metoda Elementów Skończonych – Co To jest? Fem i FEA wyjaśnione

metoda elementów skończonych (FEM) jest numeryczną techniką stosowaną do wykonywania analizy elementów skończonych (FEA)dowolnego zjawiska fizycznego.

konieczne jest wykorzystanie matematyki do kompleksowego zrozumienia i określenia ilościowego wszelkich zjawisk fizycznych, takich jak zachowanie strukturalne lub płynne, transport termiczny, propagacja fali i wzrost komórek biologicznych. Większość z tych procesów jest opisana za pomocą równań różniczkowych cząstkowych (PDEs)., Jednak dla komputera do rozwiązania tych PDEs, techniki numeryczne zostały opracowane w ciągu ostatnich kilku dekad i jednym z najbardziej znanych dzisiaj jest metoda elementów skończonych.,

metoda Elementów Skończonych zastosowania metody elementów skończonych

metoda elementów skończonych rozpoczął od znaczącej obietnicy w modelowaniu kilku zastosowań mechanicznych związanych z lotnictwem i inżynierią lądową. Zastosowania metody elementów skończonych dopiero zaczynają osiągać swój potencjał., Jednym z najbardziej ekscytujących perspektyw jest jego zastosowanie w sprzężonych problemów, takich jak interakcje płyn-struktura, termomechaniczne, termochemiczne, termo-chemo-mechaniczne problemy, biomechanika, Inżynieria Biomedyczna, piezoelektryczne, ferroelektryczne i elektromagnetyczne.

w ostatnich dziesięcioleciach zaproponowano wiele alternatywnych metod, ale ich komercyjna przydatność nie została jeszcze udowodniona. Krótko mówiąc, FEM właśnie zrobił blip na radarze!

zanim zaczniesz od równań różniczkowych, koniecznie przeczytaj artykuł o oprogramowaniu FEA w SimWiki., Zaczyna się od podstaw i stopniowo przechodzi do równań różniczkowych.

równania Mes Równania różniczkowe cząstkowe

Po pierwsze, ważne jest, aby zrozumieć różne gatunki PDE i ich przydatność do stosowania z MES. Zrozumienie tego jest szczególnie ważne dla wszystkich, niezależnie od motywacji do korzystania z analizy elementów skończonych. Ważne jest, aby pamiętać, że FEM jest narzędziem, a każde narzędzie jest tak dobre, jak jego użytkownik.

PDEs można sklasyfikować jako eliptyczne, hiperboliczne i paraboliczne., Przy rozwiązywaniu tych równań różniczkowych należy podać warunki graniczne i / lub początkowe. Na podstawie typu PDE można ocenić niezbędne wejścia. Przykłady PDEs w każdej kategorii obejmują równanie Poissona (eliptyczne), równanie falowe (hiperboliczne) i prawo Fouriera (paraboliczne).

istnieją dwa główne podejścia do rozwiązywania eliptycznych PDEs, a mianowicie metody różnic skończonych (FDM) i metody wariacyjne (lub energetyczne). FEM należy do drugiej kategorii. Podejście wariacyjne opiera się przede wszystkim na filozofii minimalizacji energii.,

PDE hiperboliczne są powszechnie kojarzone ze skokami w rozwiązaniach. Na przykład równanie falowe jest hiperbolicznym PDE. Ze względu na istnienie nieciągłości (lub skoków) w rozwiązaniach, pierwotna technologia Fem (lub metoda Bubnova-Galerkina) była uważana za nieodpowiednią do rozwiązywania hiperbolicznych PDE. Jednak z biegiem lat, modyfikacje zostały opracowane w celu rozszerzenia możliwości zastosowania technologii FEM.

przed zakończeniem tej dyskusji należy rozważyć konsekwencje użycia frameworka numerycznego, który jest nieodpowiedni dla typu PDE., Takie użycie prowadzi do rozwiązań, które są znane jako ” niewłaściwie ułożone.”Może to oznaczać, że małe zmiany parametrów domeny prowadzą do dużych oscylacji w rozwiązaniach lub że rozwiązania istnieją tylko w pewnej części domeny lub Czasu, które nie są wiarygodne. Dobrze ułożone objaśnienia definiowane są jako takie, w których istnieje unikalne rozwiązanie dla zdefiniowanych danych. Dlatego, biorąc pod uwagę niezawodność, niezwykle ważne jest uzyskanie dobrze ułożonych rozwiązań.,

Pobierz naszą białą księgę”Porady dla architektury, inżynierii& Construction (AEC)”, aby dowiedzieć się, jak zoptymalizować swoje projekty!

Fem zasada minimalizacji energii

Jak działa FEM? Jaka jest główna siła napędowa? Zasada minimalizacji energii stanowi podstawowy szkielet metody elementów skończonych. Innymi słowy, gdy określony warunek graniczny jest stosowany do ciała, może to prowadzić do kilku konfiguracji, ale jednak tylko jedna konkretna konfiguracja jest realistycznie możliwa lub osiągnięta., Nawet jeśli symulacja jest przeprowadzana wielokrotnie, przeważają te same wyniki. Dlaczego tak jest?

jest to regulowane przez zasadę minimalizacji energii. Stwierdza on, że gdy stosuje się warunek graniczny (jak przemieszczenie lub siła), z wielu możliwych konfiguracji, które ciało może przyjąć, tylko ta konfiguracja, w której całkowita energia jest minimalna, jest wybrana.,

metoda Elementów Skończonych Historia metody elementów skończonych

technicznie, w zależności od perspektywy, można powiedzieć, że fem miał swoje początki w pracy Eulera, już w 16 wieku. Jednak najwcześniejsze prace matematyczne na temat FEM można znaleźć w pracach Schellbacka i Couranta .

FEM został opracowany niezależnie przez inżynierów w celu rozwiązania problemów mechaniki konstrukcji związanych z lotnictwem i inżynierią lądową. Rozwój rozpoczął się w połowie lat 50 .z papierami Turnera, Clougha, Martina i Topp, Argyrisa , Babuski i Aziza., Książki Zienkiewicza i stranga oraz FIXA również położyły podwaliny pod przyszły rozwój FEM.

ciekawy przegląd tych wydarzeń historycznych można znaleźć w Oden . Przegląd rozwoju MES w ciągu ostatnich 75 lat można znaleźć w tym artykule na blogu: 75 lat metody elementów skończonych.

Technical Fem przegląd techniczny metody elementów skończonych

metoda Elementów Skończonych jest sama w sobie kursem semestralnym. W tym artykule opisano zwięzły opis mechanizmu mes. Rozważ prosty problem 1-D, aby przedstawić różne etapy związane z FEA.,

słaba forma

jednym z pierwszych kroków w FEM jest identyfikacja PDE związanego ze zjawiskiem fizycznym. PDE (lub forma różniczkowa) jest znana jako forma silna, a Całka jest znana jako forma słaba. Rozważ proste PDE, jak pokazano poniżej. Równanie jest mnożone przez funkcję próbną v (x) po obu stronach i integrowane z dziedziną .,

teraz, korzystając z integracji części, LHS powyższego równania można zmniejszyć do

jak widać, kolejność ciągłości wymagana dla nieznanej funkcji U(x) jest zmniejszona o jeden. Wcześniejsze równanie różniczkowe wymagało, aby U(x) było różniczkowalne co najmniej dwa razy, podczas gdy równanie całkowe wymaga, aby było różniczkowalne tylko raz., To samo dotyczy funkcji wielowymiarowych, ale pochodne są zastępowane przez gradienty i dywergencje.

nie wchodząc w matematykę, twierdzenie Riesza o reprezentacji może udowodnić, że istnieje unikalne rozwiązanie dla U (x) dla całki, a tym samym formy różniczkowej. Ponadto, jeśli f (x) jest gładka, zapewnia również, że u(x) jest gładka.

Dyskretyzacja

Po skonfigurowaniu całki lub postaci słabej następnym krokiem jest dyskretyzacja postaci słabej., Całka musi być rozwiązana numerycznie, a zatem Całka jest przekształcana w sumowanie, które można obliczyć numerycznie. Ponadto jednym z podstawowych celów dyskrecji jest również przekształcenie postaci Całkowej w zbiór równań macierzowych, które można rozwiązać za pomocą znanych teorii algebry macierzy.

jak pokazano na Rys., 03, domena jest podzielona na małe części znane jako „elementy”, a punkt narożny każdego elementu jest znany jako”węzeł”. Nieznane funkcjonalne u (x) są obliczane w punktach węzłowych. Funkcje interpolacyjne są definiowane dla każdego elementu do interpolacji, dla wartości wewnątrz elementu, za pomocą wartości węzłowych. Te funkcje interpolacyjne są również często określane jako funkcje kształtu lub ansatz., W ten sposób nieznana funkcja U(x) może być zredukowana do

gdzie nen to liczba węzłów w elemencie, Ni i ui to odpowiednio funkcja interpolacyjna i niewiadome związane z węzłem i., formularz można przepisać jako

Schematy sumowania mogą być przekształcone w produkty macierzy i mogą być przepisywane jako

słaba forma może być teraz zredukowana do postaci macierzy {u} = {f}

Uwaga powyżej, że wcześniejsza funkcja próbna V(X), która została pomnożona, nie istnieje już w otrzymanym równaniu macierzowym., Również tutaj jest znana jako macierz sztywności, {u} jest wektorem węzłowych niewiadomych, A {R} jest wektorem resztkowym. Dalej, używając numerycznych schematów całkowania, takich jak Kwadratura Gaussa lub Newtona-Cotesa, całki w postaci słabej, która tworzy sztywność styczną i Wektor szczątkowy, są również łatwo obsługiwane.

wiele matematyki bierze udział w podejmowaniu decyzji o wyborze funkcji interpolacyjnych, co wymaga znajomości przestrzeni funkcyjnych (np. Hilberta i Sobolewa). Aby uzyskać więcej szczegółów w tym zakresie, odniesienia wymienione w artykule ” Jak mogę nauczyć się analizy elementów skończonych?,”są zalecane.

Rozwiązywacze

Po ustaleniu równań macierzowych równania są przekazywane rozwiązywaczowi w celu rozwiązania układu równań. W zależności od rodzaju problemu zazwyczaj stosuje się rozwiązania bezpośrednie lub iteracyjne. Bardziej szczegółowy przegląd rozwiązań i ich działania, a także wskazówki, jak wybrać między nimi, są dostępne w artykule na blogu „Jak wybrać rozwiązania: bezpośrednie czy iteracyjne?,”

rodzaje FEM różne rodzaje metody elementów skończonych

jak omówiono wcześniej tradycyjna technologia fem wykazała braki w modelowaniu problemów związanych z mechaniką płynów i propagacją fal. Ostatnio wprowadzono kilka ulepszeń w celu poprawy procesu rozwiązania i rozszerzenia możliwości zastosowania analizy elementów skończonych do szerokiego zakresu problemów., Niektóre z ważnych z nich są nadal używane TO:

Extended Finite Element Method (Xfem)

Bubnov-Galerkin metoda wymaga ciągłości przemieszczenia przez elementy. Chociaż problemy, takie jak kontakt, złamania i uszkodzenia obejmują nieciągłości i skoki, które nie mogą być bezpośrednio obsługiwane przez metodę elementów skończonych. Aby przezwyciężyć tę wadę, xfem urodził się w 1990 roku. xfem działa poprzez rozszerzenie funkcji kształtu z funkcji ciężkich kroku. Dodatkowe stopnie swobody są przypisywane węzłom wokół punktu nieciągłości, dzięki czemu można rozpatrywać skoki.,

uogólniona metoda Elementów Skończonych (GFEM)

gfem została wprowadzona mniej więcej w tym samym czasie, co XFEM w latach 90-tych. łączy w sobie cechy tradycyjnych metod FEM i meshless. Funkcje kształtu są przede wszystkim definiowane przez współrzędne globalne i następnie mnożone przez podział jedności, aby utworzyć lokalne elementarne funkcje kształtu. Jedną z zalet GFEM jest zapobieganie ponownemu oczkowaniu wokół osobliwości.

metoda mieszanych Elementów Skończonych

w kilku problemach, takich jak kontakt lub niezrozumiałość, ograniczenia są nakładane za pomocą mnożników Lagrange ' a., Te dodatkowe stopnie swobody wynikające z mnożników Lagrange ' a są rozwiązywane niezależnie. Układ równań rozwiązuje się jak układ sprzężony równań.

HP-metoda Elementów Skończonych

hp-FEM jest kombinacją automatycznego udoskonalania siatki (H-udoskonalanie) i wzrostu rzędu wielomianów (P-udoskonalanie). Nie jest to to samo, co wykonywanie osobno udoskonaleń h I p. Gdy stosuje się automatyczne HP-refinement, a element jest podzielony na mniejsze elementy (H-refinement), każdy element może mieć różne wielomiany, jak również.,

nieciągła metoda Elementów Skończonych Galerkina (DG-FEM)

DG-FEM wykazała znaczącą obietnicę wykorzystania idei elementów skończonych do rozwiązywania równań hiperbolicznych, gdzie tradycyjne metody elementów skończonych były słabe. Ponadto wykazano również poprawę w zakresie gięcia i problemów niezrozumiałych, które są zwykle obserwowane w większości procesów materiałowych. W tym przypadku do słabej formy dodaje się dodatkowe ograniczenia, które obejmują parametr kary (aby zapobiec przenikaniu się) i warunki dla innej równowagi naprężeń między elementami.,

podsumowanie FEM

mamy nadzieję, że ten artykuł zawiera odpowiedzi na najważniejsze pytania dotyczące tego, czym jest metoda elementów skończonych. Jeśli chcesz go zobaczyć w praktyce, SimScale oferuje możliwość przeprowadzania analiz elementów skończonych w przeglądarce internetowej. Aby poznać wszystkie funkcje platformy symulacji SimScale w chmurze, Pobierz ten przegląd lub obejrzyj nagranie jednego z naszych webinariów.

materiały do rozpoczęcia pracy z SimScale można znaleźć w artykule na blogu „9 zasobów edukacyjnych, które pomogą Ci rozpocząć pracę z symulacją inżynierską”.,