Funkcja Gamma

GeneralEdit

Inne ważne równania funkcyjne dla funkcji gamma to wzór odbicia Eulera

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π Z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }

który implikuje

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) N − 1 γ ( − ε ) γ ( 1 + ε ) γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \gamma (\varepsilon-n)=(-1)^{N-1}\;{\frac {\gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\gamma (N+1-\varepsilon )}},}

i wzór powielania Legendre ' a

Γ ( z ) γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \ Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2Z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2Z).}

formuła powielania jest szczególnym przypadkiem twierdzenia mnożenia (Patrz, Eq. 5.5.6)

∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k m) = (2 π) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z). {\displaystyle \ prod _{K=0}^{M-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2 \ pi) ^{\frac {M-1} {2}}\; m^{{\frac {1} {2}} – MZ}\;\Gamma (MZ).}

prostą, ale użyteczną właściwością, którą można zobaczyć z definicji granicy, jest:

Γ ( z) = Γ ( z ) Γ Γ ( z) Γ (z) ∈ R ., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}= \ Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \; \ Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}}) \ in \ mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \|\Gamma\left(-n+bi \right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh (\pi B)}}\prod _{K=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in\mathbb {N} \|\Gamma \Left ({\tfrac {1}{2}} \pm n+BI\right)|^{2}&={\frac {\pi} {\cosh (\Pi B)}} \prod _{K=1}^{n}\left (\left(K-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+B^{2}\right)^{\PM 1},\quad n\in\mathbb {N}\End{aligned}}}

prawdopodobnie najbardziej znaną wartością funkcji gamma dla argumentu nie będącego liczbą całkowitą jest

γ ( 1 2 ) = π, {\displaystyle \gamma\left ({\tfrac {1}{2}} \Right)={\sqrt {\pi }},} γ ( 1 2 + N ) = ( 2 N ) !, 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = (n − 1 2 n ) n ! π Γ (1 2 − N) = (−4 ) n n ! (2 n)! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π (- 1 / 2 n) n ! {\displaystyle {\begin{aligned} \Gamma\left ({\tfrac {1}{2}}+n \ right)&={(2n)! \ over 4^{n} n!{\sqrt {\pi}} ={\frac {(2n-1)!!{2^{n}}} {\sqrt {\pi}} ={\binom {n-{\frac {1} {2}}} {n}} n!{\sqrt {\pi}} \ \ Gamma \ left ({\tfrac{1} {2}}-N \ right)&={(-4)^{n}n! \ over (2n)!{\sqrt {\pi}} ={\frac {(-2)^{n}} {(2n-1)!!}{\sqrt {\pi}} ={\frac {\sqrt {\pi}} {{\binom{-1/2} {n}}n!,}} \ end{aligned}}}

pochodne funkcji gamma są opisane w kategoriach funkcji poligammy. Na przykład:

Γ ' (z ) = Γ (z) ψ 0 (z ) . {\displaystyle \ Gamma '(z)=\Gamma (z) \ psi _{0}(z).}

dla dodatniej liczby całkowitej m pochodną funkcji gamma można obliczyć w następujący sposób ( tutaj γ {\displaystyle \gamma } jest stałą Eulera–Mascheroniego):

Γ ' (m + 1 ) = m ! (- γ + ∑ k = 1 m 1 k). {\displaystyle \ Gamma '(m+1)=m!\ left (- \gamma +\sum _{K=1}^{m} {\frac {1}{k}}\right)\,.,

dla ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} pochodna funkcji gamma wynosi:

d n d x n γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 E − T ( ln ⁡ t ) n d T . {\displaystyle {\frac {d^{n}} {DX^{n}}}\Gamma (X)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(można to uzyskać, różnicując integralną formę funkcji gamma względem x {\displaystyle X} i stosując technikę różnicowania Pod znakiem całki.)

używając tożsamości

Γ ( n) (1) = (−1) n n ! π π π n ∏ i = 1 R ζ ∗ (a i ) k i ! ⋅ a i ζ ∗ (x): = {ζ (x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \ Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \ limits _{\pi\, \vdash\, n}\,\prod _{i=1}^{R} {\frac {\zeta ^{*} (a_{i})} {k_ {i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \Zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\gamma &x=1\end{cases}}} π = a 1 + ⋯ + A 1 ⏟ k 1 + ⋯ + A r + ⋯ + A R ⏟ K R warunki, {\displaystyle\Pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{K_{1} {\text{ Terms}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{K_{r} {\text{ terms}}},}

mamy w szczególności

γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + o ( z 3 ) ., {\displaystyle \ Gamma (z)={\frac{1} {z}}- \ gamma +{\tfrac {1} {2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\prawy) z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \ pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right) z^{2} + O (z^{3}).}

gdy ograniczamy się do dodatnich liczb rzeczywistych, funkcja gamma jest funkcją ściśle logarytmicznie wypukłą., Ta właściwość może być określona na jeden z następujących trzech równoważnych sposobów:

• dla dowolnych dwóch dodatnich liczb rzeczywistych x 1 {\displaystyle x_{1}} i x 2 {\displaystyle x_{2}} oraz dla dowolnych T ∈ {\displaystyle t\in},

Γ ( t x 1 + (1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) T Γ (x 2 ) 1 − t . {\displaystyle\Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2}) \leq\Gamma (x_{1})^{T} \ Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• dla dowolnych dwóch dodatnich liczb rzeczywistych x i y Z y > x,

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 Y − x > exp ⁡ ( Γ ' ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle\left ({\frac{\Gamma (y)} {\Gamma (X)}}\right)^{\frac{1} {Y-x}}>\exp\left ({\frac{\Gamma '(x)} {\Gamma (X)}} \ right).

• dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x {\displaystyle x},

Γ ” (x ) Γ ( x ) > Γ ' (x ) 2 . {\displaystyle \ Gamma”(x)\Gamma(X)>\Gamma '(x)^{2}. Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + A N X N A 1 + ⋯ + a n) ≤ (Γ ( x 1 ) A 1 Γ Γ (x N ) A n ) 1 A 1 + ⋯ + A N ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (X_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

istnieją również granice współczynników funkcji gamma. Najbardziej znana jest nierówność Gautschiego, która mówi, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x i dowolnego s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-s}<{\frac{\Gamma (x+1)} {\Gamma (X+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

formulaedit

zachowanie Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} dla rosnącej zmiennej dodatniej jest proste. Rośnie szybko, szybciej niż funkcja wykładnicza w rzeczywistości., Asymptotycznie jako z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} wielkość funkcji gamma jest określona wzorem Stirlinga

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π Z ( Z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\SIM {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

kolejną użyteczną granicą dla przybliżeń asymptotycznych jest:

lim n → ∞ γ ( n + α ) γ ( n ) n α = 1 , α ∈ c . {\displaystyle \ lim _{N \to \ infty} {\frac {\Gamma (n+ \ alpha)} {\Gamma (n) n^{\alpha}}} =1, \ qquad \ alpha \ in \ mathbb {C}.

zachowanie nie-dodatniego z {\displaystyle z} jest bardziej skomplikowane., Całka Eulera nie jest zbieżna dla z ≤ 0 {\displaystyle z \ leq 0}, ale funkcja, którą definiuje w dodatniej półpłaszczyźnie zespolonej, ma unikalną kontynuację analityczną do ujemnej półpłaszczyzny. Jednym ze sposobów na stwierdzenie, że kontynuacja analityczna jest użycie całki Eulera dla argumentów dodatnich i rozszerzenie dziedziny na liczby ujemne poprzez wielokrotne zastosowanie wzoru powtarzalności,

Γ ( z ) = Γ ( Z + n + 1 ) Z ( Z + 1 ) ⋯ ( Z + n), {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (Z+n+1)}{Z(Z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f, c ) = lim z → c ( z − c ) F ( z ) ., {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)= \ lim _{z \ to c} (z-c)f (z).

dla prostego bieguna z = – n, {\displaystyle z=-n,} przepisujemy wzór powtarzania jako:

( Z + N ) Γ ( z ) = Γ ( Z + n + 1 ) Z ( Z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) . {\displaystyle (Z + N)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (Z+n+1)} {Z (Z+1)\cdots (z + n-1)}}.}

licznik z = − n , {\displaystyle Z=-n,} TO

Γ ( Z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

a mianownik

z ( Z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − N ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − N ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z (Z+1)\cdots (z+n-1)=-N(1-N) \ cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

więc pozostałości funkcji gamma w tych punktach są:

Res ⁡ ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \ operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

funkcja gamma ma lokalne minimum w zmin ≈ + 1.46163214496836234126(okrojona), gdzie osiąga wartość Γ (zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (okrojona)., Funkcja gamma musi mieć znak naprzemienny między biegunami, ponieważ iloczyn w nawrocie do przodu zawiera nieparzystą liczbę ujemnych czynników, jeśli Liczba biegunów między z {\displaystyle z} i z + n {\displaystyle z+N} jest nieparzysta, a liczba parzysta, jeśli Liczba biegunów jest parzysta.

reprezentacje całek

istnieje wiele wzorów, oprócz całki Eulera drugiego rodzaju, które wyrażają funkcję gamma jako całkę. Na przykład, gdy część rzeczywista z jest dodatnia,

Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log ⁡ 1 t ) z-1 d t ., {\displaystyle \ Gamma (z)= \ int _{0}^{1}\left (\log {\frac {1}{t}} \ right)^{z-1}\, dt.}

pierwszy całkowy wzór Bineta dla funkcji gamma stwierdza, że gdy część rzeczywista z jest dodatnia, to:

log Γ Γ ( Z ) = ( Z − 1 2 ) log ⁡ Z − Z + 1 2 log ⁡ (2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e T-1) e-t z t d T . {\displaystyle \ log\Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi) +\int _{0}^{\infty} \ left ({\frac {1}{2}}-{\frac {1} {t}}+{\frac {1} {e^{T} -1}} \ right) {\frac {e^{- tz}} {t}}\, dt.}

całkę po prawej stronie można interpretować jako transformatę Laplace ' a., Oznacza to,

log ⁡ ( Γ ( Z ) ( e z ) Z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 T 2 + 1 T ( e t − 1 ) ) ( z). {\displaystyle \ log \ left (\Gamma (z)\left ({\frac {e}{z}} \ right)^{z} {\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}} \ left ({\frac{1} {2T}}-{\frac{1} {T^{2}}}+{\frac{1} {T(e^{T}-1)}} \ right) (z).}

drugi całkowy wzór Bineta stwierdza, że gdy część rzeczywista z jest dodatnia, to:

log Γ Γ ( Z ) = ( Z − 1 2 ) log ⁡ Z − Z + 1 2 log ⁡ (2 π) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ (t / z ) e 2 π T − 1 d t ., {\displaystyle \ log \ Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi) +2\int _{0}^{\infty} {\frac {\arctan(T/z)} {e^{2\pi t}-1}}\, dt.,}

niech C będzie konturem Hankela, czyli ścieżką, która zaczyna się i kończy w punkcie ∞ na kuli Riemanna, której jednostkowy wektor styczny zbiega się do -1 na początku ścieżki i do 1 na końcu, która ma liczbę uzwojenia 1 wokół 0 i która nie przekracza

Γ ( z ) = − 1 2 i sin π π z ∫ C ( − t ) z − 1 E − T d T , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-T)^{z-1}E^{-T}\,DT,} 1 γ ( z ) = i 2 π ∫ c ( − T ) − z E − T D T , {\displaystyle {\frac {1}{\gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}

ponownie ważne, gdy z nie jest liczba całkowita.,namaszczenie ma następujące szeregi Fouriera rozszerzenia dla 0 < i h < z 1 : {\właściwości wyświetlania stylu wartość 0<i h<z 1:}

jako LN ⁡ Γ ( Z) i = ( 1 2 − H ) ( γ +, gdzie LN ⁡ 2 ) + ( 1 − h ) jak LN ⁡ π − 1 2, gdzie LN ⁡ sin ⁡ ( π s ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ funkcja LN ⁡ N N sin ⁡ ( 2 π N h ) , {\właściwości wyświetlania stylu wartość \LIĆ, \gamma (h)=\w lewo({\złamania {1}{2}}-H\z prawej)(\gamma +\LIĆ, 2)+(1-a)\w \pi{\FRAC {1}{2}}\L. N. \sin(\Pi h)+{\złamania {1}{\Pi }}\kwocie _{N=1}^{\infty }{\фрац {\LIĆ, n}{n}}\sin(2\Pi NC),}

, który przez długi czas przypisywali Ernsta Куммера, który wywiódł go w 1847 roku., Jednak Iaroslav Blagouchine odkrył, że Carl Johan Malmsten po raz pierwszy wyprowadził tę serię w 1842 roku.

wzór Raabego

w 1840 Joseph Ludwig Raabe udowodnił , że

∫ a + 1 Ln Γ Γ ( z ) d z = 1 2 LN ⁡ 2 π + a LN ⁡ a − a, a> 0. {\displaystyle \ int _ {a}^{a+1}\Ln \Gamma (z)\, dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2 \ pi + a \ LN a-A, \ quad a> 0.

w szczególności, jeśli a = 0 {\displaystyle A=0}, to

∫ 0 1 Ln Γ Γ ( z ) D z = 1 2 LN ⁡ 2 π . {\displaystyle \ int _{0}^{1} \ Ln\Gamma (z)\, dz={\tfrac {1} {2}}\ln 2\pi .,

to ostatnie można wyprowadzić przyjmując logarytm w powyższym wzorze mnożenia, który daje wyrażenie dla sumy Riemanna liczby całkowitej. Biorąc limit dla A → ∞ {\displaystyle a \ rightarrow \infty } daje wzór.,

funkcja Piedit

alternatywną notacją, która została pierwotnie wprowadzona przez Gaussa i która była czasami używana, jest Π {\displaystyle \Pi } -funkcja,która pod względem funkcji gamma wynosi

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − T T z d t, {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }E^{-T}T^{z}\, DT,}

tak, że π ( n ) = n ! {\displaystyle \ Pi (n)=n! dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n {\displaystyle n} .,

korzystając z funkcji pi, wzór odbicia przyjmuje postać

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}}

Gdzie sinc jest znormalizowaną funkcją sinc, podczas gdy mnożenie twierdzenie przyjmuje postać

π ( z M ) π ( z − 1 m) π π ( z − M + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 π ( z ) . {\displaystyle \ Pi \ left ({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left ({\frac {z-1} {m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-M+1} {m}}\right)=(2\pi )^{\frac {M-1} {2}} m^{-z-{\frac {1} {2}}}\Pi (z)\ .,{\displaystyle\pi ( z) = {\frac {1} {\Pi ( z)}}}\,}

objętość N-elipsoidy o promieniu r1 …, rn można wyrazić jako

V N ( R 1,…, R n ) = π n 2 Π (n 2 ) ∏ k = 1 n r K. {\displaystyle V_ {n} (R_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^ {\frac {n} {2}}} {\pi\left ({\frac {n}{2}}\right)}} \ prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

stosunek do innych funkcjedytuj

• w pierwszej całce powyżej, która definiuje funkcję gamma, granice całkowania są stałe., Górne i dolne niekompletne funkcje gamma są funkcjami otrzymanymi przez umożliwienie różnicowania dolnej lub górnej (odpowiednio) granicy całkowania.
• funkcja gamma jest związana z funkcją beta wzorem

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d T = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \ mathrm {B} (x, y)=\int _{0}^{1} T^{x-1} (1-t)^{y-1}\, dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)} {\Gamma (X+y)}}}.}

• logarytmiczna pochodna funkcji gamma nazywana jest funkcją digammy; Wyższe pochodne to funkcje poligammy.,
• analogiem funkcji gamma nad skończonym polem lub skończonym pierścieniem jest suma Gaussa, rodzaj sumy wykładniczej.
• odwrotna funkcja gamma jest funkcją całościową i została zbadana jako konkretny temat.
• funkcja gamma pojawia się również w ważnym związku z funkcją Riemanna Zeta, ζ ( z ) {\displaystyle \Zeta (z)} .

π − z 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) ., {\displaystyle \ pi ^{- {\frac{z} {2}}}\; \Gamma\left ({\frac{z} {2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{- {\frac{1-z} {2}}}\; \Gamma\left ({\frac{1-z} {2}}\right)\; \ zeta (1-z). Występuje również w następującym wzorze: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u Z e U − 1 d u u , {\displaystyle \Zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty} {\frac {u^{z}} {e^{u} -1}}\, {\frac {du} {u}}},} który jest ważny tylko dla ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \re (z)>1} ., Logarytm funkcji gamma spełnia następujący wzór ze względu na Lercha: log Γ Γ ( x ) = ζ H '( 0 , x ) − ζ ' ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\Zeta _{H}'(0,x)-\Zeta '(0),} gdzie ζ H {\displaystyle \Zeta _{H}} jest funkcją Hurwitza Zeta, ζ {\displaystyle \Zeta } jest funkcją Riemanna Zeta, a pierwszą (') oznacza różnicowanie w pierwszej zmiennej.

• funkcja gamma jest związana z rozciągniętą funkcją wykładniczą. Na przykład momenty tej funkcji to

τ τ N⟩ ≡ ∞ 0 ∞ d t T N − 1 E − ( T τ ) β = τ n β Γ ( n β ) ., {\displaystyle \ langle \ tau ^{n} \ rangle \ equiv \ int _{0}^{\infty }dt\, t^{n-1}\, e^{- \left ({\frac {t} {\tau}} \ right)^{\beta}} ={\frac {\tau ^{n}} {\beta}} \Gamma \left ({N \over\beta} \ right).

poszczególne wartościedytuj

zawierające do pierwszych 20 cyfr po przecinku, niektóre szczególne wartości funkcji gamma to:

Γ (−3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ (−1 2) = – 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ (1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

funkcja gamma o wartości zespolonej jest niezdefiniowana dla nie dodatnich liczb całkowitych, ale w tych przypadkach wartość może być zdefiniowana w sferze Riemanna jako ∞. Odwrotna funkcja gamma jest dobrze zdefiniowana i analityczna przy tych wartościach (i w całej płaszczyźnie złożonej):

1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1} {\Gamma (-3)}}={\frac {1} {\Gamma (-2)}}={\frac {1} {\Gamma (-1)}}={\frac {1} {\Gamma (0)}}=0.}