Analiza Fourier

(continuă) transformarea Fourieredit

cel mai adesea, termenul necalificat transformarea Fourier se referă la transformarea funcțiilor unui argument real continuu și produce o funcție continuă de frecvență, cunoscută sub numele de distribuție a frecvenței. O funcție este transformată în alta, iar operația este reversibilă., Când domeniul funcției de intrare (inițială) este timpul (t), iar domeniul funcției de ieșire (finală) este frecvența obișnuită, transformarea funcției s(t) la frecvența f este dată de numărul complex:

S ( f) = ∫ − ∞ ∞ S ( t) ⋅ e − i 2 π f t d t . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}

evaluarea acestei cantități pentru toate valorile lui f produce funcția de domeniu de frecvență., Atunci s(t) poate fi reprezentat ca o recombinare de complex funcția exponențială de toate frecvențele posibile:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f t d f , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}

care este inversul transforma formula. Numărul complex, S (f ), transmite atât amplitudinea, cât și faza frecvenței f.,

vezi transformata Fourier pentru mai multe informații, inclusiv:

• convenții pentru normalizarea amplitudinii și scalarea frecvenței/unități
• proprietăți de transformare
• transformări tabulare ale funcțiilor specifice
• o extensie / generalizare pentru funcții de dimensiuni multiple, cum ar fi imagini.,

Fourier seriesEdit

transformata Fourier de o funcție periodică, sP(t), cu perioada P, devine un Dirac pieptene funcție, modulat de o succesiune de complexe coeficienți:

S = 1 P ∫ P s P ( t ) ⋅ e − i 2 π k P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (unde ∫P este integrala pe orice interval de lungime P).,

transformata inversă, cunoscută sub numele de Seria Fourier, este o reprezentare a sP (t) în ceea ce privește o însumare a unui număr potențial infinit de sinusoide sau funcții exponențiale complexe, fiecare cu o amplitudine și fază specificate de unul dintre coeficienți:

s P ( t) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − K P)} = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e i 2 π k P t . {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\corect\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

Orice sP(t) poate fi exprimat ca un periodică însumare de o altă funcție, s(t):

s P ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m P ) , {\displaystyle s_{P}(t),\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

și coeficienții sunt proporționale cu probe de S( f ) la intervale mici de timp de 1/P:

S = 1 P ⋅ S ( k P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}

rețineți că orice s (t) a cărui transformare are aceleași valori discrete ale eșantionului poate fi utilizată în însumarea periodică. O condiție suficientă pentru recuperarea s (t) [și, prin urmare, S (f)] doar din aceste probe (adică., din seria Fourier) este că porțiunea non-zero a lui s (t) să fie limitată la un interval cunoscut de durată P, care este domeniul de frecvență dual al teoremei de eșantionare Nyquist–Shannon.a se vedea seria Fourier pentru mai multe informații, inclusiv dezvoltarea istorică.

transformata Fourier discretă în timp (DTFT)Edit

DTFT este dualul matematic al seriei Fourier în domeniul timpului.,e coeficienți sunt mostre de o legătură continuă funcție de timp:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ serii Fourier (DTFT) ⏟ Poisson însumare formula = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{seria Fourier (DTFT)}}} _{\text{Poisson însumare formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\corect\},\,}

care este cunoscut ca DTFT., Astfel, DTFT-ul secvenței s este, de asemenea, transformata Fourier a funcției pieptene Dirac modulate.

coeficienții Fourier (și invers transforma), sunt definite prin:

s ≜ T ∫ 1 T S 1 T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.,}

parametrul T corespunde intervalului de eșantionare, iar această serie Fourier poate fi acum recunoscută ca o formă a formulei de însumare Poisson. Astfel, avem rezultatul important că atunci când o secvență discretă de date, s, este proporțională cu eșantioanele unei funcții continue subiacente, s(t), se poate observa o însumare periodică a transformatei Fourier continue, S( f ). Rețineți că orice s (t ) cu aceleași valori discrete ale eșantionului produce același DTFT, dar în anumite condiții idealizate se poate recupera teoretic s( f) și s(t) exact., O condiție suficientă pentru recuperarea perfectă este ca porțiunea non-zero a lui s (f) să fie limitată la un interval de frecvență cunoscut de lățime 1/T. Când acest interval este , formula de reconstrucție aplicabilă este formula de interpolare Whittaker–Shannon. Aceasta este o piatră de temelie în fundamentul procesării semnalelor digitale.un alt motiv pentru a fi interesat de S1 / T( f ) este că oferă adesea o perspectivă asupra cantității de aliasing cauzată de procesul de eșantionare.aplicațiile DTFT nu se limitează la funcțiile eșantionate.,ing (finite-lungime secvențe)

proprietatile de transformare

intabulat transformă de funcții specifice

investigarea transformatei Fourier Discrete (DFT)Modificare

Similar cu un seriile Fourier, DTFT de o secvență periodică, sN, cu perioada N, devine un Dirac pieptene funcția, modulat de o succesiune de complexe coeficienții (a se vedea DTFT § Periodice de date):

S = ∑ n s N ⋅ e − i 2 π k N N , k ∈ Z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,} (în cazul în care ∑n este suma peste orice secvență de lungime N).,

secvența S este ceea ce este de obicei cunoscut ca DFT de un ciclu de sN. Este, de asemenea, n-periodic, deci nu este niciodată necesar să se calculeze mai mult de n coeficienți. Inversul transforma, de asemenea, cunoscut ca o serie Fourier discrete, este dat de:

s N = 1 N ∑ k S ⋅ e i 2 π n n k , {\displaystyle s_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{k}S\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},} unde ∑k este suma peste orice secvență de lungime N.,

Când sN este exprimat ca un periodică însumare de o altă funcție:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }e,} și s ≜ s ( n T ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nT),}

coeficienții sunt proporționale cu probe de S1/T( f ) la intervale mici de timp de 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S 1 T ( k P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).,}

în schimb, atunci când cineva dorește să calculeze un număr arbitrar (N) de eșantioane discrete dintr-un ciclu al unui DTFT continuu, S1/T( f), se poate face calculând DFT relativ simplu al sN, așa cum este definit mai sus. În cele mai multe cazuri, N este ales egal cu lungimea porțiunii non-zero a lui s. Creșterea N, cunoscută sub numele de umplutură zero sau interpolare, are ca rezultat eșantioane mai apropiate de un ciclu de S1/t( f ). Scăderea N, determină suprapunerea (adăugarea) în domeniul de timp (analog cu aliasing), care corespunde decimării în domeniul de frecvență., (vezi DTFT § Sampling the DTFT) în majoritatea cazurilor de interes practic, secvența s reprezintă o secvență mai lungă care a fost trunchiată prin aplicarea unei funcții de fereastră cu lungime finită sau a unei matrice de filtre FIR.DFT poate fi calculat folosind un algoritm rapid de transformare Fourier (FFT), ceea ce îl face o transformare practică și importantă pe computere.,

a se Vedea Discrete transformata Fourier pentru mult mai multe informații, inclusiv:

• proprietatile de transformare
• aplicații
• intabulat transformă de funcții specifice

SummaryEdit

Pentru funcții periodice, atât transformata Fourier și DTFT reprezintă doar un set discret de componente de frecvență (serie Fourier), și transformă se abată de la aceste frecvențe. O practică obișnuită (care nu a fost discutată mai sus) este de a gestiona această divergență prin funcțiile Dirac delta și Dirac comb., Dar aceleași informații spectrale pot fi discernute dintr-un singur ciclu al funcției periodice, deoarece toate celelalte cicluri sunt identice. În mod similar, funcțiile de durată finită pot fi reprezentate ca o serie Fourier, fără pierderi reale de informații, cu excepția faptului că periodicitatea transformării inverse este un simplu artefact.este obișnuit în practică ca durata s(•) să fie limitată la perioadă, P sau N. Dar aceste formule nu necesită această condiție.,când părțile reale și imaginare ale unei funcții complexe sunt descompuse în părțile lor par și impare, există patru componente, notate mai jos de indicatoarele RE, RO, IE și IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., În schimb, o transformare simetrică uniformă implică un domeniu de timp cu valoare reală.
• transformarea unei funcții imaginare evaluate (i sie+ i sIO) este funcția simetrică ciudată SRO+ i SIE, iar inversul este adevărat.
• transformarea unei funcții simetrice (SRE+ i sIO) este funcția reală evaluată SRE+ SRO, iar inversul este adevărat.
• transformarea unei funcții ciudat-simetrice (sro+ i sIE) este funcția imaginar-evaluate i sie+ i SIO, și converse este adevărat.,

Fourier transformă pe arbitrare abeliene local compacte topologice groupsEdit

Fourier variante pot fi, de asemenea, generalizate la Fourier transformă pe arbitrare Abeliene local compacte grupuri topologice, care sunt studiate în analiza armonica; acolo, transformata Fourier are funcții unui grup de funcții pe dual grup. Acest tratament permite, de asemenea, o formulare generală a teoremei convoluției, care se referă la transformările și convoluțiile Fourier. A se vedea, de asemenea, dualitatea Pontryagin pentru bazele generalizate ale transformatei Fourier.,mai specific, analiza Fourier se poate face pe coset-uri, chiar și pe coset-uri discrete.

Timp–frecvență transformsEdit

În procesare de semnal termeni, o funcție (de timp) este o reprezentare a unui semnal cu timp perfect rezolutia, dar nu informații de frecvență, în timp ce transformata Fourier a perfect rezoluția de frecvență, dar nu am timp informații.,ca alternative la transformata Fourier, în analiza frecvenței de timp, se utilizează transformări de frecvență de timp pentru a reprezenta semnale într–o formă care are informații despre timp și informații despre frecvență – prin principiul incertitudinii, există un compromis între acestea., Acestea pot fi generalizări de transformata Fourier, cum ar fi short-time Fourier transform, de Gabor transforma sau fracționată transformata Fourier (FRFT), sau puteți utiliza diferite funcții pentru a reprezenta semnale, la fel ca în wavelet transformă și chirplet transformă, cu wavelet analog a (continuu) transformata Fourier continuă wavelet transform.