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Section 3-5 : Derivatives of Trig Functions
With this section we’re going to start looking at the derivatives of functions other than polynomials or roots of polynomials. Vamos iniciar este processo dando uma olhada nas derivações das seis funções trigonometria. Dois dos derivados serão derivados. Os quatro restantes são deixados para vocês e seguirão provas semelhantes para os dois dados aqui.
Antes de realmente entrar nos derivados das funções trig precisamos dar um par de limites que vão aparecer na derivação de dois dos derivados.,
Fact
ver a prova dos limites Trig do Capítulo extra para ver a prova destes dois limites.antes de proceder a uma nota rápida. Os alunos muitas vezes perguntam Por que nós sempre usamos radianos em uma aula de cálculo. Esta é a razão! A prova da fórmula que envolve seno acima requer que os ângulos sejam em radianos. Se os ângulos estão em graus o limite envolvendo seno não é 1 e assim as fórmulas que derivaremos abaixo também mudariam. As fórmulas abaixo pegariam uma constante extra que iria apenas ficar no caminho de nosso trabalho e então usamos radianos para evitar isso., Então, lembre-se de usar sempre radianos em uma aula de cálculo!
Antes de começarmos a diferenciar funções trig vamos trabalhar um conjunto rápido de problemas limite que este fato agora nos permite fazer.
ok, agora que temos este conjunto de exemplos de limites fora do caminho vamos voltar ao ponto principal desta seção, diferenciando funções trigonometria.vamos começar por encontrar a derivada da função sine. Para isso, precisamos usar a definição do derivado. Já passou algum tempo desde que tivemos de usar isto, mas às vezes não há nada que possamos fazer., Aqui está a definição da derivada para a função sine.
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Uma vez que não podemos simplesmente plug em \(h = 0\) para avaliar o limite, vamos precisar de usar a seguinte fórmula trigonometria no primeiro seno no numerador.ao fazer isso nos dá,
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Como você pode ver usando a fórmula trig podemos combinar o primeiro e terceiro termo e, em seguida, Fator um seno para fora disso. Podemos então dividir a fração em duas partes, ambas as quais podem ser tratadas separadamente.
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neste ponto tudo o que precisamos fazer é usar os limites no fato acima para terminar este problema.,o cosseno diferenciador é feito de forma similar. Vai exigir uma fórmula diferente de trigonometria, mas fora isso é uma prova quase idêntica. Os detalhes serão deixados para si. Quando feito com a prova que você deve obter,
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com estes dois fora do caminho os quatro restantes são bastante simples de obter. Todas as quatro funções trigonometria restantes podem ser definidas em termos de seno e cosseno e essas definições, juntamente com regras derivadas apropriadas, podem ser usadas para obter seus derivados.vamos ver a tangente., Tangente é definido como,
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Agora que temos os derivados de seno e cosseno tudo o que precisamos fazer é usar a Regra do quociente sobre isso. Vamos fazer isso.
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As três funções trigonométricas restantes são também quocientes que envolvem seno e / ou cosseno, pelo que podem ser diferenciadas de forma semelhante. Vamos deixar os detalhes para si. Aqui estão os derivados de todas as seis funções trig.
Derivados das seis funções trigonométricas
neste ponto, devemos trabalhar alguns exemplos.
Como um problema final aqui não vamos esquecer que ainda temos nossas interpretações padrão para derivados.,
nesta secção vimos como diferenciar funções trigonométricas. Também vimos no último exemplo que nossas interpretações do derivado ainda são válidas para que não possamos esquecê-las.
também, é importante que sejamos capazes de resolver equações de trigonometria como isso é algo que vai surgir fora e sobre Neste curso. Também é importante que possamos fazer os tipos de linhas de números que usamos no último exemplo para determinar onde uma função é positiva e onde uma função é negativa. Isto é algo que iremos fazer de vez em quando, tanto neste capítulo como no próximo.
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