A função Gamma

GeneralEdit

Outros importantes funcional equações para a função gamma são de Euler reflexão fórmula

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \mais \sin(\pi z)},\qquad z\não \in \mathbb {Z} }

o que implica

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1\varepsilon )}},}

e o de Legendre duplicação fórmula

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − z 2 π Γ ( z 2 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}

a fórmula de duplicação é um caso especial do teorema da multiplicação (veja, Eq. 5.5.6)

∏ k = 0 m-1 Γ (z + k m) = (2 π) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( M z). {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}

uma propriedade simples mas útil, que pode ser vista a partir da definição de limite, é:

Γ (z) = Γ ( z ) Γ Γ ( z) Γ ( z) ∈ r., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{alinhado}}}

Talvez o melhor valor conhecido da função gamma em um inteiro não é um argumento

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = (2 n − 1 ) ! ! 2 N π = (n-1 2 n) n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n ! (2 n)! π = (−2 ) n (2 n-1 ) ! ! π = π (- 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{alinhado}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! mais de 4^{n}n!{\sqrt {\pi } ={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!{\sqrt {\pi } ={\frac {(-2)^{n} {(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!,}}\end{alinhado}}}}

os derivados da função gama são descritos em termos da função poligama. Por exemplo:

Γ ‘ (z) = Γ ( z ) ψ 0 (z ) . {\displaystyle \Gamma ‘ (z)=\Gamma(z)\psi _{0} (z).}

para um inteiro positivo a derivada da função gama pode ser calculada da seguinte forma (Aqui γ {\displaystyle \gamma } é a constante de Euler-Mascheroni):

Γ ‘ ( m + 1) = m ! (- γ + ∑ k = 1 m 1 k ) . {\displaystyle \Gamma ‘ (m+1) = m!\left (- \gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}}\right)\,.,}

Para ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} ésima derivada da função gamma é:

d n d n x Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ( ln ⁡ t ) d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(isto pode ser derivado diferenciando a forma integral da função gama em relação a X {\displaystyle x} , e usando a técnica de diferenciação sob o signo integral.)

Usando a identidade

Γ ( n ) ( 1) = (- 1) n ! ∑ π ∑ n ∑ i = 1 r ζ ζ (a i ) k i ! a i ζ ζ ( x ) := { ζ ( x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\poslaystyle \Gamma ^(n)}(1)=(-1)^{não!\sum \limites _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}} π = a 1 + ⋯ + a 1 ⏟ k 1 termos + ⋯ + a r + ⋯ + a r ⏟ k r termos , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ termos}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ termos}}},}

temos em particular

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\direita)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}

Iniqualidadesedit

quando restrita aos números reais positivos, a função gama é uma função estritamente logaritmicamente convexa., Esta propriedade pode ser declarado em qualquer uma das seguintes três maneiras equivalentes:

• Para quaisquer dois números reais positivos x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 {\displaystyle x_{2}} e , para qualquer t ∈ {\displaystyle t\in}

Γ ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• Para quaisquer dois números reais positivos x e y, com y > x

( Γ ( s ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ⁡ ( Γ ‘ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y, x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ‘(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• Para qualquer número real positivo x {\displaystyle x} ,

Γ ” ( x ) Γ ( x ) > Γ ‘ ( x ) 2 . {\displaystyle \Gamma “(x)\Gamma (x)>\Gamma ‘(x)^{2}.} Γ (a 1 x 1 + ⋯ + A N x N A 1 + ⋯ + A N) ≤ (Γ ( x 1 ) a 1 a Γ (x n ) A n ) 1 a 1+. + a N., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.

Existem também limites nas relações das funções gama. O mais conhecido é Gautschi da desigualdade, que diz que, para qualquer número real positivo x e qualquer s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

Stirling é formulaEdit

O comportamento de Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} para um aumento positivo da variável é simples. Cresce rapidamente, mais rápido do que uma função exponencial., Assintoticamente como z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} a magnitude da função gamma é dada por a fórmula de Stirling

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

Outro úteis limite para anī aproximações é:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

o comportamento para z {\displaystyle z} não-positivo é mais complexo., A integral de Euler não converge para z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0} , mas a função que define no meio plano complexo positivo tem uma continuação analítica única para o meio plano negativo. Uma maneira de achar que a continuação analítica é a utilização de Euler integral para argumentos positivos e estender o domínio de números negativos por aplicação repetida da fórmula de recorrência,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \operatorname {Res} (f,C)=\lim _{z\to C} (z-C)f (z).}

para o pólo simples z = – n, {\displaystyle z = – n,} reescrevemos a fórmula de recorrência como:

(z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1) ⋯ (z + n − 1 ) . {\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}

O numerador em z = − n , {\displaystyle z=-n,} é

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

e o denominador

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z (z+1)\cdots(z+n-1)=-n (1-n)\cdots(n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

assim, os resíduos da função gama nesses pontos são:

Res ⁡ (Γ , − n ) = ( − 1 ) n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(- 1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

a função gama tem um mínimo local em zmin ≈ +1 46163214496836234126(truncado) onde atinge o valor Γ (zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (truncado)., A função gama deve alternar entre os pólos porque o produto na recorrência para a frente contém um número ímpar de factores negativos se o número de pólos entre z {\displaystyle z} e z + n {\displaystyle z+n} for ímpar, e um número par Se o número de pólos for par.

representationsEdit Integral

Existem muitas fórmulas, além da integral de Euler do segundo tipo, que expressam a função gama como uma integral. Por exemplo, quando a parte real de z é positiva,

Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log log 1 t ) z − 1 d T., {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}

Binet primeira integral fórmula para a função gamma afirma que, quando a parte real de z é positivo, então:

log ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t − 1 ) e − t-z t d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt. a integral do lado direito pode ser interpretada como uma transformada de Laplace., Isto é, log ⁡ (Γ (z) (E z ) z 2 π z) = L ( 1 2 t − 1 T 2 + 1 t ( E t − 1)) (z). {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}, {z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

Binet segunda integral fórmula estados que, novamente, quando a parte real de z é positivo, então:

log ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 e t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

Deixe C ser um Pacote de contorno, ou seja, um caminho que começa e termina no ponto ∞ na esfera de Riemann, cuja unidade vetoriais tangentes converge para -1 no início do caminho e a 1 no final, que tem número do enrolamento 1 em torno de 0, e que não cruze

Γ ( z ) = − 1 2 i pecado ⁡ π z ∫ C (t ) z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C (t), z − e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{z}e^{-t}\,dt,}

novamente válido sempre que z não é um número inteiro.,a unção tem a seguinte série de Fourier de expansão para 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ π − 1 2 ln ⁡ pecado ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n pecado ⁡ ( 2 π n z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

o que foi, por muito tempo atribuído a Ernst Kummer, que derivar em 1847., No entanto, Iaroslav Blagouchine descobriu que Carl Johan Malmsten começou a derivar esta série em 1842.

a fórmula de Raabe

em 1840 Joseph Ludwig Raabe provou que

∫ a + 1 ln ln Γ ( z ) d z = 1 2 ln ln 2 π + a ln ⁡ a − a , a > 0. {\displaystyle \int _{a}^{a+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-um,\quad um>0.}

em particular, se a = 0 {\displaystyle A=0} então

∫ 0 1 ln ln Γ ( z ) d z = 1 2 ln ln 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

Este último pode ser derivado tomando o logaritmo na fórmula de multiplicação acima, que dá uma expressão para a soma de Riemann do integrador. Tomando o limite para um → ∞ {\displaystyle A\rightarrow \infty } dá a fórmula.,

Pi functionEdit

Uma alternativa de notação, que foi originalmente introduzida por Gauss e que às vezes era utilizado é o de Π {\displaystyle \Pi } -função, que, em termos de função gamma é

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}

de forma que Π ( n ) = n ! {\displaystyle \Pi (n)=n!} para cada inteiro não-Negativo n {\displaystyle n} .,

Usando a função pi a reflexão fórmula toma a forma

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

onde sinc é a função normalizada do sinc, enquanto a multiplicação teorema toma a forma

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

Nós também, às vezes, encontrar

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}

O volume de um n-elipsóide com raios r1, …, pode ser expresso como

V n ( r 1 , … , r n ) = π n 2 Π (n 2 ) ∏ k = 1 n r K. {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

Relation to other functionsEdit

• In The first integral above, which defines the gamma function, the limits of integration are fixed., As funções gama superior e inferior incompletas são as funções obtidas permitindo que o limite inferior ou superior (respectivamente) de integração varie.
• a função gama está relacionada com a função beta pela fórmula

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• a derivada logarítmica da função gama é chamada de função digamma; derivados superiores são as funções poligamma.,
• o análogo da função gama sobre um campo finito ou um anel finito é as somas Gaussianas, um tipo de soma exponencial.
• a função gama recíproca é uma função inteira e tem sido estudada como um tópico específico.
• a função gama também aparece em uma relação importante com a função zeta de Riemann, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} .π-z 2 Γ (z 2) ζ (z) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2) ζ ( 1 − z)., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\,\zeta (1-z).} Também aparece na seguinte fórmula: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u − 1 d u u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}, o qual é válido apenas para ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., O logaritmo da função gamma satisfaz a seguinte fórmula devido a Lerch: log ⁡ Γ ( x ) = ζ H ‘( 0 , x ) − ζ ‘ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‘(0),}, onde ζ H {\displaystyle \zeta _{H}} é o Hurwitz função zeta, ζ {\displaystyle \zeta } é o zeta de Riemann da função e a plica (‘) denota a diferenciação na primeira variável.
  • a função gama está relacionada com a função exponencial esticada. Por exemplo, os momentos dessa função São

  ⟨ τ n ∞ 0 ∞ D T t n − 1 e − ( t τ ) β = τ N β γ ( N β ) ., {\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \nos \beta }\right).}

  Particular valuesEdit

  ver artigo Principal: valores específicos da função gamma

  Incluindo até os primeiros 20 dígitos após o ponto decimal, se alguns valores da função gamma são:

  Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}}

  a função gama de valores complexos é indefinida para inteiros não-positivos, mas nestes casos o valor pode ser definido na esfera de Riemann como ∞. A função gama recíproca é bem definida E Analítica a estes valores (e em todo o plano complexo):

  1 Γ (−3 ) = 1 Γ (−2 ) = 1 Γ (−1 ) = 1 Γ (0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}