Beer-Lambert law (Português)

Assume que um feixe de luz entra numa amostra de material. Definir z como um eixo paralelo à direcção do feixe. Dividir a amostra de material em fatias finas, perpendiculares ao feixe de luz, com espessura dz suficientemente pequena para que uma partícula em uma fatia não possa obscurecer outra partícula na mesma fatia quando vista ao longo da direção Z., O fluxo radiante da luz que emerge a partir de uma fatia é reduzido, comparado com o da luz que entrou, por dΦe(z) = −m(z)Φe(z) dz, onde μ é o (Napierian) coeficiente de atenuação, que produz os seguintes de primeira ordem linear ODE:

d Φ e ( z ) d z = − µ ( z ) Φ e ( z ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z). a atenuação é causada pelos fótons que não chegaram ao outro lado da fatia por dispersão ou absorção.,nos ao desenvolvimento para esta equação diferencial é obtido multiplicando-se o fator de integração e ∫ 0 z m ( z ) d z ‘{\displaystyle e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}}

ao longo de toda a obter

d Φ e ( z ) d z e ∫ 0 z m ( z ) d z ‘ + µ ( z ) Φ e ( z ) e ∫ 0 z m ( z ) d z ‘= 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}+\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}=0,}

o que simplifica devido ao produto regra (aplicada para trás) a

d d z ( Φ e ( z ) e ∫ 0 z m ( z ) d z ‘ ) = 0., {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\bigl (}\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}{\bigr )}=0.}

a Integração de ambos os lados e a solução para Φe para um material de espessura real ℓ, com o fluxo radiante incidente sobre a fatia Φei = Φe(0) e o fluxo radiante transmitida Φet = Φe(ℓ ) dá

Φ e t = Φ e i e − ∫ 0 ℓ m ( z ) d z , {\displaystyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }=\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }\,e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z},}

e, finalmente,

T = Φ t Φ e i = e − ∫ 0 ℓ m ( z ) d z ., {\displaystyle T={\frac {\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }}}=e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z}.}

Desde que o decadic coeficiente de atenuação μ10 está relacionado com o (Napierian) coeficiente de atenuação por μ10 = μ/ln 10, também tem

T = e − ∫ 0 ℓ ln ⁡ 10 μm de 10 ( de z ) d z = ( e − ∫ 0 ℓ μ 10 ( de z ) d z ) ln ⁡ 10 = 10 − ∫ 0 ℓ μ 10 ( de z ) d z . {\displaystyle T=e^{-\int _{0}^{\ell }\ln {10}\,\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}={\bigl (}e^{-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}{\bigr )}^{\ln {10}}=10^{-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}., para descrever o coeficiente de atenuação de uma forma independente das densidades n das espécies atenuantes N da amostra material, introduz-se a secção transversal de atenuação σi = µi(z)/ni(z). σi tem a dimensão de uma área; ela expressa a probabilidade de interação entre as partículas do feixe e as partículas da espécie i na amostra do material: T e = − ∑ i = 1 N σ i ∫ 0 ℓ n i ( z ) d z . {\displaystyle T=e^{-\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z}.,}

pode-se também utilizar o molar coeficientes de atenuação ei = (NA/ln 10)σi, onde NA é a constante de Avogadro, para descrever o coeficiente de atenuação de uma forma independente da quantidade concentrações ci(z) = ni(z)/AN do atenuando as espécies do material de exemplo:

T e = − ∑ i = 1 N ln ⁡ 10 N ε i ∫ 0 ℓ n i ( z ) d z = ( e − ∑ i = 1 N ε i ∫ 0 ℓ n i ( z ) N A d o A z ) ln ⁡ 10 = 10 − ∑ i = 1 N ε i ∫ 0 ℓ c i ( z ) d z ., {\displaystyle {\begin{alinhado}T=e^{-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\ln {10}}{\mathrm {N_{A}} }}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z}=\\{\Bigl (}e^{-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }{\frac {n_{i}(z)}{\mathrm {N_{A}} }}\mathrm {d} z}{\Bigr )}^{\ln {10}}=10^{-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i}(z)\mathrm {d} z}.\end{alinhado}}}

a suposição acima de que as secções transversais de atenuação são aditivas é geralmente incorrecta, uma vez que o acoplamento electromagnético ocorre se as distâncias entre as entidades absorventes forem pequenas.,

a derivação da dependência da concentração da absorvância é baseada na teoria eletromagnética. Assim, a polarização macroscópica de um meio P {\displaystyle P} deriva do microscópica momentos de dipolo p {\displaystyle p} na ausência de interação de acordo com

P = N p {\displaystyle P=N\ p\ }

onde p {\displaystyle p} é o momento dipolar e N {\displaystyle N} o número de absorver entidades por unidade de volume., Por outro lado, a polarização macroscópica é dada por:

P = ( ε r − 1 ) ⋅ ε 0 ⋅ E {\displaystyle P=(\varepsilon _{r}-1)\cdot \varepsilon _{0}\cdot E}

Aqui ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} representa o relativo função dielétrica, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} o vácuo permissividade e e {\displaystyle E} o campo elétrico.,_{r}=1+c{\frac {N_{A}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}} n ^ = 1 + c N A ⋅ α ε 0 {\displaystyle {\hat {n}}={\sqrt {1+c{\frac {N_{A}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}}}} k = c N A ⋅ α “2 ε 0 {\displaystyle k=c{\frac {N_{A}\cdot \alpha}{2\varepsilon _{0}}}} A = 2 π ( log 10 ⁡ e ) N A α” λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\log _{10}e)N_{A}\alpha}{\lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}

Como conseqüência, a relação linear entre a concentração e a absorbância é, geralmente, uma aproximação, e contém, em especial, apenas para pequenas polarisabilities e fraca absorção, eu.,E. pontos fortes dos osciladores.,oduce a aproximação √ ( 1 + x ) ≈ 1 + x / 2 {\displaystyle \surd (1+x)\approx 1+x/2} , e empregar em vez disso, a seguinte relação entre a parte imaginária da relativa do dielétrico de função e o índice de refração e de absorção ε r ” = 2 n k {\displaystyle \varepsilon _{r}”=2nk} pode ser visto que o molar coeficiente de atenuação depende do índice de refração (que é em si concentração dependente):

A = 2 π ( log 10 ⁡ e ) N α n ⋅ λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\log _{10}e)N_{A}\alpha}{n\cdot \lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}