Show Mobile Notice Show All Notes Hide All Notes
sekcja 3-5 : pochodne funkcji Tryg
w tej sekcji zaczniemy patrzeć na pochodne funkcji innych niż wielomiany lub korzenie wielomianów. Rozpoczniemy ten proces od przyjrzenia się pochodnym sześciu funkcji Tryg. Zostaną wyprowadzone dwa pochodne. Pozostałe cztery są pozostawione do Ciebie i będą podobne dowody dla dwóch podanych tutaj.
zanim przejdziemy do pochodnych funkcji Tryg musimy podać kilka ograniczeń, które pojawią się w wyprowadzeniu dwóch pochodnych.,
fakt
zobacz sekcję Proof of Trig Limits w rozdziale Extras, aby zobaczyć dowód tych dwóch ograniczeń.
przed przystąpieniem do szybkiej notki. Uczniowie często pytają, dlaczego zawsze używamy radianów na zajęciach z rachunku. Właśnie dlatego! Dowód wzoru z sinusem powyżej wymaga, aby kąty były w radianach. Jeśli kąty są w stopniach, granica sinusoidy nie jest równa 1, a więc wzory, które uzyskamy poniżej również ulegną zmianie. Poniższe formuły wychwyciłyby dodatkową stałą, która po prostu stanęłaby na drodze naszej pracy, więc używamy radianów, aby tego uniknąć., Pamiętaj więc, aby zawsze używać radianów w klasie rachunku!
zanim zaczniemy różnicować funkcje Tryg przejdźmy do szybkiego zestawu problemów granicznych, które ten fakt pozwala nam teraz zrobić.
ok, teraz, gdy mamy już ten zestaw przykładów ograniczeń z drogi wróćmy do głównego punktu tej sekcji, różnicowanie funkcji Tryg.
zaczniemy od znalezienia pochodnej funkcji sinus. Aby to zrobić, będziemy musieli użyć definicji pochodnej. Minęło trochę czasu, odkąd musieliśmy tego użyć, ale czasami po prostu nie możemy nic z tym zrobić., Oto definicja pochodnej dla funkcji sinus.
\
ponieważ nie możemy po prostu podłączyć \(h = 0\) do oceny limitu, będziemy musieli użyć następującego wzoru Tryg na pierwszym sinusie w liczniku.
\
robi to daje nam,
\
jak widać po użyciu formuły Tryg możemy połączyć pierwszy i trzeci termin, a następnie czynnik sinus z tego. Następnie możemy podzielić ułamek na dwie części, z których obie mogą być rozpatrywane oddzielnie.
\
w tym momencie wszystko, co musimy zrobić, to użyć limitów w fakcie powyżej, aby zakończyć ten problem.,
\
różnicowanie cosinusów odbywa się w podobny sposób. Będzie to wymagało innej formuły Tryg, ale poza tym jest prawie identyczny dowód. Szczegóły zostaną pozostawione Tobie. Gdy skończysz z dowodem, który powinieneś dostać,
\
z tymi dwoma z drogi pozostałe cztery są dość proste do uzyskania. Wszystkie pozostałe cztery funkcje trygonometryczne mogą być zdefiniowane w kategoriach sinus i cosinus, a definicje te, wraz z odpowiednimi regułami pochodnymi, mogą być użyte do uzyskania ich pochodnych.
przyjrzyjmy się tangensowi., Tangens jest zdefiniowany jako,
\
teraz, gdy mamy pochodne sinusa i cosinusa, wszystko, co musimy zrobić, to użyć reguły ilorazowej na tym. Zróbmy to.
\ \
pozostałe trzy funkcje trygonometryczne są również iloczynami sinus i / lub cosinus i dlatego można je różnicować w podobny sposób. Szczegóły zostawimy Tobie. Oto pochodne wszystkich sześciu funkcji Tryg.
pochodne sześciu funkcji Tryg
w tym miejscu powinniśmy popracować nad kilkoma przykładami.
jako ostatni problem nie zapominajmy, że nadal mamy nasze standardowe interpretacje instrumentów pochodnych.,
w tym dziale zobaczyliśmy jak różnicować funkcje Tryg. Widzieliśmy również w ostatnim przykładzie, że nasze interpretacje pochodnej są nadal aktualne, więc nie możemy o nich zapomnieć.
ważne jest również, abyśmy byli w stanie rozwiązać równania Tryg, ponieważ jest to coś, co będzie powstawać off i on w tym kursie. Ważne jest również, że możemy zrobić rodzaje linii liczb, które użyliśmy w ostatnim przykładzie, aby określić, gdzie funkcja jest dodatnia, a gdzie funkcja jest ujemna. Jest to coś, co będziemy robić od czasu do czasu zarówno w tym rozdziale, jak i w następnym.
Dodaj komentarz