w rachunku różniczkowym metoda zwana implicit differentiation wykorzystuje regułę łańcucha do rozróżniania funkcji implicitally zdefiniowanych.
aby odróżnić funkcję ukrytą y (x), zdefiniowaną równaniem R (x, y) = 0, generalnie nie jest możliwe rozwiązanie jej jawnie dla y, a następnie różnicowanie. Zamiast tego można całkowicie odróżnić R (x, y) = 0 w odniesieniu do x i y, a następnie rozwiązać wynikowe równanie liniowe dla dy/dx, aby jednoznacznie uzyskać pochodną w kategoriach x i y., Nawet jeśli możliwe jest jednoznaczne rozwiązanie pierwotnego równania, wzór wynikający z różnicowania całkowitego jest ogólnie dużo prostszy i łatwiejszy w użyciu.
ExamplesEdit
przykład 1. Rozważ
y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y + x + 5=0\,.}
równanie to jest łatwe do rozwiązania dla y, dając
y = − x-5 , {\displaystyle y=-x-5\,}
gdzie prawa strona jest jawną formą funkcji y(x). Różnicowanie daje wtedy dy / dx = -1.
Alternatywnie, można całkowicie różnicować oryginalne równanie:
d y D x + D x D x + D D x (5 ) = 0 ; d y D x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {dy} {dx}}+{\frac {dx} {DX}}+{\frac {D} {DX}} (5)&=0\,;\\{\frac {dy} {dx}}+1 + 0& = 0\,.\end{aligned}}}
rozwiązanie dla dy/dx daje
d y D x = – 1, {\displaystyle {\frac {dy} {dx}}=-1\,,}
tę samą odpowiedź co poprzednio.
przykład 2. Przykładem funkcji niejawnej, dla której różnicowanie niejawne jest łatwiejsze niż różnicowanie jawne, jest funkcja y (x) określona równaniem
x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2Y^{2}=8\,.,}
aby to wyraźnie odróżnić od X, najpierw należy uzyskać
y (x ) = ± 8-x 4 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}
, a następnie rozróżnić tę funkcję. Tworzy to dwie pochodne: jedną dla y ≥ 0 i drugą dla y < 0.
zasadniczo łatwiej jest rozróżnić pierwotne równanie:
4 x 3 + 4 y d y D x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4Y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
dając
d y D x = − 4 x 3 4 y = – x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy} {dx}}={\frac {- 4x^{3}} {4Y}}= – {\frac {x^{3}} {y}}\,.
przykład 3., Często jest to trudne lub niemożliwe do jednoznacznego rozwiązania dla y, a różnicowanie niejawne jest jedyną możliwą metodą różnicowania. Przykładem jest równanie
y 5 – y = x . {\displaystyle y^{5}-y = x\,.}
nie jest możliwe algebraiczne wyrażenie y jawnie jako funkcji x, a zatem nie można znaleźć dy/dx przez wyraźne różnicowanie. Za pomocą metody implicit, dy / dx można otrzymać przez różnicowanie równania do uzyskania
5 y 4 d y D x-D y D x = D x D x , {\displaystyle 5Y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {DX}{DX}}\,}
Gdzie dx/dx = 1., Faktoring dy/dx pokazuje, że
( 5 y 4 − 1 ) d y D x = 1, {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}=1\,,}
co daje wynik
d y D x = 1 5 y 4 − 1, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}
, który jest zdefiniowany dla
y ≠ ± 1 5 4 i y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y \ neq \ pm {\frac {1} {\sqrt{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i} {\sqrt{5}}}\,.}
wzór ogólny na pochodną funkcji implicitedytuj
Jeśli R(x, y) = 0, pochodna funkcji implicit y(x) jest dana przez:§11.,5
d y D x = − ∂ R ∂ x x R ∂ y = − R X r y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}=-{\frac {R_{x}} {r_{y}}}}\,}
gdzie RX i Ry oznaczają pochodne cząstkowe r w odniesieniu do X i y.,
powyżej formuła pochodzi z uogólnione za pomocą łańcuszkowego do zasady w celu uzyskania pełnej pochodnej — w stosunku do promieniowanie rentgenowskie obu części równania P(x, y) = 0:
∂ p ∂ X Y X Y X + ∂ R ∂ G D G D x = 0 , {\właściwości styl wyświetlania wartości {\фрац {\partial P}{\częściowym x}}{\фрац {DX}{DX}}+{\фрац {\partial P}{\częściowym g}}{\złamania {dn}{DX}}=0\,,}
stąd
∂ p ∂ x + ∂ r ∂ G D G D x = 0 , {\właściwości styl wyświetlania wartości {\фрац {\partial P}{\częściowym x}}+{\złamania {\parcyalnej g}{\częściowym g}}{\złamania {dn}{DX}}=0\,,}
co, gdy rozwiązany zdalnego sterowania/DH, daje wyraz powyżej.
Dodaj komentarz