Krzywa różniczkowalna to krzywa, która jest lokalnie obrazem iniekcyjnej funkcji różniczkowalnej γ : i → x {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} z przedziału i liczb rzeczywistych do różniczkowalnego kolektora x, często R n. {\displaystyle \ mathbb {R} ^{n}.}
dokładniej, krzywa różniczkowalna jest podzbiorem C X, gdzie każdy punkt C ma sąsiedztwo U takie, że C ∩ U {\displaystyle C \ cap U} jest dyfeomorficzne do przedziału liczb rzeczywistych., Innymi słowy, krzywa różniczkowalna jest rozmaitością różniczkowalną wymiaru pierwszego.
Długość łuku
długość krzywej jest niezależna od parametryzacji γ {\displaystyle \ gamma}.
s = ∫ A b 1 + 2 D x . {\displaystyle s = \ int _{a}^{b} {\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Długość ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( T i − 1 ) ) | n ∈ N I a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (T_{i}),\gamma (T_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=B\right\}\right),} length ( γ | ) = T 2 − t 1 . {\displaystyle \ operatorname {Length} \!,\left (\gamma |_{} \ right) = t_{2} – t_{1}. Prędkość γ ( t ) = def Lim sup ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( T ) ) | s − T | {\displaystyle {\operatorname {prędkość} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni S\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}}
a następnie pokaż, że
długość ( γ ) = ∫ a b prędkość γ ( t ) d t . {\displaystyle \ operatorname {Długość} (\gamma) = \ int _ {a}^{b} {\operatorname {prędkość} _{\gamma}} (t)~\mathrm {d} {t}.,}
geometria Różniczkowaedytuj
podczas gdy pierwsze przykłady krzywych, które są spełnione, to głównie krzywe płaszczyznowe( czyli w codziennych słowach zakrzywione linie w przestrzeni dwuwymiarowej), istnieją oczywiste przykłady, takie jak helisa, która istnieje naturalnie w trzech wymiarach. Potrzeby geometrii, a także np. mechaniki klasycznej mają mieć pojęcie krzywej w przestrzeni dowolnej liczby wymiarów. W ogólnej teorii względności linia świata jest krzywą w czasoprzestrzeni.,
Jeśli X {\displaystyle X} jest rozmaitością różniczkowalną, to możemy zdefiniować pojęcie krzywej różniczkowalnej W X {\displaystyle X}. Ta ogólna idea wystarczy, aby objąć wiele zastosowań krzywych w matematyce. Z lokalnego punktu widzenia można przyjąć, że X {\displaystyle X} jest przestrzenią euklidesową. Z drugiej strony, przydatne jest bardziej ogólne, w tym, że (na przykład) można zdefiniować wektory styczne do X {\displaystyle X} za pomocą tego pojęcia krzywej.,
Jeśli X {\displaystyle X} jest kolektorem gładkim, to gładka krzywa w X {\displaystyle X} jest gładką mapą
γ : i → X {\displaystyle \gamma\colon I \ rightarrow X}.
mówi się, że krzywa różniczkowalna jest regularna, jeśli jej pochodna nigdy nie znika. (W słowach, regularna krzywa nigdy nie zwalnia do zatrzymania lub cofania się na siebie.,) Dwa C k {\displaystyle C^{K}} różne krzywe
γ 1 : i → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon i\rightarrow X} i γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}
są równoważne , jeśli istnieje bijektywna C K {\displaystyle C^{K}} Mapa
p : J → i {\displaystyle P\colon j\rightarrow i}
taka, że odwrotna mapa
p − 1 : I → J {\displaystyle P^{-1}\Colon i\rightarrow J}
jest również c k {\displaystyle C^{K}} i
γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( T ) ) {\displaystyle \Gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(T))}
Dodaj komentarz