Antag att en ljusstråle kommer in i ett materialprov. Definiera z som en axel parallellt med strålens riktning. Dela upp materialprovet i tunna skivor, vinkelrätt mot ljusstrålen, med tjocklek DZ tillräckligt liten att en partikel i en skiva inte kan skymma en annan partikel i samma skiva när den ses längs z-riktningen., Ljusets strålningsflöde som kommer ut från en skiva reduceras, jämfört med det ljus som kommer in, med dΦe(z) = −μ(z)Φe(z) DZ, där μ är dämpningskoefficienten (Napierian), som ger följande första ordningens linjära ODE:
d Φ E ( z ) d z = -μ ( z ) Φ E ( z ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ Phi _{\mathrm {e} } (z)} {\mathrm {d} z}}=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z).}
dämpningen orsakas av fotonerna som inte gjorde det till den andra sidan av skivan på grund av spridning eller absorption.,lution till denna differentialekvation erhålls genom att multiplicera den integrerande faktorn
e 0 z μ ( z ’) d z ’{\displaystyle E^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}}
hela för att få
d Φ E ( z ) d z e 0 z μ ( z ’) d z ’+ μ ( z ) Φ E ( z ) E 0 z μ ( z ’) d z ’= 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}+\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}=0,}
vilket förenklar på grund av produktregeln (tillämpad baklänges) till
d d z ( φ e ( z ) e 0 μ ( z ’) d z ’ ) = 0., {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\bigl (}\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}{\bigr )}=0.}
att Integrera båda sidor och lösa för Φe för ett material av verklig tjocklek ℓ, med händelsen strålningsflödet på skiva Φei = Φe(0) och överförs strålningsflödet Φet = Φe(ℓ ) ger
Φ e t = Φ e jag e − ∫ 0 ℓ μ ( z ) d z , {\displaystyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }=\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {jag} }\,e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z},}
och till sist
T = Φ e t Φ e i = e − ∫ 0 ℓ μ ( z ) d z ., {\displaystyle t={\frac {\Phi _{\mathrm {e}} ^{\mathrm {t} }} {\Phi _ {\mathrm {e}} ^{\mathrm {i}}}}} = e^{- \int _ {0}^{\ell} \ mu (z) \ mathrm {d} z}.}
Eftersom decadic dämpning koefficient μ10 är relaterade till (Napierian) dämpning koefficient av μ10 = μ/ln 10, en har även
T = e − ∫ 0 ă ln 10 μm 10 ( z ) d z = ( e − ∫ 0 ℓ m 10 ( z ) d z ) ln 10 = 10 − ∫ 0 ℓ m 10 ( z ) d z . {\displaystyle t=e^{- \int _{0}^{\ell } \ ln {10}\, \ mu _ {10} (z) \ mathrm {d} z}={\bigl (} e^{-\int _{0}^{\ell }\mu _{10} (z)\mathrm {d} z}{\bigr)} ^{\ln {10}}=10^{-\int _ {0}^{\ell } \ mu _ {10} (z)\mathrm {d} z}.,}
för att beskriva dämpningskoefficienten på ett sätt som är oberoende av antalet densiteter ni av n dämpande arter av materialprovet, introducerar man dämpning tvärsnitt σi = µi (z) / ni(z). σi har dimensionen av ett område; det uttrycker sannolikheten för interaktion mellan strålens partiklar och partiklarna av specie i i materialprovet:
t = e − σ i = 1 n i, I, i ( z ) d z . {\displaystyle t=e^{- \sum _{i = 1}^{n} \ sigma _{i} \ int _ {0}^{\ell }n_{i}(z) \ mathrm {d} z}.,}
Man kan också använda molar dämpning koefficienter ei = (NA/ln 10)σi, där NA är Avogadros konstant, för att beskriva dämpning koefficient på ett sätt som är oberoende av mängden koncentrationer ci(z) = ni(z)/NA av förmildrande arter av materialet exempel:
T = e − ∑ i = 1 N ln 10 N A ε jag ∫ 0 ă n jag ( z ) d z = ( e − ∑ i = 1 N ε jag ∫ 0 ă n ( z ) N A d z ) ln 10 = 10 − ∑ i = 1 N ε jag ∫ 0 ℓ c i ( z ) d z ., {\displaystyle {\begin{aligned}t=e^{-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln {10}}{\mathrm {n_{a}} }}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z}=\\{\Bigl (}e^{-\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }{\frac {n_{i}(z)}{\mathrm {n_{a}} }}\mathrm {d} z}{\bigr )}^{\ln {10}}=10^{-\sum _{i = 1}^{N}\varepsilon _{i} \ int _ {0}^{\ell }c_{i}(z) \ mathrm {d} z}.\ end{aligned}}}
ovanstående antagande att dämpningstvärsnitten är additiva är i allmänhet felaktigt eftersom elektromagnetisk koppling uppstår om avstånden mellan de absorberande enheterna är små.,
härledningen av absorbansens koncentrationsberoende baseras på elektromagnetisk teori. Följaktligen härrör den makroskopiska polariseringen av ett medium p {\displaystyle P} från de mikroskopiska dipolmomenten p {\displaystyle P} i avsaknad av interaktion enligt
p = N p {\displaystyle P=n \ p\}
där p {\displaystyle P} är dipolmomentet och n {\displaystyle n} antalet absorberande enheter per enhetsvolym., Å andra sidan ges makroskopisk polarisering av:
p = ( ε r − 1) ε 0 E {\displaystyle P=(\varepsilon _{r}-1)\cdot \varepsilon _{0}\cdot e}
Här ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} representerar den relativa dielektriska funktionen, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0} vakuumgenomsläppligheten och E det elektriska fältet.,_{r}=1+c{\frac {N_{A}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}} n ^ = 1 + c N A ⋅ α ε 0 {\displaystyle {\hat {n}}={\sqrt {1+c{\frac {N_{A}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}}}} k = k N A ⋅ α ” 2 ε 0 {\displaystyle k=c{\frac {N_{A}\cdot \alpha ”}{2\varepsilon _{0}}}} A = 2 π ( log 10 e ) N α ” (λ) ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\logga _{10}e)N_{A}\alpha ”}{\lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}
Som en följd av den linjära samband mellan koncentration och täthet är i allmänhet en approximation, och har i synnerhet endast för små polarisabilities och svag absorptioner jag.,e. oscillator styrkor.,oduce tillnärmning √ ( 1 + x ) ≈ 1 + x / 2 {\displaystyle \surd (1+x)\approx 1+x/2} , och använder i stället följande förhållande mellan den imaginära delen av den relativa dielektriska funktion och brytningsindex och absorption ε r = 2 n k {\displaystyle \varepsilon _{r}”=2nk} det kan ses som molar dämpning koefficient som beror på brytningsindex (som i sig är koncentration beroende):
A = 2 π ( log 10 e ) N α ” n ⋅ λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\logga _{10}e)N_{A}\alpha ”}{n\cdot \lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}
Lämna ett svar