Curba

Aproximativ vorbind o derivabila curbă este o curbă care este definit ca fiind la nivel local imaginea unui injectiv derivabila funcția γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} la un interval de numere reale într-un derivabila galeriei de X, de multe ori R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}

Mai exact, o derivabila curba este un subset C al X în fiecare punct al C are o vecinătate U astfel încât C ∩ U {\displaystyle C\pac U} este morfologică deformată la un interval de numere reale., Cu alte cuvinte, o curbă diferențiabilă este o varietate diferențiabilă a dimensiunii unu.

Lungimea unui curveEdit

Lungime ⁡ ( γ ) = def ∫ a b | γ ‘ ( t ) | d t . {\displaystyle \operatorname {Lungime} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{o}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}

lungimea unei curbe este independentă de parametrizarea γ {\displaystyle \ gamma } .

s = ∫ A b 1 + 2 d x . {\displaystyle s=\int _{o}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Lungime ⁡ ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) | n ∈ N și a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Lungime} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{și}}~o=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\corect\}\right),} Lungime ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \ operatorname {Length}\!,\left (\gamma / _ {} \right) = t_{2}-t_{1}.} Viteza γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Viteză} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\ – t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|e-t|}}}

și apoi arată că

Lungime ⁡ ( γ ) = ∫ a b Viteza γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Lungime} (\gamma )=\int _{o}^{b}{\operatorname {Viteză} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.,}

Diferențial geometryEdit

în Timp ce primele exemple de curbe care sunt îndeplinite cea mai mare parte sunt curbe plane (care este, de zi cu zi, cuvinte, linii curbe în spațiu bidimensional), există exemple evidente, cum ar fi helix care există în mod natural în trei dimensiuni. Nevoile geometriei și, de exemplu, mecanica clasică trebuie să aibă o noțiune de curbă în spațiu de orice număr de dimensiuni. În relativitatea generală, o linie mondială este o curbă în spațiu-timp.,

Dacă X {\displaystyle X} este un derivabila galeriei, atunci putem defini noțiunea de derivabila curba în X {\displaystyle X} . Această idee generală este suficientă pentru a acoperi multe dintre aplicațiile curbelor în matematică. Din punct de vedere local, se poate lua X {\displaystyle X} pentru a fi Spațiu euclidian. Pe de altă parte, este util să fie mai general, prin faptul că (de exemplu) este posibil să se definească vectorii tangenți la X {\displaystyle X} prin intermediul acestei noțiuni de curbă.,

Dacă X {\displaystyle X} este o buna galeriei, o curbă în X {\displaystyle X} este o buna hartă

γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} .

se spune că o curbă diferențiabilă este regulată dacă derivata sa nu dispare niciodată. (În cuvinte, o curbă regulată nu încetinește niciodată la o oprire sau backtracks pe sine.,) Două C k {\displaystyle C^{k}} derivabila curbe

γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X} și γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}

se spune că sunt echivalente dacă există o bijective C k {\displaystyle C^{k}} hartă

p : J → I {\displaystyle p\colon J\rightarrow I}

astfel că inversul hartă

p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}

este, de asemenea, C k {\displaystyle C^{k}} , și

γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}