgrepen worden gedraaid.,

Gyroprecessie veroorzaakt een ander fenomeen bij het draaien van objecten zoals het fietswiel in dit scenario. Als de persoon die het wiel vasthoudt een hand van het ene uiteinde van zijn as verwijdert, zal het wiel niet omvallen, maar rechtop blijven staan, ondersteund aan het andere uiteinde. Het zal echter onmiddellijk een extra beweging aannemen; het zal beginnen om een verticale as te draaien, draaiend op het steunpunt terwijl het blijft draaien. Als je toestaat dat het wiel blijft draaien, moet je je lichaam in dezelfde richting draaien als het wiel draaide., Als het wiel niet ronddraaide, zou het uiteraard omvallen en vallen wanneer een hand wordt verwijderd. De eerste actie van het wiel dat begint om te vallen is gelijk aan het uitoefenen van een kracht op het op 12 uur in de richting van de niet-ondersteunde zijde (of een kracht op 6 uur in de richting van de ondersteunde zijde). Wanneer het wiel draait, is het plotselinge gebrek aan steun aan één uiteinde van de as gelijk aan dezelfde kracht. Dus, in plaats van om te vallen, gedraagt het wiel zich alsof er een continue kracht op wordt uitgeoefend op 3 of 9 uur, afhankelijk van de draairichting en welke hand werd verwijderd., Dit zorgt ervoor dat het wiel begint te draaien aan het ene ondersteunde uiteinde van de as terwijl het rechtop blijft. Hoewel het op dat punt draait, doet het dit alleen vanwege het feit dat het daar wordt ondersteund; de werkelijke as van precessionele rotatie bevindt zich verticaal door het wiel, door het middelpunt van de massa. Ook houdt deze verklaring geen rekening met het effect van variatie in de snelheid van het draaiende object; het illustreert alleen hoe de Spinas zich gedraagt als gevolg van precessie., Meer correct, het object gedraagt zich volgens het evenwicht van alle krachten gebaseerd op de grootte van de toegepaste kracht, massa en rotatiesnelheid van het object. Zodra het is gevisualiseerd waarom het wiel rechtop blijft en draait, kan het gemakkelijk worden gezien waarom de as van een tol langzaam draait terwijl de top draait zoals weergegeven in de illustratie op deze pagina. Een top gedraagt zich precies zoals het fietswiel door de zwaartekracht die naar beneden trekt. Het contactpunt met het oppervlak waarop het draait is gelijk aan het uiteinde van de as waarop het wiel wordt ondersteund., Als de spin van de top vertraagt, wordt de reactieve kracht die het rechtop houdt als gevolg van inertie overwonnen door de zwaartekracht. Zodra de reden voor gyroprecessie is gevisualiseerd, beginnen de wiskundige formules zinvol te worden.

relativistisch (Einsteinian)Edit

de speciale en algemene relativiteitstheorieën geven drie soorten correcties aan de Newtoniaanse precessie, van een gyroscoop in de buurt van een grote massa zoals de aarde, zoals hierboven beschreven. Ze zijn:

• Thomas precessie, een speciale relativistische correctie die rekening houdt met een object (zoals een gyroscoop) dat wordt versneld langs een gebogen pad.,
• De Sitter precessie, een algemene relativistische correctie die de Schwarzschild-metriek van gebogen ruimte in de buurt van een grote niet-roterende massa vertegenwoordigt.
• Lense-Thirring precessie, een algemeen-relativistische correctie die rekening houdt met het frame slepen met de Kerr-metriek van gebogen ruimte in de buurt van een grote roterende massa.