Fibonacci é um dos nomes mais famosos da matemática. Isso seria uma surpresa para Leonardo Pisano, o matemático que agora conhecemos por esse nome. E pode ter ficado igualmente surpreendido por ter sido imortalizado na famosa sequência– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – ao invés do que é considerado sua maior realização matemática-ajudando a popularizar o nosso sistema de números moderno no mundo de Língua Latina.,o Império Romano deixou a Europa com o sistema de numeração romana, que continua a ver, entre outros lugares, nos avisos de direitos autorais após filmes e programas de TV (2013 é MMXIII). Os numerais romanos não foram deslocados até meados do século XIII d. C., e o livro de Leonardo Pisano, Liber Abaci (que significa “O Livro dos cálculos”), foi um dos primeiros livros ocidentais a descrever a sua eventual substituição.
Leonardo Fibonacci c1175-1250.,Leonardo Pisano nasceu no final do século XII em Pisa, Itália: Pisano em italiano indicou que ele era de Pisa, da mesma forma que Mancuniano indica que eu sou de Manchester. Seu pai era um comerciante chamado Guglielmo Bonaccio e foi por causa do nome de seu pai que Leonardo Pisano ficou conhecido como Fibonacci. Séculos mais tarde, quandoenscholars estudavam as cópias escritas à mão de Liber Abaci(como foi publicado antes da impressão ser inventada), a interpretação do título – “filius Bonacci” significa “sonof Bonaccio” – como seu sobrenome, e Fibonacci nasceu.,Fibonacci (como vamos continuar a chamá-lo) passou sua infância em NorthAfrica, onde seu pai era um oficial da alfândega. Ele foi educado por theMoors e viajou extensamente no Barbary (Argélia), e mais tarde foi senton viagens de negócios para o Egito, Síria, Grécia, Sicília e a Provence.Em 1200 ele voltou a Pisa e usou o conhecimento que ele tinha ganhado onhis viaja para escrever Liber Ábacos (publicado em 1202), na qual ele introduziu a língua latina do mundo para o sistema numérico decimal. O primeiro capítulo da Parte 1 começa: estas são as nove figuras dos Índios.: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Com estas nove figuras, e com este sinal 0 que em árabe é chamado Zefiro, qualquer número pode ser escrito, como será demonstrado.na época, a Itália era composta por pequenas cidades e regiões independentes, o que levou ao uso de muitos tipos de pesos e sistemas monetários. Os comerciantes tinham que se converter de um para o outro sempre que negociavam entre estes sistemas., Fibonacci escreveu Liber Abaci para estes comerciantes, cheio de problemas práticos e trabalhou exemplos demonstrando como simplesmente cálculos comerciais e matemáticos poderiam ser feitos com este novo sistema de números comparado com os numerais romanos pesados. O impacto do livro de Fibonacci como o início da propagação dos números decimais foi a sua maior conquistamatemática. No entanto, Fibonacci é mais lembrado por uma certa sequência de números que apareceu como um exemplo em LiberAbaci.,
a page of Fibonacci’s Liber Abaci from the Biblioteca Nazionale di Firenze showing the Fibonacci sequence (in the box on the right).”
o problema com coelhos
um dos problemas matemáticos de Fibonacci investigado em Liber Abaci foi sobre a rapidez com que os coelhos se reproduziam em circunstâncias ideais.Suponha que um par recém-nascido de coelhos, um macho, uma fêmea, são colocados em um campo. Os coelhos são capazes de acasalar com a idade de um mês de modo que no final de seu segundo mês uma fêmea pode produzir outro par de coelhos., Suponha que nossos coelhos nunca morrem e que a fêmea produz sempre um novo par (um macho, uma fêmea) a cada mês a partir do segundo mês. O puzzle que o Fibonacci colocou foi… Quantos pares haverá num ano?
- No final do primeiro mês, eles acasalam, mas ainda há apenas um par.
- No final do segundo mês a fêmea produz um novo par, então agora existem 2 pares de coelhos.
- no final do terceiro mês, a fêmea original produz um segundo par, fazendo 3 pares ao todo.,no final do quarto mês, a fêmea original produziu outro par, a fêmea nascida há dois meses também produziu o seu primeiro par, fazendo 5 pares.
Agora, imagine que há pares de coelhos após meses. O número de pares em mês será (neste problema, os coelhos nunca morrem) mais o número de novos pares nascido. Mas os novos pares só nascem de pares com pelo menos 1 mês de idade, então haverá novos pares., Por isso temos
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, que é simplesmente a regra para gerar os números de Fibonacci: adicione as duas últimas para obter o próximo. Depois disso, você vai descobrir que após 12 meses (ou 1 ano), haverá 233 pares de coelhos.
as abelhas são melhores
o problema do coelho é obviamente muito contrito, mas a sequência de Fibonacci ocorre em populações reais. As abelhas fornecem um exemplo., Numa colónia de abelhas há uma fêmea especial chamada Rainha. As outras fêmeas são abelhas operárias que, ao contrário da abelha rainha, não produzem ovos. As abelhas masculinas não trabalham e chamam-se abelhas Drones. os machos são produzidos pelos ovos não fertilizados da rainha, pelo que as abelhas masculinas têm apenas uma mãe, mas nenhum pai. Todas as fêmeas são produzidas quando a rainha acasala com um macho e assim tem dois pais., As fêmeas geralmente acabam como abelhas operárias, mas algumas são alimentadas com uma substância especial chamada geleia real, que as faz crescer em rainhas prontas para começar uma nova colônia quando as abelhas formam um enxame e deixam sua casa (uma colmeia) em busca de um lugar para construir um novo ninho. As abelhas femininas têm dois pais, um macho e uma fêmea, enquanto as abelhas masculinas têm apenas um pai, uma fêmea.
Let’s look at the family tree of a male drone bee.ele tem 1 pai, uma mulher.ele tem dois avós, uma vez que sua mãe tinha dois pais, um macho e uma fêmea.,ele tem três bisavós: sua avó tinha dois pais, mas seu avô tinha apenas um.quantos bisavós é que ele tinha?,”>
avós
avós
avós
Espirais e conchas
as populações de Abelhas não é o único lugar na natureza, onde os números de Fibonacci ocorrem, eles também aparecem nas belas formas de conchas., Para ver isso, vamos construir uma imagem começando com quadrados twosmall de tamanho 1 ao lado um do outro. Em cima de ambos os lados um quadrado de tamanho 2 (=1+1). Nós podemos agora desenhar um novo quadrado –tocando tanto um dos quadrados da unidade e o mais recente quadrado do lado 2-sohaving lados 3 unidades de comprimento; e, em seguida, outro tocando tanto o 2-squareand o 3-quadrado (que tem lados de 5 unidades). Podemos continuar a adicionar peças em torno da imagem, cada novo quadrado tendo um lado que é tão longo quanto a soma dos dois últimos lados do quadrado., Este conjunto de rectângulos cujos lados são dois números sucessivos de Fibonacci em comprimento e que são compostos de quadrados com lados que são Fibonaccinumbers, vamos chamar os rectângulos de Fibonacci.
se agora desenharmos um quarto de um círculo em cada quadrado, podemos construir um conjunto de espiral. A espiral não é uma verdadeira espiral matemática (uma vez que é feita de desfragmentos que são partes de círculos e não vai em gettingsmaller e menor), mas é uma boa aproximação a um tipo de espiral que aparece muitas vezes na natureza., Tais Espirais (chamadas Espirais logarítmicas) são vistas na paisagem de conchas de caracóis e conchas do mar. A imagem abaixo de uma secção transversal de uma concha nautilus mostra a curva espiral da concha e as câmaras internas que o animal que a usa adiciona à medida que cresce. As câmaras fornecem flutuabilidade na água.
Fibonacci números também aparecem em plantas e flores. Algumas plantas se ramificam de tal forma que elas sempre têm um número Fibonacci de pontos de crescimento. Flores muitas vezes têm um número Fibonacci de pétalas,margaridas podem ter 34, 55 ou até mesmo 89 pétalas!,
uma aparência particularmente bonita de números de fibonacci está nos espirais de sementes em uma cabeça de semente. Da próxima vez que você ver um girassol,olhe para os arranjos das sementes em seu centro. Parecem estar em espiral para fora, tanto para a esquerda como para a direita.
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Na borda da imagem de um girassol, se você contar as curvas de sementes em espiral para o leftas você ir para fora, há 55 espirais., Ao mesmo tempo, há 34 espirais de sementes em espiral para a direita.Um pouco mais para o centro e você pode contar 34 espirais para a esquerda e 21 espirais para a direita. O par de Números (Contagem de espirais curvando para a esquerda e curvando para a direita) são (quase sempre) vizinhos na série de cibonacci.o mesmo acontece em muitas sementes e flores na natureza., A razão parece ser que este arranjo forma uma embalagem ideal das sementes de modo que, não importa quão grande a cabeça de semente, eles são uniformemente embalados em qualquer estágio, todas as sementes sendo o mesmo tamanho, sem crowding no centro e não muito esparso nas bordas.
A natureza parece usar o mesmo padrão para organizar pétalas em torno da borda de uma flor e para placelear em torno de um caule. Além disso, todos estes mantêm a sua eficiência à medida que a planta continua a crescer e isso é muito para pedir de um processo único! Então, como as plantas crescem para manter essa otimização de design?,
crescimento Dourado
Botânicos têm mostrado que as plantas crescem a partir de um único grupo minúsculo de células na ponta de qualquer planta em crescimento, chamado meristem. Há um meristem separado no final de cada ramo ou ramo onde novas células são formadas. Uma vez formados, eles crescem em tamanho, mas novas células só são formadas em tais pontos de crescimento. As células mais cedo para baixo do tronco se expandem e assim o ponto de crescimento sobe.Além disso, estas células crescem em uma espiral de moda: é como se o meristem vira um ângulo, produz uma nova célula, se transforma novamente pelo mesmo ângulo, produz uma nova célula, e assim por diante., Estas células podem então tornar-se uma semente, uma folha nova, um ramo novo, ou talvez em uma flor tornar-se Pétalas e estames.
as folhas aqui são numeradas por sua vez – cada uma é exatamente 0,618 de uma volta no Sentido DOS ponteiros do relógio (222,5°) da anterior.
a coisa surpreendente é que um único ângulo fixo de rotação pode produzir o design ideal não importa o quão grande a planta cresce., O princípio de que um único ângulo produz uniforme embalagens não importa o quanto o crescimento aparece suspeita tão cedo como no século passado, mas só provou matematicamente, em 1993, por Stéphane Douady e Yves Couder, dois matemáticos franceses. Fazer 0,618 de volta antes de produzir uma nova semente (ou folha, pétala, etc) produz a embalagem ideal de sementes, não importa o tamanho da cabeça de semente. Mas de onde vem este número mágico 0.618?,
A razão de ouro
Se tomarmos a relação entre dois números sucessivos na série de Fibonacci,dividindo pelo número anterior, vamos encontrar a seguinte seqüência de números:
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…
se traçar um gráfico destes valores, verá que eles parecem estar a tender para um limite, que cobria a razão dourada (também conhecida como a secção dourada e dourada).
rácio de termos Fibonacci sucessivos.,
Ele tem um valor de ( aproximadamente 1.618034) e geralmente é representado por uma letra grega Phi, escrito como . The closely related value which we write as , a lowercase phi, is just the decimal part of Phi, namely 0.618034… (), o número que contabiliza as espirais nas pontas dos pés e os arranjos das folhas em muitas plantas. Mas por que nós vemos phi em tantas plantas?
O número Phi (1.618034…), e portanto também phi (0,618034…,), são Números Irracionais: eles não podem ser escritos como uma fração simples. Vamos ver o que aconteceria se o meristem em uma cabeça de semente, em vez disso, girado por algum Número mais simples, por exemplo, a fração 1/2. Depois de duas voltas através de metade de um círculo estaríamos de volta para onde a primeira semente foi produzida. Ao longo do tempo, virar meia volta entre sementes produziria uma cabeça de semente com dois braços irradiando de um ponto central, deixando muito espaço desperdiçado.
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Uma semente cabeça produzidos por 0.,5 = 1/2 voltas entre sementes: sementes alternativas alinham-se. |
Uma semente cabeça produzidos por 0.48=12/25 voltas entre sementes: sementes forma de dois braços giratórios. |
Uma semente cabeça produzidos 0,6=3/5 voltas entre sementes: as sementes formulário 5 os braços esticados., |
Pi voltas entre sementes produz sete braços em espiral
Algo semelhante acontece para qualquer outro simples fração de uma volta: as sementes crescem em braços espirais que deixar um monte de espaço entre eles (o número de armas é o denominador da fração). Então o melhor valor para as voltas entre sementes será um número irracional. Mas não basta um número irracional qualquer. Por exemplo, a cabeça de semente criada com Pi voltas por semente parece ter sete braços em espiral de sementes., Isto porque 22/7 é uma boa aproximação racional de pi.
O que é necessário para não desperdiçar espaço é um número irracional que não é bem aproximado por um número racional. E acontece que Phi (1.618034…) e sua parte decimal phi (0,618034…) são os” mais irracionais ” de todos os números irracionais. (Você pode descobrir por que no caos na Terra número: a vida secreta de fracções contínuas.) É por isso que uma volta de Phi dá o empacotamento ideal de sementes e folhas em plantas., Ele também explica por que os números de Fibonacci aparecem nos arranjos de folhas e como o número de espirais em seedheads. Números adjacentes de Fibonacci dão as melhores aproximações da razão dourada. Eles se revezam em ser o denominador das aproximações e definem o número ou espirais como as cabeças de sementes aumentam em tamanho.como é que tantas plantas descobriram este belo e útil número, Phi?Obviamente não de resolver a matemática como o Fibonacci fez., Em vez disso, consideramo-lo que, tal como a relação entre os sucessivos números de Fibonacci se estabelece regularmente na relação de ouro, a evolução foi gradualmente fixando-se também no número certo. O legado de Leonardo Pisano, também conhecido como Fibonacci, está no coração de cada flor, bem como no coração do nosso sistema de números.
Leitura Adicional
Se gostou deste artigo, poderá visitar os números de Fibonacci e a secção dourada.
Sobre este artigo
Este artigo é baseado no material escrito pelo Dr. R., Knott, que foi anteriormente professor no departamento de Informática da Universidade de Surrey. Knott começou o site em números de Fibonacci e a seção de ouro em 1996 como um experimento em usar a web para inspirar e incentivar mais investigações de matemática, tanto dentro como fora do tempo escolar. Desde então tem crescido e agora abrange muitos outros assuntos, todos com elementosinterativos e calculadoras on-line. Embora agora aposentado, Knott ainda mantém e estende as páginas da web., Ele é atualmente um companheiro visitante na Universidade de Surrey e dá palestras em todo o país para escolas, universidades, conferências e Sociedades de matemática. Ele também gosta de passear, recreações matemáticas, cultivar coisas para comer e cozinhá-las.
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