Finite Element Method-What Is It? FEM and FEA Explained

the finite element method (FEM) is a numerical technique used to perform finite element analysis (FEA) of any given physical phenomenon.

é necessário usar a matemática para compreender e quantificar exaustivamente quaisquer fenômenos físicos, tais como comportamento estrutural ou fluido, transporte térmico, propagação de ondas e o crescimento de células biológicas. A maioria destes processos são descritos usando equações diferenciais parciais (PDEs)., No entanto, para um computador resolver estes PDEs, técnicas numéricas foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas e um dos mais proeminentes hoje é o método do elemento finito.,

o Método dos elementos Finitos Aplicações do Método dos elementos Finitos

O método dos elementos finitos começou com a promessa significativa na modelagem de várias aplicações mecânicas relacionadas ao setor aeroespacial e engenharia civil. As aplicações do método do elemento finito só agora estão começando a atingir seu potencial., Uma das perspetivas mais excitantes é a sua aplicação em problemas acoplados, tais como a interação fluido-estrutura, problemas Termomecânicos, termoquímicos, termoquímicos, biomecânicos, Engenharia Biomédica, piezoelétrica, ferroelétrica e eletromagnética.

tem havido muitos métodos alternativos propostos nas últimas décadas, mas a sua aplicabilidade comercial ainda não foi provada. Resumindo, a FEM acabou de fazer um sinal no radar!

Antes de começar com as equações diferenciais, é essencial ler o artigo sobre o software da FEA no SimWiki., Começa com o básico e gradualmente progride para as equações diferenciais.

Equações Diferenciais Parciais

Em Primeiro Lugar, é importante entender o diferente gênero de PDEs e sua adequação para uso com FEM. Compreender isto é particularmente importante para todos, independentemente da motivação para a utilização da análise de elementos finitos. É fundamental lembrar que o FEM é uma ferramenta e qualquer ferramenta é tão boa quanto seu usuário.

PDEs pode ser categorizado como elíptico, hiperbólico e parabólico., Ao resolver estas equações diferenciais, devem ser fornecidas as condições limite e/ou iniciais. Com base no tipo de PDE, as entradas necessárias podem ser avaliadas. Exemplos de PDEs em cada categoria incluem a equação de Poisson (elíptica), a equação de onda (hiperbólica) e a lei de Fourier (parabólica).

Existem duas abordagens principais para resolver PDEs elípticas, nomeadamente os métodos de diferença finita (FDM) e os métodos variacionais (ou de energia). O FEM é incluído na segunda categoria. Abordagens variacionais são baseadas principalmente na filosofia de minimização de energia.,

PDEs hiperbólicas são comumente associados com saltos em soluções. Por exemplo, a equação de onda é uma PDE hiperbólica. Devido à existência de descontinuidades (ou saltos) em soluções, acreditava-se que a tecnologia original FEM (ou método Bubnov-Galerkin) era inadequada para resolver PDEs hiperbólicos. No entanto, ao longo dos anos, foram desenvolvidas modificações para alargar a aplicabilidade da tecnologia FEM.

Antes de concluir esta discussão, é necessário considerar a consequência da utilização de um quadro numérico inadequado para o tipo de PDE., Tal uso leva a soluções que são conhecidas como “indevidamente colocadas”.”Isso pode significar que pequenas mudanças nos parâmetros do domínio levam a grandes oscilações nas soluções, ou que as soluções existem apenas em uma determinada parte do domínio ou tempo, que não são confiáveis. As explicações bem colocadas são definidas como aquelas em que uma solução única existe continuamente para os dados definidos. Por conseguinte, tendo em conta a fiabilidade, é extremamente importante obter soluções bem colocadas.,

baixar as nossas dicas de Arquitectura, Engenharia & Construction (AEC) ” Livro Branco para aprender a optimizar os seus projectos!como funciona o FEM? Qual é a principal força motriz? O princípio da minimização da energia forma a espinha dorsal primária do método do elemento finito. Em outras palavras, quando uma condição de contorno particular é aplicada a um corpo, isso pode levar a várias configurações, mas ainda assim apenas uma configuração particular é realisticamente possível ou alcançada., Mesmo quando a simulação é realizada várias vezes, os mesmos resultados prevalecem. Porquê?

isto é governado pelo princípio da minimização da energia. Ela afirma que quando uma condição de contorno (como deslocamento ou força) é aplicada, das numerosas configurações possíveis que o corpo pode tomar, apenas aquela configuração onde a energia total é mínima é aquela que é escolhida.,

História do método do elemento finito

tecnicamente, dependendo da perspectiva de cada um, pode-se dizer que o FEM teve suas origens na obra de Euler, já no século XVI. No entanto, os primeiros trabalhos matemáticos sobre o FEM podem ser encontrados nas obras de Schellback e Courant .

FEM foi desenvolvido independentemente pelos engenheiros para resolver problemas de mecânica estrutural relacionados com a engenharia aeroespacial e civil. Os desenvolvimentos começaram em meados da década de 1950 com os papéis de Turner, Clough, Martin e Topp, Argyris , Babuska e Aziz ., The books by Zienkiewicz and Strang, and Fix also laid the foundations for future development in FEM.

Uma análise interessante destes desenvolvimentos históricos pode ser encontrada em Oden . Uma revisão do desenvolvimento do FEM nos últimos 75 anos pode ser encontrada neste artigo do blog: 75 anos do método do elemento finito.

technical FEM Technical Overview of Finite Element Method

Finite element method is in itself a semestre course. Neste artigo, é descrita uma descrição concisa do mecanismo de FEM. Considere um problema 1-D simples para descrever as várias etapas envolvidas na FEA.,

forma fraca

um dos primeiros passos na FEM é identificar a PDE associada ao fenómeno físico. O PDE (ou forma diferencial) é conhecido como a forma forte e a forma integral é conhecida como a forma fraca. Considere o PDE simples como mostrado abaixo. A equação é multiplicada por uma função de teste v(x) em ambos os lados e integrada com o domínio .,

Agora, o uso de integração de peças, o lado esquerdo da equação acima pode ser reduzida para

Como pode ser visto, a ordem de continuidade necessária para a função desconhecida u(x) é reduzida por um. A equação diferencial anterior requer que u (x) seja diferenciável pelo menos duas vezes, enquanto a equação integral requer que seja diferenciável apenas uma vez., O mesmo é verdade para funções multidimensionais, mas os derivados são substituídos por gradientes e divergência.

sem entrar na matemática, o teorema da representação de Riesz pode provar que existe uma solução única para u(x) para a integral e, portanto, a forma diferencial. Além disso, se f(x) é liso, ele também garante que u(x) é liso.

discretização

Uma vez que a forma integral ou fraca foi criada, o próximo passo é a discretização da forma fraca., A forma integral precisa ser resolvida numericamente e, portanto, a integração é convertida a uma soma que pode ser calculada numericamente. In addition, one of the primary goals of discretization is also to convert the integral form to a set of matrix equations that can be solved using well-known theories of matrix algebra.

, Como mostrado na Fig., 03, O domínio é dividido em pequenas peças conhecidas como “elementos” e o ponto de Canto de cada elemento é conhecido como um “nó”. O u(x) funcional desconhecido é calculado nos pontos nodal. As funções de interpolação são definidas para cada elemento a interpolar, para valores dentro do elemento, usando valores nodal. Estas funções de interpolação também são muitas vezes referidas como funções de forma ou ansatz., Assim, o desconhecido funcional u(x) pode ser reduzida para

, onde ns é o número de nós do elemento, Ni e ui são a função de interpolação e incertezas associados com o nó i, respectivamente., o formulário pode ser reescrito como:

A soma de esquemas pode ser transformada em uma matriz de produtos e pode ser reescrito como:

A forma fraca agora pode ser reduzida a uma matriz da forma {u} = {f}

Nota acima, que o julgamento anterior de função v(x) que tinha sido multiplicado não existe mais a matriz resultante da equação., Também aqui é conhecida como a matriz de rigidez, {u} é o vetor de desconhecidos nodal, e {r} é o vetor residual. Mais adiante, usando esquemas de integração numérica, como a quadratura de Gauss ou Newton-Cotes, as integrações na forma fraca que forma a rigidez tangente e Vetor residual também são facilmente tratadas.

muita matemática está envolvida na decisão de escolher funções de interpolação, que requer conhecimento de espaços funcionais (como Hilbert e Sobolev). Para mais detalhes a este respeito, as referências listadas no artigo ” Como posso aprender Análise de Elementos Finitos?,”são recomendados.

solucionadores

Uma vez que as equações de matriz foram estabelecidas, as equações são passadas para um solucionador para resolver o sistema de equações. Dependendo do tipo de problema, os solucionadores diretos ou iterativos são geralmente usados. Uma visão mais detalhada dos solucionadores e como eles funcionam, bem como dicas sobre como escolher entre eles, estão disponíveis no artigo do blog “Como escolher solucionadores: diretos ou iterativos?,”

Tipos de FEM Diferentes Tipos de Método de elementos Finitos

Como discutido anteriormente, tradicional FEM tecnologia tem demonstrado deficiências na modelagem de problemas relacionados à mecânica dos fluidos e da propagação de ondas. Recentemente, foram introduzidas várias melhorias para melhorar o processo de solução e alargar a aplicabilidade da análise de elementos finitos a uma vasta gama de problemas., Alguns dos mais importantes ainda em uso incluem:

Extended Finite Element Method (XFEM)

Bubnov-Galerkin method requires continuity of displacement across elements. Embora problemas como contato, fratura e danos envolvam descontinuidades e saltos que não podem ser diretamente manuseados pelo método do elemento finito. Para superar esta lacuna, XFEM nasceu na década de 1990. XFEM trabalha através da expansão das funções de forma com funções de passo pesado. Graus extras de liberdade são atribuídos aos nós em torno do ponto de descontinuidade para que os saltos possam ser considerados.,

método de Elementos Finitos generalizados (GFEM)

GFEM foi introduzido ao mesmo tempo que XFEM nos anos 90. combina as características dos métodos tradicionais FEM e meshless. As funções de forma são definidas principalmente pelas coordenadas globais e multiplicadas pela partição da unidade para criar funções de forma elementar locais. Uma das vantagens do GFEM é a prevenção da re-mistura em torno das singularidades.

método misto de Elementos Finitos

em vários problemas, como contato ou incompressibilidade, restrições são impostas usando multiplicadores de Lagrange., Estes graus adicionais de liberdade decorrentes de multiplicadores de Lagrange são resolvidos de forma independente. O sistema de equações é resolvido como um sistema acoplado de equações.

HP-método do elemento finito

hp-FEM é uma combinação de refinamento de malha automática (H-refinamento) e um aumento na ordem do polinômio (p-refinamento). Isto não é o mesmo que fazer h – E p – refinamentos separadamente. Quando o refinamento automático de hp é usado, e um elemento é dividido em elementos menores (h-refinement), cada elemento pode ter diferentes ordens polinomiais também.,

método descontínuo de Elementos Finitos de Galerkin (DG-FEM)

DG-FEM tem mostrado uma promessa significativa para a utilização da ideia de elementos finitos para resolver equações hiperbólicas, onde métodos tradicionais de elementos finitos têm sido fracos. Além disso, também tem mostrado melhorias na flexão e problemas incompressíveis que são tipicamente observados na maioria dos processos materiais. Aqui, restrições adicionais são adicionadas à forma fraca que inclui um parâmetro de penalidade (para evitar a interpenetração) e termos para outro equilíbrio de tensões entre os elementos.,

Fem Conclusion

esperamos que este artigo tenha coberto as respostas para suas perguntas mais importantes sobre o que é o método do elemento finito. Se você gostaria de vê-lo na prática, SimScale oferece a possibilidade de realizar análises de elementos finitos no navegador web. Para descobrir todos os recursos fornecidos pela plataforma simscale de simulação baseada em Nuvem, Baixe esta visão geral ou assista à gravação de um dos nossos webinars.materiais para começar com SimScale podem ser encontrados no artigo do blog “9 Learning Resources to Get You Started with Engineering Simulation”.,