Visa mobil meddelande Visa alla anteckningar dölja alla anteckningar
avsnitt 3-5 : derivat av Trig-funktioner
med det här avsnittet kommer vi att börja titta på derivat av andra funktioner än polynom eller rötter av polynom. Vi startar processen genom att ta en titt på derivaten av de sex trig-funktionerna. Två av derivaten kommer att härledas. De återstående fyra är kvar till dig och kommer att följa liknande bevis för de två som ges här.
innan vi faktiskt kommer in i derivaten av trig-funktionerna måste vi ge ett par gränser som kommer att dyka upp i härledningen av två av derivaten.,
fakta
Se avsnittet Proof of Trig Limits I extras-kapitlet för att se beviset på dessa två gränser.
innan du fortsätter en snabb anteckning. Studenter frågar ofta varför vi alltid använder radianer i en kalkyl klass. Detta är anledningen! Beviset på formeln som involverar sinus ovan kräver att vinklarna är i radianer. Om vinklarna är i grader är gränsen för sinus inte 1 och så kommer de formler vi kommer att härleda nedan också att förändras. Formlerna nedan skulle hämta en extra konstant som bara skulle komma i vägen för vårt arbete och så använder vi radianer för att undvika det., Så kom ihåg att alltid använda radianer i en kalkyl klass!
innan vi börjar differentiera trig-funktioner låt oss arbeta en snabb uppsättning gränsproblem som detta faktum nu tillåter oss att göra.
Okej, nu när vi har fått denna uppsättning limit exempel ur vägen låt oss komma tillbaka till huvudpunkten i detta avsnitt, differentiera trig funktioner.
vi börjar med att hitta derivatet av sinus-funktionen. För att göra detta måste vi använda definitionen av derivatet. Det var ett tag sedan vi var tvungna att använda det här, men ibland finns det bara inget vi kan göra åt det., Här är definitionen av derivatet för sinusfunktionen.
\
eftersom vi inte bara kan koppla in \(h = 0\) för att utvärdera gränsen måste vi använda följande trig-formel på den första sinus i täljaren.
\
att göra detta ger oss,
\
som du kan se när du använder trig-formeln kan vi kombinera den första och tredje termen och sedan faktor en sinus ut ur det. Vi kan sedan dela upp fraktionen i två delar, som båda kan behandlas separat.
\
vid denna tidpunkt behöver vi bara använda gränserna ovan för att avsluta detta problem.,
\
differentiering av cosinus görs på ett liknande sätt. Det kommer att kräva en annan trig formel, men annat än det är ett nästan identiskt bevis. Detaljerna kommer att lämnas till dig. När du är klar med beviset ska du få,
\
med dessa två ur vägen är de återstående fyra ganska enkla att få. Alla återstående fyra trig-funktioner kan definieras i form av sinus-och cosinus och dessa definitioner, tillsammans med lämpliga derivatregler, kan användas för att få sina derivat.
Låt oss ta en titt på tangent., Tangent definieras som,
\
nu när vi har derivaten av sinus och cosinus allt vi behöver göra är att använda kvotregeln på detta. Nu gör vi det.
\ \
de återstående tre trig-funktionerna är också kvotienter som involverar sinus och/eller cosinus och kan därför differentieras på ett liknande sätt. Vi lämnar detaljerna till dig. Här är derivaten av alla sex av trig-funktionerna.
derivat av de sex trig-funktionerna
Vid denna tidpunkt bör vi arbeta med några exempel.
som ett slutligt problem här låt oss inte glömma att vi fortfarande har våra standard tolkningar av derivat.,
i det här avsnittet såg vi hur man differentierar trig-funktioner. Vi såg också i det sista exemplet att våra tolkningar av derivatet fortfarande är giltiga så att vi inte kan glömma dem.
det är också viktigt att vi kan lösa trig ekvationer eftersom det här är något som kommer att uppstå av och på i den här kursen. Det är också viktigt att vi kan göra de typer av nummerlinjer som vi använde i det sista exemplet för att bestämma var en funktion är positiv och var en funktion är negativ. Detta är något som vi kommer att göra ibland i både detta kapitel och nästa.
Lämna ett svar