metoda elementelor Finite – ce este? FEM și FEA a explicat

metoda elementului finit (fem) este o tehnică numerică utilizată pentru a efectua analiza elementului finit (FEA) a oricărui fenomen fizic dat.este necesar să se utilizeze matematica pentru a înțelege și cuantifica în mod cuprinzător orice fenomen fizic, cum ar fi comportamentul structural sau fluid, transportul termic, propagarea undelor și creșterea celulelor biologice. Majoritatea acestor procese sunt descrise folosind ecuații diferențiale parțiale (PDEs)., Cu toate acestea, pentru ca un computer să rezolve aceste PDEs, tehnicile numerice au fost dezvoltate în ultimele decenii și una dintre cele mai proeminente astăzi este metoda elementului finit.,

Metoda Elementului Finit Aplicații ale Metodei Elementului Finit

Metoda elementului finit a început cu semnificative promit în modelarea mai multe aplicații mecanice legate de industria aerospațială și de inginerie civilă. Aplicațiile metodei elementelor finite abia acum încep să-și atingă potențialul., Una dintre cele mai interesante perspective este aplicarea sa în probleme cuplate, cum ar fi interacțiunea fluid-structură, probleme termomecanice, termochimice, termo-chimio-mecanice, biomecanică, inginerie biomedicală, piezoelectrică, feroelectrică și electromagnetică.au fost propuse multe metode alternative în ultimele decenii, dar aplicabilitatea lor comercială nu a fost încă dovedită. Pe scurt, FEM tocmai a făcut un blip pe radar!înainte de a începe cu ecuațiile diferențiale, este esențial să citiți articolul despre software-ul FEA din SimWiki., Începe cu elementele de bază și progresează treptat la ecuațiile diferențiale.

ecuații fem ecuații diferențiale parțiale

În primul rând, este important să înțelegem genul diferit de PDEs și adecvarea lor pentru utilizare cu FEM. Înțelegerea acestui lucru este deosebit de importantă pentru toată lumea, indiferent de motivația utilizării analizei cu element finit. Este esențial să ne amintim că FEM este un instrument și orice instrument este la fel de bun ca și utilizatorul său.PD-urile pot fi clasificate ca eliptice, hiperbolice și parabolice., La rezolvarea acestor ecuații diferențiale, trebuie furnizate condiții limită și/sau inițiale. Pe baza tipului de PDE, pot fi evaluate intrările necesare. Exemple pentru PDEs din fiecare categorie includ ecuația Poisson (eliptică), ecuația undelor (hiperbolică) și Legea Fourier (parabolică).există două abordări principale pentru rezolvarea PDEs eliptice, și anume metodele diferenței finite (FDM) și metodele variaționale (sau energetice). FEM se încadrează în a doua categorie. Abordările variaționale se bazează în primul rând pe filosofia minimizării energiei.,PDE hiperbolice sunt frecvent asociate cu salturi în soluții. De exemplu, ecuația undelor este un PDE hiperbolic. Datorită existenței discontinuităților (sau salturilor) în soluții, tehnologia originală fem (sau metoda Bubnov-Galerkin) a fost considerată nepotrivită pentru rezolvarea PDE hiperbolice. Cu toate acestea, de-a lungul anilor, au fost dezvoltate modificări pentru a extinde aplicabilitatea tehnologiei FEM.înainte de a încheia această discuție, este necesar să se ia în considerare consecința utilizării unui cadru numeric care nu este potrivit pentru tipul de PDE., O astfel de utilizare duce la soluții cunoscute sub numele de „pozate necorespunzător.”Acest lucru ar putea însemna că mici modificări ale parametrilor domeniului duc la oscilații mari în soluții sau că soluțiile există doar într-o anumită parte a domeniului sau a timpului, care nu sunt fiabile. Explicațiile bine reprezentate sunt definite ca fiind cele în care există o soluție unică în mod continuu pentru datele definite. Prin urmare, având în vedere fiabilitatea, este extrem de important să se obțină soluții bine reprezentate.,

Descărcați cartea albă”Sfaturi pentru arhitectură, inginerie & construcții (AEC) pentru a afla cum să vă optimizați desenele!

principiul fem de minimizare a energiei

cum funcționează fem? Care este forța motrice primară? Principiul minimizării energiei formează coloana vertebrală primară a metodei elementului finit. Cu alte cuvinte, atunci când o anumită condiție limită este aplicată unui corp, acest lucru poate duce la mai multe configurații, dar totuși o singură configurație particulară este realist posibilă sau realizată., Chiar și atunci când simularea este efectuată de mai multe ori, prevalează aceleași rezultate. De ce este așa?

Acest lucru este guvernat de principiul minimizării energiei. Acesta afirmă că atunci când se aplică o condiție limită (cum ar fi deplasarea sau forța), din numeroasele configurații posibile pe care corpul le poate lua, numai acea configurație în care energia totală este minimă este cea aleasă.,

metoda elementului finit istoria metodei elementului finit

tehnic, în funcție de perspectiva cuiva, se poate spune că FEM și-a avut originile în opera lui Euler, încă din secolul al XVI-lea. Cu toate acestea, cele mai vechi lucrări matematice despre FEM pot fi găsite în lucrările lui Schellback și Courant .FEM a fost dezvoltat independent de ingineri pentru a aborda problemele de mecanică structurală legate de industria aerospațială și de inginerie civilă. Dezvoltarea a început la mijlocul anilor 1950 cu documentele Turner, Clough, Martin , și Topp , Argyris, și Babuska și Aziz ., Cărțile lui Zienkiewicz și Strang, și Fix au pus, de asemenea, bazele dezvoltării viitoare în FEM.o revizuire interesantă a acestor evoluții istorice poate fi găsită în Oden . O trecere în revistă a dezvoltării FEM în ultimii 75 de ani pot fi găsite în acest articol blog: 75 de ani de metoda elementului finit.

prezentare tehnică fem tehnică a metodei elementului finit

metoda elementului finit este în sine un curs semestru. În acest articol este descrisă o descriere concisă a mecanismului FEM. Luați în considerare o problemă simplă 1-D pentru a descrie diferitele etape implicate în FEA.,

forma slabă

unul dintre primii pași în FEM este identificarea PDE asociată fenomenului fizic. PDE (sau forma diferențială) este cunoscută sub numele de forma puternică, iar forma integrală este cunoscută sub numele de forma slabă. Luați în considerare PDE simplu așa cum se arată mai jos. Ecuația este înmulțită cu o funcție de încercare v (x) pe ambele părți și integrată cu domeniul .,

Acum, folosind integrarea de piese de schimb, la LHS din ecuația de mai sus poate fi redusă la

după Cum se poate observa, ordinea de continuitate necesară pentru funcția necunoscută u(x) se reduce cu unul. Ecuația diferențială anterioară a necesitat ca u(x) să fie diferențiabilă cel puțin de două ori, în timp ce ecuația integrală cere ca aceasta să fie diferențiabilă o singură dată., Același lucru este valabil și pentru funcțiile multidimensionale, dar derivatele sunt înlocuite cu gradienți și divergențe.fără a intra în matematică, teorema reprezentării Riesz poate dovedi că există o soluție unică pentru u (x) pentru forma integrală și, prin urmare, pentru forma diferențială. În plus, dacă f(x) este netedă, se asigură, de asemenea, că u(x) este netedă.odată ce forma integrală sau slabă a fost configurată, următorul pas este discretizarea formei slabe., Forma integrală trebuie rezolvată numeric și, prin urmare, integrarea este transformată într-o însumare care poate fi calculată numeric. În plus, unul dintre obiectivele principale ale discretizării este, de asemenea, transformarea formei integrale într-un set de ecuații matriciale care pot fi rezolvate folosind teorii bine cunoscute ale algebrei matriciale.

după Cum se arată în Fig., 03, domeniul este împărțit în bucăți mici cunoscute sub numele de” elemente”, iar punctul de colț al fiecărui element este cunoscut sub numele de”nod”. U(x) funcțional necunoscut sunt calculate la punctele nodale. Funcțiile de interpolare sunt definite pentru fiecare element de interpolat, pentru valorile din interiorul elementului, folosind valori nodale. Aceste funcții de interpolare sunt adesea denumite funcții shape sau ansatz., Astfel, necunoscut funcționale u(x) poate fi redusă la

în cazul în care nen este numărul de noduri din element, Ni și ui sunt funcția de interpolare și necunoscutele asociate cu nod, respectiv., formularul poate fi rescrisă ca

însumarea scheme pot fi transformate în matricea de produse și poate fi rescrisă ca

forma slabă poate fi acum redus la o matrice de forma {u} = {f}

Nota de mai sus că procesul anterior funcția v(x) care au fost multiplicate nu mai există în matricea rezultată ecuație., De asemenea, aici este cunoscută sub numele de matrice de rigiditate, {u} este Vectorul necunoscutelor nodale și {R} este Vectorul rezidual. Mai departe, folosind scheme de integrare numerică, cum ar fi Gauss sau Cuadratura Newton-Cotes, integrările în forma slabă care formează rigiditatea tangentă și vectorul rezidual sunt, de asemenea, tratate cu ușurință.o mulțime de matematică este implicată în decizia de alegere a funcțiilor de interpolare, care necesită cunoașterea spațiilor funcționale (cum ar fi Hilbert și Sobolev). Pentru mai multe detalii în acest sens, referințele enumerate în articolul „Cum pot învăța analiza cu element finit?,”sunt recomandate.odată ce ecuațiile matricei au fost stabilite, ecuațiile sunt transmise unui solver pentru a rezolva sistemul de ecuații. În funcție de tipul de problemă, sunt utilizate în general soluții directe sau iterative. O prezentare mai detaliată a rezolvitorilor și a modului în care funcționează, precum și sfaturi despre cum să alegi între ei, sunt disponibile în articolul din blog „Cum să alegi rezolvatorii: Direct sau iterativ?,”

Tipuri de FEM Diferite Tipuri de elemente Finite Metoda

Cum sa discutat mai devreme, tradițional FEM tehnologie a demonstrat deficiențe în modelarea probleme legate de mecanica fluidelor și de propagare a undei. Mai multe îmbunătățiri au fost făcute recent pentru a îmbunătăți procesul de soluționare și pentru a extinde aplicabilitatea analizei cu elemente finite la o gamă largă de probleme., Unele dintre cele importante încă utilizate includ:

Extended Finite Element Method (Xfem)

metoda Bubnov-Galerkin necesită continuitatea deplasării între elemente. Deși probleme precum contactul, fractura și deteriorarea implică discontinuități și salturi care nu pot fi tratate direct prin metoda elementului finit. Pentru a depăși acest neajuns, XFEM s-a născut în 1990. XFEM funcționează prin extinderea formei funcții cu Heaviside pas funcții. Grade suplimentare de libertate sunt atribuite nodurilor din jurul punctului de discontinuitate, astfel încât salturile să poată fi luate în considerare.,

Generalizat Metoda Elementului Finit (GFEM)

GFEM a fost introdus în jurul același timp, ca XFEM în anii ‘ 90. Acesta combină caracteristicile tradiționale FEM și meshless metode. Funcțiile de formă sunt definite în primul rând de coordonatele globale și înmulțite în continuare prin partiție-de-unitate pentru a crea funcții locale de formă elementară. Unul dintre avantajele GFEM este prevenirea re-discretizării în jurul singularităților.

metoda elementelor finite mixte

în mai multe probleme, cum ar fi contactul sau incompresibilitatea, constrângerile sunt impuse folosind multiplicatori Lagrange., Aceste grade suplimentare de libertate care decurg din multiplicatorii Lagrange sunt rezolvate independent. Sistemul de ecuații este rezolvat ca un sistem cuplat de ecuații.hp-FEM este o combinație de rafinare automată a ochiurilor de plasă (rafinare h) și o creștere a ordinii polinomului (rafinare p). Acest lucru nu este același lucru cu a face h – și p – rafinamente separat. Atunci când se utilizează automat hp-rafinament, și un element este împărțit în elemente mai mici (h-rafinament), fiecare element poate avea diferite ordine polinomiale, de asemenea.,

metoda elementului finit Galerkin discontinuă (DG-FEM)

DG-FEM a arătat o promisiune semnificativă pentru utilizarea ideii elementelor finite pentru a rezolva ecuațiile hiperbolice, unde metodele tradiționale de elemente finite au fost slabe. În plus, a arătat, de asemenea, îmbunătățiri în problemele de îndoire și incompresibile, care sunt de obicei observate în majoritatea proceselor materiale. Aici se adaugă constrângeri suplimentare la forma slabă care include un parametru de penalizare (pentru a preveni întrepătrunderea) și termeni pentru alte echilibre ale tensiunilor dintre elemente.,sperăm că acest articol a acoperit răspunsurile la cele mai importante întrebări cu privire la ceea ce este metoda elementului finit. Dacă doriți să o vedeți în practică, SimScale oferă posibilitatea de a efectua analize cu elemente finite în browserul web. Pentru a descoperi toate caracteristicile oferite de platforma de simulare bazată pe cloud SimScale, descărcați această imagine de ansamblu sau urmăriți înregistrarea unuia dintre webinariile noastre.materiale pentru a începe cu SimScale pot fi găsite în articolul blog „9 resurse de învățare pentru a începe cu simulare de inginerie”.,Descoperiți beneficiile simulării bazate pe cloud prin crearea unui cont gratuit pe platforma SimScale. Nu este necesară instalarea, hardware-ul special sau cardul de credit.