Função implícita

em cálculo, um método chamado Diferenciação implícita faz uso da regra da cadeia para diferenciar funções implicitamente definidas.

para diferenciar uma função implícita y (x), definida por uma equação R(x, y) = 0, não é geralmente possível resolvê-la explicitamente para y e depois diferenciá-la. Em vez disso, pode-se diferenciar totalmente R(x, y) = 0 em relação a x e y e então resolver a equação linear resultante para dy/dx para obter explicitamente a derivada em termos de x e Y., Mesmo quando é possível resolver explicitamente a equação original, a fórmula resultante da diferenciação total é, em geral, muito mais simples e mais fácil de usar.ExamplesEdit

exemplo 1. Considerar

y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y+x + 5=0\,.}

Esta equação é fácil de resolver para y, dando

y = x − 5 , {\displaystyle y=-x-5\,,}

, onde o lado direito é a forma explícita da função y(x). A diferenciação então dá dy / dx = -1.

alternativamente, pode-se diferenciar totalmente a equação original:

d Y d x + d x + d d x ( 5 ) = 0 ; d y D x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{alinhado}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{alinhado}}}

a Solução para dy/dx dá

d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}

a mesma resposta obtida anteriormente.Exemplo 2. Um exemplo de uma função implícita para a qual a diferenciação implícita é mais fácil do que usar a diferenciação explícita é a função y(x) definida pela equação

x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2y^{2} = 8\,.,}

para diferenciar isto explicitamente em relação ao x, tem-se primeiro de obter

y (x ) = ± 8 − x 4 2, {\displaystyle y (x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}

e depois diferenciar esta função. Isto cria dois derivados: um para y ≥ 0 e outro para y < 0.

é substancialmente mais fácil de diferenciar implicitamente a equação original:

4 x 3 + 4 y d y d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

dar

d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,. exemplo 3., Muitas vezes, é difícil ou impossível resolver explicitamente para y, e Diferenciação implícita é o único método viável de diferenciação. Um exemplo é a equação

y 5-y = X. {\displaystyle y^{5} – y=x\,.}

é impossível expressar algebricamente y explicitamente como uma função de x, e portanto não se pode encontrar dy / dx por diferenciação explícita. Usando o método implícito, dy/dx pode ser obtida através da diferenciação da equação para obter

5 y 4 d y d x d y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}

onde dx/dx = 1., Factoring fora dy/dx mostra que

( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}

o que produz o resultado

d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}

o que está definido para

y ≠ ± 1 5 4 e y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{e}}\quad y\neq \pm {\frac {eu}{\sqrt{5}}}\,.}

fórmula geral para derivada da função implícita

Se R(x, y) = 0, a derivada da função implícita y(x) é dada por:§11.,5

d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x, R y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial T}{\partial x}}\,}{\frac {\partial T}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}

onde Rx e Ry indicar as derivadas parciais de R com respeito a x e y.,

A fórmula acima vem usando o tipo de regra da cadeia para obter o total de derivativos, com relação a x de ambos os lados do R(x, y) = 0:

∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial T}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

portanto

∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial T}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

que, quando resolvido para dy/dx, dá a expressão acima.