Análise de Fourier

(Contínua) de Fourier transformEdit

na Maioria das vezes, sem ressalvas prazo de Fourier refere-se à transformação de funções contínuas reais argumento, e produz uma função contínua de frequência, conhecida como uma distribuição de freqüência. Uma função é transformada em outra, e a operação é reversível., Quando o domínio de entrada (inicial) função do tempo (t), e o domínio de saída (final) a função é comum a freqüência, a transformação da função s(t) na freqüência f é dada pelo número complexo:

S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}

avaliar esta quantidade para todos os valores de f produz a função de domínio de frequência., Em seguida, s(t) pode ser representada como uma recombinação de exponenciais complexas de todas as frequências possíveis:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f t d f , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}

o que é a inversa da transformação de fórmula. O número complexo, S( f ), transmite amplitude e fase de frequência F.,

Veja a transformação de Fourier para mais informações, incluindo:

• convenções para a amplitude de normalização e escala de freqüência/unidades
• transform properties
• tabulados transformações de funções específicas
• uma extensão/generalização para funções de várias dimensões, tais como imagens.,

de Fourier seriesEdit

A transformada de Fourier de uma função periódica, sP(t), com período P, torna-se um pente de Dirac função, modulada por uma seqüência de coeficientes complexos:

S = 1 P ∫ P s P ( t ) ⋅ e − i 2 π k P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (onde ∫P é a integral sobre qualquer intervalo de comprimento P).,

O inverso da transformação, conhecida como série de Fourier, é uma representação de sP(t) em termos de uma soma de um número potencialmente infinito de harmonicamente relacionadas sinusóides ou complexo de funções exponenciais, cada um com uma amplitude e fase especificado por um dos coeficientes:

s P ( t ) = F − 1 ({ ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e i 2 π k P t . {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

sP(t) pode ser expresso como um periódico soma de outra função, s(t):

s P ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m, P ) , {\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

e os coeficientes são proporcionais às amostras de S( f ) em intervalos discretos de 1/P:

S = 1 P ⋅ S ( k P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{p}}\cdot S\left ({\frac {k}{p}}}\right).}

Note que qualquer S (t) cuja transformada tem os mesmos valores discretos da amostra pode ser usado na soma periódica. Uma condição suficiente para recuperar s(t) (e, portanto, S( f)) de apenas estas amostras (i.e., a partir da série de Fourier) é que a porção não-zero de s(t) seja confinada a um intervalo conhecido de duração P, Que é o domínio de Frequência dual do teorema de amostragem de Nyquist–Shannon.

Ver Séries de Fourier para mais informações, incluindo o desenvolvimento histórico.

transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT)edita

a DTFT é o dual matemático da série de Fourier de domínio temporal.,e os coeficientes são amostras de uma contínua tempo de função:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ série de Fourier (à dtft) ⏟ de soma de Poisson fórmula = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier série (à dtft)}}} _{\text{Poisson soma fórmula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

o que é conhecido como o à dtft., Thus the DTFT of the s sequence is also the Fourier transform of the modulated Dirac comb function.

A série de Fourier coeficientes (e inversa de transformação), são definidos por:

s ≜ T ∫ 1 T 1 T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T o d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f n T o d f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(tn)}.,}

parâmetro T corresponde ao intervalo de amostragem, e esta série de Fourier pode agora ser reconhecida como uma forma da fórmula de soma de Poisson. Assim, temos o resultado importante de que quando uma sequência de dados discreta, s, é proporcional a amostras de uma função contínua subjacente, s(t), pode-se observar uma soma periódica da transformada contínua de Fourier, S( f ). Note que qualquer s( t) com os mesmos valores discretos de amostra produz o mesmo DTFT, mas sob certas condições idealizadas pode-se teoricamente recuperar S(f ) E s (t) exatamente., Uma condição suficiente para uma recuperação perfeita é que a porção não-zero de S( f ) seja confinada a um intervalo de frequência conhecido de largura 1/T. Quando esse intervalo é , a fórmula de reconstrução aplicável é a fórmula de interpolação Whittaker–Shannon. Esta é uma pedra angular na fundação do processamento de sinais digitais.

outra razão para estar interessado em S1 / T (f) é que muitas vezes fornece uma visão sobre a quantidade de aliasing causada pelo processo de amostragem.

As aplicações da TFD não se limitam a funções amostradas.,ing (finito de comprimento sequências)

transform properties

tabulados transformações de funções específicas

a transformada Discreta de Fourier (DFT)Editar

Semelhante a uma série de Fourier, o à dtft de uma seqüência periódica, sN, com período N, torna-se um pente de Dirac função, modulada por uma seqüência de coeficientes complexos (ver à dtft § Periódica de dados):

S = ∑ n s N ⋅ e − i 2 π k N , k ∈ Z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,} (onde ∑n é a soma sobre qualquer seqüência de comprimento N).,

a sequência S é o que é habitualmente conhecido como DFT de um ciclo de sN. É também N-periódico, por isso nunca é necessário calcular mais do que n coeficientes. O inverso da transformação, também conhecido como uma discreta de Fourier série, é dada por:

s N = 1 N ∑ k S ⋅ e i 2 π n N k , {\displaystyle s_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{k}S\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},} onde ∑k é a soma sobre qualquer seqüência de comprimento N.,

Quando o sN é expresso como um periódico soma de outra função:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s} e s ≜ s ( n, T ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nT)}

os coeficientes são proporcionais às amostras de S1/T( f ) em intervalos discretos de 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S 1 T ( k P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).,}

inversamente, quando se quer calcular um número arbitrário (N) de amostras discretas de um ciclo de um DTFT contínuo, S1/T( f), Ele pode ser feito computando o DFT relativamente simples de sN, como definido acima. Na maioria dos casos, N é escolhido igual ao comprimento da porção não-zero de S. aumentando N, conhecido como enchimento zero ou interpolação, resulta em amostras mais espaçadas de um ciclo de S1/T( f). Diminuindo N, causa sobreposição (adição) no domínio do tempo (análogo à aliasing), o que corresponde à dizimação no domínio da frequência., na maioria dos casos de interesse prático, a sequência s representa uma sequência mais longa que foi truncada pela aplicação de uma função de janela de comprimento finito ou matriz de filtros FIR.

o DFT pode ser calculado usando um algoritmo de transformada de Fourier rápida (FFT), o que o torna uma transformação prática e importante em computadores.,

Veja a transformada Discreta de Fourier para mais informações, incluindo:

• transform properties
• aplicações
• tabulados transformações de funções específicas

SummaryEdit

Para funções periódicas, tanto a transformada de Fourier e à dtft compreendem apenas um conjunto discreto de componentes de frequência (série de Fourier), e o transforma divergir dessas frequências. Uma prática comum (não discutida acima) é lidar com essa divergência via Dirac delta e Dirac comb funções., Mas a mesma informação espectral pode ser discernida a partir de apenas um ciclo da função periódica, uma vez que todos os outros ciclos são idênticos. Similarmente, funções de duração finita podem ser representadas como uma série de Fourier, sem perda real de informação exceto que a periodicidade da transformada inversa é um mero artefato.

é comum na prática para a duração de s(•) a ser limitado ao período, P ou N. mas estas fórmulas não exigem essa condição.,

propertiesEdit

quando as partes reais e imaginárias de uma função complexa são decompostas em suas partes par e ímpar, há quatro componentes, denotados abaixo pelos subscritos RE, RO, IE, e IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Inversamente, uma transformada even-symmetric implica um domínio do tempo real.
• a transformação de uma função de valor imaginário (i sIE+ i sIO) é a função simétrica ímpar SRO+ i SIE, e a inversa é verdadeira.
• a transformação de uma função even-symmetric (sRE+ i sIO) é a função real SRE+ SRO, e a inversa é verdadeira.
• a transformação de uma função ímpar-simétrica (sRO+ i sIE) é a função imaginária-valorizada i SIE+ I SIO, e o inverso é verdadeiro.,

transformadas de Fourier arbitrárias localmente compacto abelian topológica groupsEdit

Fourier variantes também podem ser generalizadas para transformadas de Fourier arbitrárias localmente compacto Abelian topológica grupos, que são estudados na análise harmônica; lá, a transformada de Fourier assume funções em um grupo de funções a dupla de grupo. This treatment also allows a general formulation of the convolution theorem, which relates Fourier transforms and convolutions. Veja também a dualidade Pontryagin para os fundamentos generalizados da Transformada de Fourier.,

mais específica, a análise de Fourier pode ser feita em cossets, mesmo em cossets discretos.

transformada de Frequência Temporal

em termos de processamento de Sinais, uma função (do tempo) é uma representação de um sinal com resolução de tempo perfeita, mas sem informação de frequência, enquanto a Transformada de Fourier tem resolução de frequência perfeita, mas não Informação de tempo.,

como alternativas à transformada de Fourier, em análise de tempo–frequência, utiliza – se a Transformada de tempo-frequência para representar sinais em uma forma que tem alguma informação de tempo e alguma informação de frequência-pelo princípio da incerteza, há um trade-off entre estes., Estas podem ser generalizações da Transformada de Fourier, tais como a Transformada de Fourier de curto tempo, a Transformada de Gabor ou a Transformada de Fourier fraccionada (FRFT), ou podem usar diferentes funções para representar sinais, como na transformada de wavelet e na transformada de chirplet, com a Transformada de Fourier contínua de wavelet sendo a transformada contínua de wavelet.