Finita Element-Metoden – Vad Är Det? FEM och FEA förklarade

finite element method (FEM) är en numerisk teknik som används för att utföra finite element analysis (FEA) av ett visst fysiskt fenomen.

det är nödvändigt att använda matematik för att förstå och kvantifiera alla fysiska fenomen, såsom strukturellt eller flytande beteende, termisk transport, vågförökning och tillväxten av biologiska celler. De flesta av dessa processer beskrivs med hjälp av partiella differentialekvationer (PDEs)., Men för en dator för att lösa dessa PDEs har numeriska tekniker utvecklats under de senaste decennierna och en av de mest framträdande idag är den ändliga elementmetoden.,

Finite Element Method Applications of the Finite Element Method

finite element method started with Sight promise in the modeling of several mechanical tillämpningar relaterade till flyg-och anläggningsarbeten. Tillämpningarna av den ändliga elementmetoden börjar nu bara nå sin potential., En av de mest spännande utsikterna är dess tillämpning i kopplade problem som vätskestruktur interaktion, termomekanisk, termokemisk, termo-kemo-mekaniska problem, biomekanik, biomedicinsk teknik, piezoelektrisk, ferroelektrisk och elektromagnetik.

det har föreslagits många alternativa metoder under de senaste decennierna, men deras kommersiella tillämplighet är ännu inte bevisad. Kort sagt, FEM har just gjort en blip på radarn!

innan du börjar med differentialekvationerna är det viktigt att läsa artikeln om FEA-programvaran i SimWiki., Det börjar med grunderna och utvecklas gradvis till differentialekvationerna.

FEM ekvationer partiella differentialekvationer

För det första är det viktigt att förstå PDEs olika genre och deras lämplighet för användning med FEM. Förstå detta är särskilt viktigt för alla, oavsett motivationen för att använda finita element analys. Det är viktigt att komma ihåg att FEM är ett verktyg och något verktyg är bara lika bra som användaren.

PDEs kan kategoriseras som elliptisk, hyperbolisk och parabolisk., Vid lösning av dessa differentialekvationer måste gränsen och/eller initiala förhållanden tillhandahållas. Baserat på typen av PDE kan de nödvändiga ingångarna utvärderas. Exempel för PDE i varje kategori inkluderar Poisson ekvation (elliptisk), våg ekvation (hyperbolisk), och Fourier lag (parabolisk).

det finns två huvudsakliga metoder för att lösa elliptiska PDE: er, nämligen finita difference methods (FDM) och variational (eller energi) metoder. FEM faller i den andra kategorin. Variationella tillvägagångssätt bygger främst på filosofin om energiminimering.,

hyperboliska PDEs är vanligtvis associerade med hopp i lösningar. Vågekvationen är till exempel en hyperbolisk PDE. På grund av förekomsten av diskontinuiteter (eller hopp) i lösningar troddes den ursprungliga FEM-tekniken (eller Bubnov-Galerkin-metoden) vara olämplig för att lösa hyperboliska PDEs. Under årens lopp har dock modifieringar utvecklats för att förlänga tillämpligheten av FEM-teknik.

innan du avslutar denna diskussion är det nödvändigt att överväga konsekvensen av att använda en numerisk ram som är olämplig för typen av PDE., Sådan användning leder till lösningar som är kända som ” felaktigt poserade.”Detta kan innebära att små förändringar i domänparametrarna leder till stora svängningar i lösningarna, eller att lösningarna endast finns i en viss del av domänen eller tiden, som inte är tillförlitliga. Väldefinierade förklaringar definieras som de där en unik lösning finns kontinuerligt för de definierade uppgifterna. Med tanke på tillförlitlighet är det därför extremt viktigt att få väldefinierade lösningar.,

ladda ner våra ’tips för arkitektur, teknik & Construction (AEC)’ vitbok för att lära dig hur du optimerar dina mönster!

FEM princip för Energiminimering

hur fungerar FEM? Vad är den primära drivkraften? Principen om minimering av energi utgör den primära ryggraden i den finita elementmetoden. Med andra ord, när en viss gräns villkor tillämpas på ett organ, detta kan leda till flera konfigurationer men ändå bara en viss konfiguration är realistiskt möjligt eller uppnås., Även när simuleringen utförs flera gånger, råder samma resultat. Varför är det så?

detta styrs av principen om minimering av energi. Det står att när ett gränsförhållande (som förskjutning eller kraft) tillämpas, av de många möjliga konfigurationer som kroppen kan ta, är endast den konfigurationen där den totala energin är minimal den som väljs.,

Finite Element Method History of the Finite Element Method

tekniskt, beroende på ens perspektiv, FEM kan sägas ha haft sitt ursprung i Eulers arbete, så tidigt som på 1500-talet. De tidigaste matematiska tidningarna på FEM finns dock i schellbacks och courants verk .

FEM utvecklades självständigt av ingenjörer för att ta itu med strukturella mekanikproblem relaterade till flyg-och anläggningsarbeten. Utvecklingen började i mitten av 1950-talet med tidningarna Turner, Clough, Martin och Topp , Argyris och Babuska och Aziz ., Böckerna av Zienkiewicz och Strang, och Fix lade också grunden för framtida utveckling i FEM.

en intressant genomgång av denna historiska utveckling kan hittas i Oden . En översyn av FEM-utvecklingen under de senaste 75 åren finns i den här bloggartikeln: 75 år av finita elementmetoden.

teknisk FEM teknisk översikt över Finita Element metod

finita element metod är i sig en termin kurs. I denna artikel beskrivs en kortfattad beskrivning av mekanismen för FEM. Betrakta ett enkelt 1-D problemet att skildra de olika stegen i FEA.,

svag Form

ett av de första stegen i FEM är att identifiera den PDE som är associerad med det fysiska fenomenet. PDE (eller differentialform) är känd som den starka formen och den integrerade formen är känd som den svaga formen. Tänk på den enkla PDE som visas nedan. Ekvationen multipliceras med en provfunktion v (x) på båda sidor och integreras med domänen .,

Nu kan LHS i ovanstående ekvation reduceras till

som det kan ses reduceras kontinuitetsordningen för den okända funktionen u(x) med en. Den tidigare differentialekvationen krävde att u (x) skulle vara differentierbar minst två gånger medan den integrerade ekvationen kräver att den endast är differentierbar en gång., Detsamma gäller för flerdimensionella funktioner, men derivaten ersätts av gradienter och divergens.

utan att gå in i matematiken kan Riesz-representationsteoremen bevisa att det finns en unik lösning för u (x) för integralen och därmed differentialformen. Dessutom, om f(x) är jämn, säkerställer den också att u(x) är jämn.

diskretisering

När den integrerade eller svaga formen har ställts in är nästa steg diskretiseringen av den svaga formen., Den integrerade formen måste lösas numeriskt och därmed omvandlas integrationen till en summering som kan beräknas numeriskt. Dessutom är ett av de primära målen för diskretisering också att omvandla den integrerade formen till en uppsättning matrisekvationer som kan lösas med hjälp av välkända teorier om matrisalgebra.

som visas i Fig., 03, domänen är uppdelad i små bitar som kallas ”element” och hörnpunkten för varje element är känt som en ”nod”. Den okända funktionella u (x) beräknas vid nodpunkterna. Interpoleringsfunktioner definieras för varje element att interpolera, för värden inuti elementet, med hjälp av nodala värden. Dessa interpolation funktioner kallas också ofta form eller ansatz funktioner., Således kan den okända funktionella u(x) reduceras till

där nen är antalet noder i elementet är Ni och ui interpoleringsfunktionen och okända som är associerade med nod i., form kan skrivas om som

summeringssystemen kan omvandlas till matrisprodukter och kan skrivas om som

den svaga formen kan nu reduceras till en matrisform {u} = {f}

Observera ovan att den tidigare testfunktionen V(X som hade multiplicerats existerar inte längre i den resulterande matrisekvationen., Även här är känd som styvhetsmatrisen, {u} är vektorn av nodal okända, och {R} är den återstående vektorn. Vidare, med hjälp av numeriska integrationssystem, som Gauss eller Newton-Cotes kvadratur, hanteras integrationerna i den svaga formen som bildar tangentstyvheten och restvektorn också enkelt.

mycket matematik är inblandad i beslutet att välja interpolationsfunktioner, vilket kräver kunskap om funktionella utrymmen (som Hilbert och Sobolev). För mer information i detta avseende, de referenser som anges i artikeln ”Hur kan jag lära mig ändlig elementanalys?,”rekommenderas.

lösare

När matrisekvationerna har fastställts överförs ekvationerna till en lösare för att lösa ekvationssystemet. Beroende på typ av problem används i allmänhet direkta eller iterativa lösare. En mer detaljerad översikt över lösarna och hur de fungerar, samt tips om hur man väljer mellan dem, finns i bloggartikeln ”hur man väljer lösare: direkt eller iterativ?,”

typer av FEM olika typer av ändliga Elementmetod

som diskuterats tidigare har traditionell FEM-teknik visat brister i modelleringsproblem relaterade till vätskemekanik och vågförökning. Flera förbättringar har nyligen gjorts för att förbättra lösningsprocessen och utvidga tillämpligheten av ändlig elementanalys till ett brett spektrum av problem., Några av de viktiga som fortfarande används är:

Extended Finite Element Method (XFEM)

Bubnov-Galerkin-metoden kräver kontinuitet i förskjutning över element. Även om problem som kontakt, fraktur och skada innebär diskontinuiteter och hopp som inte kan hanteras direkt av ändliga elementmetoden. För att övervinna denna brist föddes XFEM på 1990-talet. XFEM arbetar genom expansionen av formfunktionerna med Heaviside step-funktioner. Extra frihetsgrader tilldelas noderna runt punkten för diskontinuitet så att hoppen kan övervägas.,

Generaliserad Finita Element-Metoden (GFEM)

GFEM introducerades ungefär samtidigt som XFEM på 90-talet. Det kombinerar funktionerna av de traditionella FEM och meshless metoder. Formfunktioner definieras främst av de globala koordinaterna och multipliceras ytterligare med partition-of-unity för att skapa lokala elementformfunktioner. En av fördelarna med GFEM är förebyggandet av re-meshing runt singulariteter.

blandad Finita Element metod

i flera problem, som kontakt eller inkompressibilitet, begränsningar införs med hjälp av Lagrange multiplikatorer., Dessa extra frihetsgrader till följd av Lagrange multiplikatorer löses oberoende. Ekvationssystemet löses som ett kopplat system av ekvationer.

hp-Finite Element Method

hp-FEM är en kombination av automatisk mesh förfining (h-förfining) och en ökning i storleksordningen polynom (p-förfining). Detta är inte detsamma som att göra h – och p – förbättringar separat. När automatisk hp-förfining används, och ett element är uppdelat i mindre element (h-förfining), kan varje element också ha olika polynomorder.,

diskontinuerlig Galerkin Finite Element Method (DG-FEM)

DG-FEM har visat betydande löfte för att utnyttja idén om ändliga element för att lösa hyperboliska ekvationer, där traditionella ändliga elementmetoder har varit svaga. Dessutom har det också visat förbättringar i böjning och inkompressibla problem som vanligtvis observeras i de flesta materialprocesser. Här läggs ytterligare begränsningar till den svaga formen som innehåller en straffparameter (för att förhindra interpenetration) och villkor för annan jämvikt av spänningar mellan elementen.,

FEM slutsats

Vi hoppas att den här artikeln har täckt svaren på dina viktigaste frågor om vad som är den ändliga elementmetoden. Om du vill se det i praktiken erbjuder SimScale möjligheten att utföra ändliga elementanalyser i webbläsaren. För att upptäcka alla funktioner som tillhandahålls av SimScale molnbaserade simuleringsplattform, ladda ner översikten eller titta på inspelningen av en av våra webinars.

material för att komma igång med SimScale finns i bloggartikeln ”9 inlärningsresurser för att komma igång med Tekniksimulering”.,