Cerca de falar um diferenciáveis curva é uma curva que é definido como sendo localmente a imagem de um injective diferenciáveis em função de γ : I → X {\displaystyle \gamma \cólon I\rightarrow X} em um intervalo I dos números reais em um diferenciáveis colector X, muitas vezes de R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Mais precisamente, uma curva diferenciável é um subconjunto C de X, onde cada ponto de C tem uma vizinhança U tal que C ∩ U {\displaystyle C\cap U} é diffeomorphic para um intervalo de números reais., Em outras palavras, uma curva diferenciável é uma variedade diferenciável de dimensão um.
Comprimento do curveEdit
Comprimento ( γ) = def ∫ a b / γ ‘ (t ) | d T. {\displaystyle \operatorname {Comprimento} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}. o comprimento de uma curva é independente da parametrização γ {\displaystyle \gamma } .
s = ∫ A B 1 + 2 d X. {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Comprimento ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t ) , γ ( t i − 1 ) ) | n ∈ N e a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Comprimento} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{e}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} de Comprimento ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \operatorname {Length} \!,\left (\gamma |_{}\right)=T_{2}-T_{1}.} Velocidade γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t em d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Velocidade} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}
e, em seguida, mostrar que
Comprimento ( γ ) = ∫ a b a Velocidade de γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma}} (t)~\mathrm {d} {t}.,}
Diferencial geometryEdit
Enquanto os primeiros exemplos de curvas que são atendidos são principalmente avião curvas (que é, no dia-a-palavras, linhas curvas no espaço bidimensional), há exemplos óbvios, tais como a hélice que existem naturalmente em três dimensões. As necessidades da geometria, e também, por exemplo, da mecânica clássica São ter uma noção de curva no espaço de qualquer número de dimensões. Na relatividade geral, uma linha Mundial é uma curva no espaço-tempo.,
Se X {\displaystyle X} é uma variedade diferenciável, então podemos definir a noção de curva diferenciável em X {\displaystyle X} . Esta idéia geral é suficiente para cobrir muitas das aplicações das curvas na matemática. De um ponto de vista local, pode-se tomar X {\displaystyle X} para ser um espaço euclidiano. Por outro lado, é útil ser mais geral, pois (por exemplo) é possível definir os vetores tangentes a X {\displaystyle X} por meio desta noção de curva.,
Se X {\displaystyle X} é uma variedade suave, uma curva suave no X {\displaystyle X} é um mapa suave
γ: i → X {\displaystyle \gamma \colon i\rightarrow X} . uma curva diferenciável é dita regular se a sua derivada nunca desaparece. (Em palavras, uma curva regular nunca abranda para uma paragem ou recua em si mesma.,) Dois C k {\displaystyle C^{k}} curvas diferenciáveis
γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\cólon I\rightarrow X} e γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\cólon J\rightarrow X}
são ditos ser equivalentes se existe uma bijective C k {\displaystyle C^{k}} mapa
p : J → I {\displaystyle p\cólon J\rightarrow I}
tal que o inverso mapa
p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\cólon I\rightarrow J}
também é C k {\displaystyle C^{k}} e
γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}
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