Analiza Fouriera

(ciągła) transformata Fouriera

najczęściej nieuwarunkowany termin transformata Fouriera odnosi się do transformacji funkcji ciągłego argumentu rzeczywistego i wytwarza ciągłą funkcję częstotliwości, znaną jako rozkład częstotliwości. Jedna funkcja jest przekształcana w inną, a operacja jest odwracalna., Gdy dziedziną funkcji wejściowej (początkowej) jest czas (t), a dziedziną funkcji wyjściowej (końcowej) jest zwykła częstotliwość, transformata funkcji s(t) przy częstotliwości f jest dana przez liczbę zespoloną:

s ( f) = ∫ − ∞ ∞ s ( t) ⋅ E − i 2 π F T d t . {\displaystyle S (f)= \ int _{- \infty} ^{\infty }s (t) \ cdot e^{- I2 \ pi ft}\, dt.}

oszacowanie tej ilości dla wszystkich wartości f daje funkcję domeny częstotliwości., Następnie s (t) może być reprezentowana jako rekombinacja złożonych wykładników wszystkich możliwych częstotliwości:

S (T) = ∫ – ∞ ∞ S(f ) ⋅ E i 2 π F T d F , {\displaystyle S(T)=\int _{-\infty }^{\infty }s (f)\cdot e^{I2\pi ft}\,df,}

co jest odwrotną transformatą wzoru. Liczba zespolona, S (f), Przekazuje zarówno amplitudę, jak i fazę częstotliwości f.,

Patrz transformata Fouriera, aby uzyskać więcej informacji, w tym:

• konwencje normalizacji amplitudy i skalowania częstotliwości/jednostek
• właściwości transformacji
• tabelaryczne transformacje określonych funkcji
• rozszerzenie / uogólnienie funkcji o wielu wymiarach, takich jak obrazy.,

seria Fouriera

transformata Fouriera funkcji okresowej, SP(t), z okresem P, staje się funkcją grzebieniową Diraca, modulowaną przez ciąg współczynników złożonych:

S = 1 P ∫ P s P ( t ) ⋅ E − i 2 π k p t d T , k ∈ z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{p}s_{P}(T)\cdot e^{-I2\pi {\frac {K}{P}}T}\,DT,\Quad K\in \mathbb {Z} ,} (gdzie ∫p jest całką w dowolnym przedziale długości P).,

transformata odwrotna, znana jako szereg Fouriera, jest reprezentacją sP (t) pod względem sumowania potencjalnie nieskończonej liczby pokrewnych harmonicznie sinusoidów lub złożonych funkcji wykładniczych, z których każda ma amplitudę i fazę określoną przez jeden ze współczynników:

S P ( t) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k P)} = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ E i 2 π K P t . {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{p}}\right)\right\\ \ = \ \ sum _{k=-\infty} ^{\infty} s\cdot e^{i2\pi {\frac {k} {p}}} t}.,}

Dowolna sP(t) może być wyrażona jako okresowe sumowanie innej funkcji, s(t):

s p ( t) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m p ) , {\displaystyle s_{p}(t)\,\triangleq \,\Sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-MP),}

a współczynniki są proporcjonalne do próbek S( F ) w dyskretnych odstępach 1/p:

S = 1 p ⋅ s ( k p ) . {\displaystyle S={\frac{1} {P}}\cdot s\left ({\frac{k} {p}} \ right).}

zauważ, że każdy S (t), którego transformata ma takie same wartości próbki dyskretnej, może być użyty w sumowaniu okresowym. WystarczajÄ … cym warunkiem do odzyskania s (t) (a stÄ … d S (f)) z wĹ ' aĹ ” nie owych prăłbek (tj., z szeregu Fouriera) jest to, że niezerowa część s(t) jest ograniczona do znanego przedziału czasu trwania P, który jest podwójną dziedziną częstotliwości z twierdzenia Nyquista-Shannona.

Zobacz Szereg Fouriera, aby uzyskać więcej informacji, w tym rozwój historyczny.

Dyskretna transformata Fouriera (Dtft)Edycja

dtft jest matematycznym dualem z szeregów Fouriera w dziedzinie czasu.,e-kursy próbek, związanych z ciągłym czasem funkcje:

s 1 t ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ s ( F − K, t ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ Z ∙ E − i 2 π e n t ⏞ szereg Fouriera (DTFT) ⏟ Poissona formuła sumowania = F { ∑ N = − ∞ ∞ δ s ( t − n t ) } , {\właściwości wyświetlania stylu wartość S_{\FRAC {1}{t}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\kwocie _{k=-\infty }^{\infty }x\w lewo(F-{\złamania {do}{T}}\prawej)\equiv \overbrace {\kwota _{n=-\infty }^{\infty }x\cDOT e^{-I2 w\pi ft}} ^{\text{szeregów Fouriera (DTFT)}}} _{\text{Poissona formuła sumowania}}={\mathcal {F}}\lewej\{\kwota _{n=-\infty }^{\infty }x\ \Delta (T-NT)\prawo\},\,}

, który jest znany jako DTFT., Tak więc DTFT sekwencji s jest również transformatą Fouriera modulowanej funkcji grzebieniowej Diraca.

w szereg Fouriera współczynniki (i odwrotnie konwersja), są określane tak:

s ≜ t ∫ 1 T 1 t ( f ) ⋅ e ja 2 π e n t e f = t ∫ − ∞ ∞ S ( F ) ⋅ E ja 2 π E N T E F ⏟ ≜ Z ( N T ) . {\displaystyle s \ \ triangleq \ t \ int _{\frac {1} {T}} S_ {\frac{1} {T}}(f) \ cdot e^{I2 \ pi fnT}\, df=t \ underbrace {\int _{- \infty} ^{\infty }s(f)\cdot e^{I2\pi fnT}\, df} _{\triangleq\, s(nT)}.,}

parametr T odpowiada interwałowi próbkowania, a ten Szereg Fouriera można teraz rozpoznać jako postać wzoru sumowania Poissona. Tak więc mamy ważny wynik, że gdy Dyskretna Sekwencja danych, s, jest proporcjonalna do próbek podstawowej funkcji ciągłej, s (t), można zaobserwować okresowe sumowanie ciągłej transformacji Fouriera, S (f). Zauważ, że dowolne s( t) o tych samych dyskretnych wartościach próbki daje ten sam DTFT, ale w pewnych wyidealizowanych warunkach można teoretycznie odzyskać S(f ) I S (t) dokładnie., Wystarczającym warunkiem dla doskonałego odzysku jest to , że niezerowa część S( f ) jest ograniczona do znanego przedziału częstotliwości o szerokości 1/T. gdy ten przedział jest, stosownym wzorem rekonstrukcji jest wzór interpolacji Whittakera-Shannona. Jest to kamień węgielny w fundamencie cyfrowego przetwarzania sygnału.

kolejnym powodem, dla którego warto zainteresować się S1 / T( f), jest to, że często zapewnia wgląd w Ilość aliasingu spowodowaną procesem próbkowania.

Aplikacje DTFT nie ograniczają się do wybranych funkcji.,ing (sekwencje skończonej długości)

właściwości transformacji

tabulaturowe transformaty określonych funkcji

Dyskretna transformata Fouriera (DFT)Edycja

podobnie jak Szereg Fouriera, DTFT sekwencji okresowej, sN, z okresem N, staje się funkcją grzebieniową Diraca, modulowaną przez sekwencję złożonych współczynników (patrz Dtft § dane okresowe):

S = ∑ N S N ⋅ E-i 2 π k n n , k ∈ z , {\displaystyle S=\Sum _{n}s_{N}\cdot e^{−I2\pi {\frac {k}{n}}n},\Quad K\in \mathbb {Z} ,} (gdzie ∑n jest sumą nad dowolnym ciągiem długości N).,

Sekwencja S jest zwyczajowo nazywana DFT jednego cyklu sN. Jest również N-okresowy, więc nigdy nie jest konieczne obliczanie więcej niż n współczynników. Transformata odwrotna, znana również jako Dyskretna seria Fouriera, jest dana przez:

S N = 1 n ∑ k S ⋅ E i 2 π n n k , {\displaystyle S_{n}={\frac {1} {N}} \ sum _{K} s\cdot e^{I2 \ pi {\frac {n} {n}} k},} gdzie ∑k jest sumą nad dowolnym ciągiem długości N.,

gdy sN wyraża się jako okresowe sumowanie innej funkcji:

S N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\Sum _{m=-\infty }^{\infty }s,} i s ≜ s ( n t ) , {\displaystyle S\,\triangleq \,s(NT),}

współczynniki są proporcjonalne do próbek S1/T( F ) w dyskretnych odstępach 1/p = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S 1 t ( k p ) . {\displaystyle S={\frac{1} {T}}\cdot S_ {\frac{1} {T}}\left ({\frac{k} {p}} \ right).,}

odwrotnie, gdy chce się obliczyć dowolną liczbę( N) dyskretnych próbek jednego cyklu ciągłego DTFT, S1/T (f ), można to zrobić, obliczając stosunkowo proste DFT sN, jak zdefiniowano powyżej. W większości przypadków N jest wybierane równe długości niezerowej części s. zwiększenie N, znane jako zero-padding lub interpolacji, powoduje bardziej oddalone próbki jednego cyklu S1 / T (f). Zmniejszenie N powoduje nakładanie się (dodawanie) w domenie czasowej (analogicznie do aliasingu), co odpowiada dziesiątkowaniu w domenie częstotliwości., (zob. Dtft § próbkowanie DTFT) w większości przypadków praktycznych, Sekwencja s reprezentuje dłuższą sekwencję, która została obcięta przez zastosowanie funkcji okna o skończonej długości lub macierzy filtrów FIR.

DFT można obliczyć za pomocą algorytmu szybkiej transformacji Fouriera (FFT), co czyni go praktyczną i ważną transformacją na komputerach.,

Patrz Dyskretna transformata Fouriera, aby uzyskać więcej informacji, w tym:

• właściwości transformacji
• aplikacje
• tabulaturowe transformaty określonych funkcji

Podsumowanieedit

w przypadku funkcji okresowych zarówno transformata Fouriera, jak i DTFT zawierają tylko dyskretny zbiór składników częstotliwości (Szereg Fouriera), a transformaty różnią się na tych częstotliwościach. Jedną z powszechnych praktyk (nie omówionych powyżej) jest Obsługa tej rozbieżności za pomocą funkcji delty Diraca i grzebienia Diraca., Jednak te same informacje widmowe można dostrzec tylko z jednego cyklu funkcji okresowej, ponieważ wszystkie pozostałe cykle są identyczne. Podobnie, funkcje skończonego czasu trwania mogą być reprezentowane jako szereg Fouriera, bez rzeczywistej utraty informacji, z wyjątkiem tego, że okresowość transformaty odwrotnej jest zwykłym artefaktem.

często w praktyce czas trwania s(•) jest ograniczony do okresu, P lub N. jednak te formuły nie wymagają tego warunku.,

właściwości symetrii

gdy części rzeczywiste i urojone funkcji zespolonej są rozkładane na ich parzyste i nieparzyste części, istnieją cztery składniki, oznaczone poniżej przez indeksy podrzędne RE, RO, IE i IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Odwrotnie, transformata parzysto-symetryczna implikuje dziedzinę czasu rzeczywistego.
• przekształcenie funkcji wyimaginowanej (i sIE+ i sIO) jest nieparzystą funkcją symetryczną SRO+ i SIE, a odwrotność jest prawdziwa.
• transformata funkcji parzysto-symetrycznej (sRE+ i sIO) jest funkcją o wartości rzeczywistej SRE+ SRO, a odwrotność jest prawdziwa.
• transformata funkcji nieparzysto-symetrycznej (sRO+ i sIE) jest funkcją wyimaginowaną i SIE+ i SIO, a odwrotność jest prawdziwa.,

transformaty Fouriera na dowolnych lokalnie zwartych grupach topologicznych abelówedytuj

warianty Fouriera mogą być uogólnione na transformaty Fouriera na dowolnych lokalnie zwartych grupach topologicznych Abelów, które są badane w analizie harmonicznej. Metoda ta pozwala również na Ogólne sformułowanie twierdzenia o splotach, które odnosi się do przekształceń Fouriera i splotów. Zobacz też dualizm Pontryagina dla uogólnionych podstaw transformacji Fouriera.,

bardziej szczegółową analizę Fouriera można wykonać na cosetach, nawet dyskretnych cosetach.

transformacja czasowaedytuj

pod względem przetwarzania sygnału funkcja (czasu) jest reprezentacją sygnału z doskonałą rozdzielczością czasową, ale bez informacji o częstotliwości, podczas gdy transformata Fouriera ma doskonałą rozdzielczość częstotliwości, ale bez informacji o czasie.,

jako alternatywę dla transformaty Fouriera, w analizie czasowo-częstotliwościowej używa się przekształceń czasowo-częstotliwościowych do reprezentowania sygnałów w formie, która zawiera pewne informacje o czasie i pewne informacje o częstotliwości – zgodnie z zasadą niepewności istnieje kompromis między nimi., Mogą to być uogólnienia transformacji Fouriera, takie jak krótkotrwała transformata Fouriera, transformata Gabora lub frakcyjna transformata Fouriera (FRFT), lub mogą używać różnych funkcji do reprezentowania sygnałów, jak w transformatach falkowych i transformatach chirpleta, przy czym analogiem falkowym (ciągłej) transformacji Fouriera jest ciągła transformata falkowa.