życie i liczby Fibonacciego

Fibonacci jest jednym z najbardziej znanych nazwisk w matematyce. Byłoby to zaskoczeniem dla Leonardo Pisano, matematyka, którego teraz znamy pod tym nazwiskiem. I mógł być równie zaskoczony, że został uwieczniony w słynnej sekwencji– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – zamiast za to, co jest uważane za jego znacznie większe matematyczne osiągnięcie-pomagając popularyzować nasz nowoczesny system liczbowy w świecie latynoamerykańskim.,

Cesarstwo Rzymskie opuściło Europę z rzymskim systemem liczbowym, który można zobaczyć m.in. w informacjach o prawach autorskich po filmach i programach telewizyjnych (2013 r. to MMXIII). Cyfry rzymskie nie zostały umieszczone aż do połowy XIII wieku naszej ery, a książka Leonarda Pisano, Liber Abaci (co oznacza „Księga obliczeń”), była jedną z pierwszych zachodnich książek, które opisały ich ewentualną wymianę.

Leonardo Pisano urodził się pod koniec XII wieku w Pizie we Włoszech. Pisano po włosku wskazywało, że pochodzi z Pizy, tak samo jak Mancunian wskazuje, że jestem z Manchesteru. Jego ojciec był kupcem Guglielmo Bonaccio i to właśnie od imienia Ojca Leonardo Pisano stał się znany jako Fibonacci. Wieki później, gdy badali rękopiśmienne kopie Liber Abaci(tak jak zostało wydane przed wynalezieniem druku), część tytułu – „filius Bonacci” oznaczającego „sonof Bonaccio” – jako jego nazwisko-narodził się Fibonacci.,

Fibonacci (jak go będziemy dalej nazywać) spędził dzieciństwo w północnej Afryce, gdzie jego ojciec był celnikiem. Kształcił się i podróżował po Barbarze (Algieria), a później odbył podróże służbowe do Egiptu, Syrii, Grecji, Sycylii i Provence.In 1200 powrócił do Pizy i wykorzystał wiedzę zdobytą podczas podróży do napisania Liber Abaci (wydanej w 1202), w której wprowadził świat łacińskojęzyczny do systemu liczb dziesiętnych. Rozpoczyna się pierwszy rozdział części 1:

” Oto dziewięć postaci Indian: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Z tymi dziewięcioma cyframi i tym znakiem 0, który w języku arabskim nazywa się zefirum, można zapisać dowolną liczbę, co zostanie zademonstrowane.”

Włochy w tym czasie składały się z małych niezależnych miast i regionów, co doprowadziło do stosowania wielu rodzajów wag i systemów pieniężnych. Kupcy musieli konwertować z jednego do drugiego, gdy handlowali między tymi systemami., Fibonacci napisał Liber Abaci dla tych kupców, wypełniony praktycznymi problemami i praktycznymi przykładami pokazującymi, jak proste obliczenia handlowe i matematyczne można wykonać z nowym systemem liczbowym w porównaniu z nieporęcznymi cyframi rzymskimi. Wpływ książki Fibonacciego jako początku rozprzestrzeniania się liczb dziesiętnych był jego największym osiągnięciem matematycznym. Jednak Fibonacciego jest lepiej zapamiętywany dlapewna sekwencja liczb, która pojawiła się jako przykład w LiberAbaci.,

problem z królikami

jednym z matematycznych problemów Fibonacciego zbadanych w Liber Abaci było to, jak szybko króliki mogą rozmnażać się w idealnych warunkach.Załóżmy, że nowo narodzona para królików, jeden samiec, jedna samica, zostanie umieszczona w polu. Króliki są w stanie kojarzyć się w wieku jednego miesiąca, aby pod koniec drugiego miesiąca samica mogła wyprodukować kolejną parę królików., Załóżmy, że nasze króliki nigdy nie umierają i że samica zawsze produkuje jedną nową parę (jeden samiec, jedna samica) co miesiąc od drugiego miesiąca. Układanka, którą ułożył Fibonacci… Ile par będzie w ciągu roku?

• pod koniec pierwszego miesiąca łączą się, ale jest jeszcze tylko 1 para.
• pod koniec drugiego miesiąca samica wytwarza nową parę, więc teraz są 2 pary królików.
• pod koniec trzeciego miesiąca samica rodzi drugą parę, tworząc w sumie 3 pary.,
• pod koniec czwartego miesiąca oryginalna samica wyprodukowała kolejną nową parę, Urodzona dwa miesiące temu samica wyprodukowała również pierwszą parę, tworząc 5 par.

teraz wyobraź sobie, że są pary królików po miesiące. Liczba par w miesiącu będzie wynosić (w tym problemie króliki nigdy nie umierają) plus liczba nowych par urodzonych. Ale nowe pary rodzą się tylko dla par co najmniej 1 miesiąca życia, więc będą nowe pary., Mamy więc

która jest po prostu regułą generowania liczb Fibonacciego: dodaj dwie ostatnie, aby uzyskać następne. Po tym odkryjesz, że po 12 miesiącach (lub 1 roku) pojawią się 233 pary królików.

pszczoły są lepsze

problem królików jest oczywiście bardzo wymyślny, ale sekwencja Fibonacciego występuje w rzeczywistych populacjach. Przykładem są pszczoły miodne., W kolonii pszczół miodnych jest jedna specjalna samica zwana królową. Pozostałe samice to pszczoły robotnice, które w przeciwieństwie do Królowej nie produkują jaj. Samce pszczół nie wykonują pracy i nazywane są pszczołami dronowymi.

samce są produkowane przez niefertylizowane jaja królowej, więc samce mają tylko matkę, ale nie mają ojca. Wszystkie samice rodzą się, gdy królowa łączy się z samcem, a więc mają dwoje rodziców., Samice zwykle kończą jako robotnice, ale niektóre są karmione specjalną substancją o nazwie mleczko pszczele, która sprawia, że rosną w królowe gotowe do rozpoczęcia nowej kolonii, gdy pszczoły tworzą Rój i opuszczają swój dom (ul) w poszukiwaniu miejsca do budowy nowego gniazda. Tak więc samice pszczół mają dwóch rodziców, samca i samicę, podczas gdy samce pszczół mają tylko jednego rodzica, samicę.

spójrzmy na drzewo genealogiczne męskiej pszczoły drona.

ma 1 rodzica, kobietę.
ma dwóch dziadków, ponieważ jego matka miała dwoje rodziców, mężczyznę i kobietę.,
ma trzech pradziadków: jego babcia miała dwóch rodziców, ale dziadek miał tylko jednego.
ilu prapradziadków miał?,”>

Liczba rodziców dziadków prapradziadków prapradziadków prapradziadków
dziadków pszczoły męskiej 1 2 3 5 8 matki pszczoły 2 3 5 8 13

spirale i muszle

populacje pszczół nie są jedynym miejscem w przyrodzie, gdzie występują liczby Fibonacciego, pojawiają się również w pięknych kształtach muszli., Aby to zobaczyć, zbudujmy obraz zaczynający się od dwówmałe kwadraty o rozmiarze 1 obok siebie. Na górze obu z nich narysuj kwadrat o wielkości 2 (=1+1). Możemy teraz narysować nowy kwadrat-dotykając zarówno jednego z kwadratów jednostki, jak i ostatniego kwadratu strony 2-tak, że mają boki 3 jednostki długości; a następnie kolejny dotykając zarówno 2-kwadrat, jak i 3-kwadrat(który ma boki 5 jednostek). Możemy kontynuować dodawanie kwadratów wokół obrazu, każdy nowy kwadrat ma bok, który jest tak długi, jak suma dwóch ostatnich boków kwadratu., Ten zbiór prostokątów, których bokami są dwie kolejne liczby Fibonacciego w długości i które składają się z kwadratów o bokach, które są Fibonacciego, nazywamy prostokątami Fibonacciego.

Jeśli teraz narysujemy ćwierć okręgu w każdym kwadracie, możemy zbudować jedną spiralę. Spirala nie jest prawdziwą spiralą matematyczną (ponieważ składa się z elementów, które są częściami okręgów i nie przechodzą na mniejsze i mniejsze), ale jest dobrym przybliżeniem do rodzaju Spiral, który często pojawia się w przyrodzie., Takie spirale (zwane spiralami logarytmicznymi) są widoczne w kształcie muszli ślimaków i muszli morskich. Poniższy obraz przekroju muszli nautilus pokazuje spiralną krzywiznę muszli i wewnętrzne komory, które zwierzę używające tej muszli dodaje do swojego wzrostu. Komory zapewniają wyporność w wodzie.

liczby Fibonacciego pojawiają się również w roślinach i kwiatach. Niektóre rośliny rozgałęziają się w taki sposób, że zawsze mają liczbę punktów wzrostu Fibonacciego. Kwiaty często mają liczbę płatków Fibonacciego,stokrotki mogą mieć 34, 55 lub nawet 89 płatków!,

szczególnie piękny wygląd liczb Fibonacciego znajduje się w nasionach w główce nasion. Następnym razem, gdy zobaczysz Słonecznik, spójrz na rozmieszczenie nasion w jego centrum. Wydają się być spiralnie na zewnątrz, zarówno w lewo, jak iw prawo.

na krawędzi tego zdjęcia słonecznika, jeśli policzysz te krzywe nasion spiralnie w lewo, a ty wyjdziesz na zewnątrz, jest 55 Spiral., W tym samym miejscu są 34 spirale nasion spiralnie w prawo.Trochę dalej w kierunku centrum i możesz policzyć 34 spirale w lewo i 21 spirali w prawo. Para liczb (licząca spirale zakrzywione w lewo i zakrzywione w prawo) jest (prawie zawsze) sąsiadami serii Fibonacciego.

to samo dzieje się w wielu nasionach i głowach kwiatowych w przyrodzie., Powodem wydaje się być to, że układ ten tworzy optymalne pakowanie nasion tak, że bez względu na to, jak duża Głowica nasion, są one równomiernie pakowane na każdym etapie, wszystkie nasiona są tej samej wielkości, bez tłoczenia w centrum i niezbyt rzadkie na krawędziach.

natura wydaje się używać tego samego wzoru do układania płatków wokół krawędzi kwiatu i umieszczania listków wokół łodygi. Co więcej, wszystkie one utrzymują swoją sprawność w miarę rozwoju rośliny, a to jest wiele, o co trzeba prosić w pojedynczym procesie! Więc jak rosną rośliny, aby utrzymać tę optymalność projektu?,

Golden growth

botanicy pokazali, że rośliny wyrastają z pojedynczej, maleńkiej grupy komórek tuż na czubku każdej rosnącej rośliny, zwanej merystem. Na końcu każdej gałęzi lub gałązki znajduje się oddzielny meristem, w którym powstają nowe komórki. Po uformowaniu rosną w rozmiarze, ale nowe komórki powstają tylko w takich punktach wzrostu. Komórki wcześniej w dół łodygi rozszerzają się i tak punkt wzrostu wzrasta.Ponadto komórki te rosną w sposób spiralny: to tak, jakby meristem obraca się o kąt, wytwarza nową komórkę, obraca się ponownie o ten sam kąt, wytwarza nową komórkę i tak dalej., Komórki te mogą następnie stać się nasionami, nowym liściem, nową gałęzią, a może na kwiacie stają się płatkami i pręcikami.

niesamowite jest to, że pojedynczy stały kąt obrotu może stworzyć optymalny projekt bez względu na to, jak duża roślina rośnie., Zasada, że pojedynczy kąt wytwarza jednolite opakowania bez względu na wzrost, była podejrzewana już w ubiegłym wieku, ale została udowodniona matematycznie dopiero w 1993 roku przez Stéphane Douady i Yves Couder, dwóch francuskich matematyków. Wykonanie 0,618 obrotu przed wyprodukowaniem nowego nasion (lub liści, płatków itp.) zapewnia optymalne pakowanie nasion bez względu na wielkość głowicy nasion. Ale skąd się wzięła ta magiczna liczba 0.618?,

złoty stosunek

jeśli weźmiemy stosunek dwóch kolejnych liczb w szeregu Fibonacciego, dzieląc każdą przez liczbę przed nim, znajdziemy następujący ciąg liczb:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

Jeśli wykreślisz Wykres tych wartości, zobaczysz, że wydają się one zmierzać do limitu, który nazywamy złotym współczynnikiem (znanym również jako złoty numer i złota sekcja).

ma wartość ( około 1.618034) i jest często reprezentowany przez grecką literę Phi, zapisaną jako. Blisko spokrewniona wartość, którą zapisujemy jako , małą literą phi, jest tylko dziesiętną częścią Phi, a mianowicie 0.618034… (), liczba, która odpowiada za spirale w głowicach nasiennych i rozmieszczenie liści w wielu roślinach. Ale dlaczego widzimy phi w tak wielu roślinach?

Liczba Phi (1.618034…), a zatem także phi (0,618034…,), są liczbami nieracjonalnymi: nie można ich zapisać jako ułamek prosty. Zobaczmy, co by się stało, gdyby meristem w głowicy nasion zamiast odwrócił się o jakąś prostszą liczbę, na przykład ułamek 1/2. Po dwóch zakrętach przez pół koła wracamy do miejsca, w którym wyprodukowano pierwsze ziarno. Z czasem obracanie się o pół obrotu między nasionami wytworzyłoby głowicę nasion z dwoma ramionami promieniującymi z centralnego punktu, pozostawiając dużo zmarnowanej przestrzeni.

Głowica nasienna Wyprodukowana przez 0.,5 = 1/2 obrotu między nasionami: naprzemienne nasiona ustawiają się w linii.

Głowica nasienna wytwarzana przez 0,48=12/25 obrotów między nasionami: nasiona tworzą dwa obracające się ramiona.

Głowica nasienna wytwarzana przez 0,6=3/5 obrotów między nasionami: nasiona tworzą 5 prostych ramion.,

coś podobnego dzieje się dla każdego innego prostego ułamka obrotu: nasiona rosną w spirali ramiona, które pozostawiają wiele przestrzeni między nimi (liczba ramion jest mianownikiem ułamka). Więc najlepszą wartością dla obrotów między nasionami będzie irracjonalna liczba. Ale nie każdy irracjonalny numer wystarczy. Na przykład Głowica nasienna utworzona z Pi turns per seed wydaje się mieć siedem spiralnych ramion nasion., Dzieje się tak dlatego, że 22/7 jest bardzo dobrym racjonalnym przybliżeniem pi.

aby nie marnować przestrzeni, potrzebna jest liczba irracjonalna, która nie jest dobrze przybliżona przez liczbę racjonalną. I okazuje się, że Phi (1.618034…), a jego dziesiętna część phi (0,618034…) są „najbardziej irracjonalne” ze wszystkich liczb irracjonalnych. (Możesz dowiedzieć się, dlaczego w Chaos in number land: Sekretne życie ciągłych frakcji.) Dlatego zwrot Phi daje optymalne pakowanie nasion i liści w rośliny., Wyjaśnia również, dlaczego liczby Fibonacciego pojawiają się w układach liści i jako liczba spirali w nasionach. Sąsiadujące liczby Fibonacciego dają najlepsze przybliżenia złotego stosunku. Na zmianę stają się mianownikiem przybliżeń i definiują liczbę lub spirale w miarę wzrostu wielkości głowic nasiennych.

skąd tyle roślin odkryło ten piękny i użyteczny numer, Phi?Oczywiście nie od rozwiązywania matematyki, tak jak Fibonacci., Zamiast tego wnioskujemy, że tak jak stosunek kolejnych liczb Fibonacciego stopniowo osadza się na złotym współczynniku, ewolucja stopniowo osadza się również na właściwej liczbie. Dziedzictwo Leonarda Pisano, znanego jako Fibonacciego, leży w sercu każdego kwiatu, a także w sercu naszego systemu liczbowego.

Czytaj dalej

Jeśli podobał Ci się ten artykuł, możesz odwiedzić numery Fibonacciego i złotą sekcję.

o tym artykule

artykuł powstał na podstawie materiału napisanego przez Dr R., Knott, który wcześniej był wykładowcą na Wydziale Informatyki Uniwersytetu w Surrey. Knott założył stronę internetową poświęconą liczbom Fibonacciego i złotej sekcji w 1996 roku jako eksperyment wykorzystujący sieć do inspirowania i zachęcania do dalszych badań matematycznych zarówno w szkole, jak i poza nią. Od tego czasu rozrosła się i obejmuje teraz wiele innych tematów, wszystkie z interaktywnymi elementami i kalkulatorami online. Mimo że obecnie jest na emeryturze, Knott nadal utrzymuje i rozszerza strony internetowe., Obecnie jest gościem na University of Surrey i prowadzi wykłady w całym kraju do szkół, uniwersytetów, konferencji i towarzystw matematycznych. Lubi też spacery, zabawy matematyczne, Uprawianie rzeczy do jedzenia i gotowanie ich.