în calcul, o metodă numită diferențiere implicită face uz de regula lanțului pentru a diferenția funcțiile definite implicit.
pentru a diferenția o funcție implicită y (x), definită de o ecuație R(x, y) = 0, nu este în general posibil să o rezolvăm Explicit pentru y și apoi să diferențiem. În schimb, se poate diferenția Total R(x, y) = 0 în raport cu x și y și apoi se rezolvă ecuația liniară rezultată pentru dy/dx pentru a obține în mod explicit derivata în termeni de x și y., Chiar și atunci când este posibilă rezolvarea explicită a ecuației originale, formula rezultată din diferențierea totală este, în general, mult mai simplă și mai ușor de utilizat.
Exempleedit
Exemplul 1. Luați în considerare
y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y + x + 5=0\,.}
această ecuație este ușor de rezolvat pentru y, dând
y = − x-5 , {\displaystyle y=-x-5\,,}
unde partea dreaptă este forma explicită a funcției y(x). Diferențierea dă apoi dy / dx = -1.
alternativ, se poate diferenția total ecuația originală:
d y d x + d x d x + d D x (5) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{aliniat}{\frac {u}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {u}{dx}}+1+0&=0\,.\ end{aliniat}}}
rezolvarea pentru dy / dx dă
d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}
același răspuns ca și obținut anterior.
Exemplul 2. Un exemplu de funcție implicită pentru care diferențierea implicită este mai ușoară decât utilizarea diferențierii explicite este funcția y(x) definită de ecuația
x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2Y^{2} = 8\,.,}
Pentru a diferenția acest lucru în mod explicit în raport cu x, trebuie mai întâi pentru a obține
y ( x ) = ± 8 − x 4 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}
și apoi diferenția această funcție. Aceasta creează două derivate: unul pentru y ≥ 0 și altul pentru y < 0.
este mult mai ușor să-și implicit diferenția ecuația originală:
4 x 3 + 4 y d y d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {u}{dx}}=0\,,}
da
d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {u}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y=}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}
exemplu 3., Adesea, este dificil sau imposibil de rezolvat în mod explicit pentru y, iar diferențierea implicită este singura metodă fezabilă de diferențiere. Un exemplu este ecuația
y 5 – y = x . {\displaystyle y^{5} – y=x\,.}
este imposibil să exprimi algebric y Explicit ca o funcție a lui x și, prin urmare, nu se poate găsi dy/dx prin diferențiere explicită. Folosind metoda implicită, dy/dx pot fi obținute prin diferențierea ecuației de a obține
5 y 4 d y d x d y d x = d x d x , {\displaystyle 5a^{4}{\frac {u}{dx}}-{\frac {u}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}
în cazul în care dx/dx = 1., Factoring dy/dx arată că
( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5a^{4}-1\dreapta){\frac {u}{dx}}=1\,,}
care dă rezultatul
d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {u}{dx}}={\frac {1}{5a^{4}-1}}\,,}
care este definit pentru
y ≠ ± 1 5 4 și y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{și}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt{5}}}\,.}
formula generală pentru derivata funcției implicitedit
Dacă R (x, y) = 0, derivata funcției implicite y(x) este dată de:§11.,5
d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x, R y , {\displaystyle {\frac {u}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\parțială x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}
în cazul în care Rx și Ry indica derivate parțiale de R în raport cu x și y.,
formula De mai sus provine din utilizarea generalizată regula lanț pentru a obține totalul derivate — cu privire la x — de ambele părți ale R(x, y) = 0:
∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\parțială x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {u}{dx}}=0\,,}
prin urmare,
∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\parțială x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {u}{dx}}=0\,,}
care, atunci când rezolvate pentru dy/dx, dă expresia de mai sus.
Lasă un răspuns