Funcția Gamma

GeneralEdit

Alte ecuații funcționale pentru gamma funcția lui Euler de reflecție formula

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \terminat \sin(\pi z)},\qquad z\nu \in \mathbb {Z} }

care implică

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}

și Legendre dublarea formula

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − z 2 π Γ ( z 2 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}

formula de duplicare este un caz special al teoremei de multiplicare (vezi, Eq. 5.5.6)

∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k, m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}

o proprietate simplă, dar utilă, care poate fi văzută din definiția limită, este:

Γ (z) = Γ ( z) ⇒ Γ ( z) Γ ( z) ∈ R ., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \stânga(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{aliniat}}}

Poate cel mai cunoscut valoarea gamma funcția de la un non-întreg argument este

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = (2 n − 1 ) ! ! 2 n π = (n − 1 2 n ) n ! π Γ (1 2 − n) = (−4 ) n n ! (2 n ) ! π = (- 2) n ( 2 n − 1)! ! π = π (- 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{aliniat}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \peste 4^{n}n!} {\sqrt {\pi }} = {\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \peste (2n)!{\sqrt {\pi }} = {\frac {(-2)^{n}} {(2n-1)!!}} {\sqrt {\pi }} = {\frac {\sqrt {\pi }} {{\binom {-1 / 2}{n}}n!,}} \ end{aliniat}}}

derivatele funcției gamma sunt descrise în termenii funcției poligamma. De exemplu:

Γ ‘ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) . {\displaystyle \ Gamma ‘ (z)=\Gamma(z)\psi _{0} (z).}

pentru un număr întreg pozitiv, derivatul funcției gamma poate fi calculat după cum urmează (aici γ {\displaystyle \ gamma } este constanta Euler-Mascheroni):

Γ ‘ ( m + 1) = m ! (- γ + ∑ k = 1 m 1 k). [\displaystyle \ Gamma ‘ (m+1)=m!\left (- \gamma + \ sum _ {k = 1}^{m} {\frac {1}{k}}\right)\,.,}

Pentru ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} th derivat de funcția gamma este:

d n d x n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ( ln ⁡ t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(aceasta poate fi derivată prin diferențierea formei integrale a funcției gamma în raport cu x {\displaystyle X} și folosind tehnica diferențierii sub semnul integral.)

folosind identitatea

Γ ( n) (1) = (−1) n n ! ∑ π ⊢ n ∏ i = 1 R ζ ∗ ( a i ) k i ! ⋅ a i ζ ∗ ( x): = { ζ ( x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \ Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \ limits _ {\pi\, \vdash \, n}\, \ prod _ {i = 1}^{r} {\frac {\zeta ^{ * } (a_{i})}{k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cazuri}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cazuri}}} π = o 1 + ⋯ + 1 ⏟ k-1 termeni + ⋯ + un r + ⋯ + un r ⏟ k r termeni , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ termeni}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ termeni}}},}

trebuie, în special,

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\dreapta)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\dreapta)z^{2}+O(z^{3}).}

Inegalitățiedit

când este limitată la numerele reale pozitive, funcția gamma este o funcție strict convexă logaritmică., Această proprietate poate fi declarat în oricare din următoarele trei moduri echivalente:

• Pentru orice două numere reale pozitive x 1 {\displaystyle x_{1}} și x 2 {\displaystyle x_{2}} , pentru orice t ∈ {\displaystyle t\în } ,

Γ ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \ Gamma (TX_{1}+(1-t) x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• Pentru orice două numere reale pozitive x și y cu y > x

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ⁡ ( Γ ‘ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ‘(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• Pentru orice număr real pozitiv x {\displaystyle x} ,

Γ ” ( x ) Γ ( x ) > Γ ‘ ( x ) 2 . {\displaystyle \Gamma „(x)\Gamma (x)>\Gamma ‘(x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + A n X N A 1 + ⋯ + a n ) ≤ ( Γ ( x 1 ) a 1 Γ Γ ( x N ) A n ) 1 a 1 + ⋯ + a N ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

există, de asemenea, limite privind raporturile funcțiilor gamma. Cel mai cunoscut este Gautschi inegalitatea lui, care spune că pentru orice număr real pozitiv x și orice s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-e}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-e}.}

Stirling este formulaEdit

comportamentul Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} pentru o creștere pozitivă variabila este simplu. Crește rapid, mai repede decât o funcție exponențială de fapt., Asimptotic ca z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} magnitudinea de funcția gamma este dat de formula lui Stirling

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

un Alt util limită pentru aproximații asimptotice este:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

Reziduuridit

comportamentul pentru non-pozitiv z {\displaystyle Z} este mai complicat., Integrala lui Euler nu converge pentru z ≤ 0 {\displaystyle z \ leq 0}, dar funcția pe care o definește în semiplanul complex pozitiv are o continuare analitică unică la jumătatea planului negativ. O modalitate de a găsi că analitice continuare este de a utiliza lui Euler integral pentru argumente pozitive și extinde domeniul la numere negative prin aplicarea repetată de repetarea formulei,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\c}(z-c)f(z).}

pentru polul simplu z = − n , {\displaystyle z=-n,} rescriem formula de recurență ca:

( z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + N + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + N − 1 ) . {\displaystyle (z+n) \ Gamma (z)={\frac {\Gamma(z+N+1)}{z (z+1)\cdots (z+N-1)}}.}

numărătorul la z = − n , {\displaystyle z=-n,} este

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

și numitorul

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

deci reziduurile funcției gamma în acele puncte sunt:

Res ⁡ (Γ , − n) = (−1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

gamma funcția are un minim local la zmin ≈ +1.46163214496836234126 (trunchiat) în cazul în care acesta atinge valoarea Γ(zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (trunchiat)., Gamma funcția trebuie să alterneze semn între polii deoarece produsul înainte de recurență conține un număr impar de factori negativi în cazul în care numărul de poli între z {\displaystyle z} și z + n {\displaystyle z+n} este ciudat, și un număr chiar dacă numărul de poli este chiar.

reprezentări Integraleedit

există multe formule, pe lângă integrala Euler a celui de-al doilea tip, care exprimă funcția gamma ca integrală. De exemplu, când partea reală a lui z este pozitivă,

Γ (z) = ∫ 0 1 ( log ⁡ 1 t) z − 1 d t ., {\displaystyle \ Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left (\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}

Binet prima parte integrantă formula pentru funcția gamma prevede că, atunci când partea reală a lui z este pozitiv, atunci:

jurnal ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 t − 1 ) e − t z t d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}

integrala din partea dreaptă poate fi interpretată ca o transformare Laplace., Adică

log ⁡ ( Γ (Z) (E z) z 2 π z) = L ( 1 2 t − 1 t 2 + 1 t ( E t − 1)) (z). {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

lui Binet a doua integral formula afirmă că, din nou, atunci când partea reală a lui z este pozitiv, atunci:

jurnal ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

Să C fi un Hankel contur, ceea ce înseamnă o cale care începe și se termină la punctul ∞ pe Riemann sferă, a cărei unitate de tangenta vector converge la -1 la început de cale și de la 1 la sfârșitul anului, care are înfășurarea numărul 1 în jurul valorii de 0, și care nu traversează

Γ ( z ) = − 1 2 i sin ⁡ π z ∫ C (t ) z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C ( − t ) − z-e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{z}e^{-t}\,dt,}

din nou valabil ori de câte ori z nu este un număr întreg.,maslu are următoarele serii Fourier de expansiune pentru 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) în ⁡ π − 1 2 ln ⁡ sin ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n sin ⁡ ( 2 π n z ) , {\displaystyle \in \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\dreapta)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\in \pi{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

care a fost pentru o lungă perioadă de timp atribuită Ernst Kummer, care au obținut-o în 1847., Cu toate acestea, Iaroslav Blagouchine a descoperit că Carl Johan Malmsten a derivat pentru prima dată această serie în 1842.

Raabe e formulaEdit

În anul 1840 Joseph Ludwig Raabe-a dovedit că

∫ o o + 1 în ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π + o în ⁡ o − o , o > 0. {\displaystyle \int _{o}^{a+1}\in \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +o\in o-o,\quad-o>0.}

În particular, dacă a = 0 {\displaystyle o=0} atunci

∫ 0 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{1}\in \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

acesta din urmă poate fi derivat luând logaritmul în formula de înmulțire de mai sus, care dă o expresie pentru suma Riemann a integrandului. Luând limita pentru a → ∞ {\displaystyle a\rightarrow \ infty } dă formula.,

Pi functionEdit

O alternativă notație care a fost introdus inițial de către Gauss și care a fost folosit uneori este Π {\displaystyle \Pi } -funcție, care, în ceea ce privește funcția gamma este

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}

astfel încât Π ( n ) = n ! afișează stilul Pi(n) = n!} pentru fiecare număr întreg non-negativ n {\displaystyle n} .,

Utilizarea pi funcția de reflectare formula are forma

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {v} (z)}}}

în cazul în care traducerea este normalizat funcția sinc, în timp ce multiplicarea teorema ia forma

Π ( z m ) Π ( z − 1 m), ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

uneori găsim

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\,}

volumul unui n-elipsoid cu raze r1, …, rn poate fi exprimat ca

V n (r 1,…, r n) = π n 2 Π ( n 2) ∏ k = 1 n r k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

relația cu alte funcțiiedit

• În prima integrală de mai sus, care definește funcția gamma, limitele integrării sunt fixe., Funcțiile gamma incomplete superioare și inferioare sunt funcțiile obținute permițând variația limitei inferioare sau superioare (respectiv) de integrare.
• funcția gamma este legată de funcția beta prin formula

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{n-1}\,dt={\frac {\Gamma (x),\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• derivatul logaritmic al funcției gamma se numește funcția digamma; derivații mai mari sunt funcțiile poligamma.,
• analogul funcției gamma pe un câmp finit sau un inel finit este sumele gaussiene, un tip de sumă exponențială.
• funcția Gamma reciprocă este o funcție întreagă și a fost studiată ca un subiect specific.
• funcția gamma apare, de asemenea, într-o relație importantă cu funcția Riemann zeta, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} .

π – z 2 Γ (z 2 ) ζ (z) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) ., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} Este, de asemenea, apare în următoarea formulă: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u − 1 u d u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},} care este valabil numai pentru ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., Logaritmul gamma funcția satisface următoarea formulă datorită Lerch: log ⁡ Γ ( x ) = ζ H ‘( 0 , x ) − ζ ‘ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‘(0),} unde ζ H {\displaystyle \zeta _{H}} este Hurwitz funcției zeta, ζ {\displaystyle \zeta } este funcției zeta Riemann și prim (‘) denotă o diferențiere în prima variabilă.

• funcția gamma este legată de funcția exponențială întinsă. De exemplu, momentele acestei funcții sunt

τ τ n ⟩ ≡ ∫ 0 ∞ d t t n-1 e – (t τ ) β = τ n β γ ( n β ) ., {\displaystyle \langle \uta ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\uta }}\right)^{\beta }}={\frac {\uta ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \terminat \beta }\right).}

mod Special valuesEdit

Inclusiv până la primele 20 de cifre după punctul zecimal, anumite valori din funcția gamma sunt:

Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

complexul-evaluate funcția gamma este de nedefinit pentru non-numere întregi pozitive, dar, în aceste cazuri, valoarea poate fi definită în sfera Riemann ca ∞. Funcția Gamma reciprocă este bine definită și analitică la aceste valori (și în întregul plan complex):

1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}