O Real (não-Linear) Pêndulo Simples
Quando o deslocamento angular amplitude do pêndulo é grande o suficiente para que o pequeno ângulo de aproximação não se sustenta mais, em seguida, a equação de movimento deve permanecer em sua forma não-linear$$ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0 $$Esta equação diferencial não tem uma forma fechada solução, mas em vez disso, deve ser resolvido numericamente utilizando um computador. Mathematica numericamente resolve esta equação diferencial muito facilmente com a função NDSolve construída.,
a aproximação de ângulo pequeno é válida para deslocamentos angulares iniciais de cerca de 20° ou menos. Se o ângulo inicial for menor que esta quantidade, então a aproximação harmônica simples é suficiente. Mas, se o ângulo é maior, então as diferenças entre a aproximação do ângulo pequeno e a solução exata rapidamente se tornam aparentes.
na animação abaixo da esquerda, o ângulo inicial é pequeno. O pêndulo azul escuro é a aproximação do ângulo pequeno, e o pêndulo azul claro (inicialmente escondido atrás) é a solução exata., Para um pequeno ângulo inicial, é necessário um número bastante grande de oscilações antes que a diferença entre a aproximação de ângulo pequeno (azul escuro) e a solução exata (azul claro) comecem a divergir.
na animação abaixo da direita, o ângulo inicial é grande. O pêndulo preto é a aproximação de ângulo pequeno, e o pêndulo cinza mais leve (inicialmente escondido atrás) é a solução exata. Para um grande ângulo inicial, a diferença entre a aproximação de ângulo pequeno (preto) e a solução exata (cinza claro) torna-se aparente quase imediatamente.,
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