Fourier analys

(kontinuerlig) Fourier transformEdit

oftast hänvisar den okvalificerade termen Fourier transform till omvandlingen av funktioner av ett kontinuerligt verkligt argument, och det ger en kontinuerlig funktion av frekvens, känd som en frekvensfördelning. En funktion omvandlas till en annan, och operationen är reversibel., När domänen för inmatningsfunktionen (initial) är tid (t), och domänen för utmatningsfunktionen(slutlig) är vanlig frekvens, transformeras funktionen S ( t) vid frekvens f med komplexnumret:

s ( f) = s (t) e − i 2 π f t d t . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\dt.}

genom att utvärdera denna mängd för alla värden på f skapas funktionen frekvensdomän., Sedan kan S ( t) representeras som en rekombination av komplexa exponentialer av alla möjliga frekvenser:

S ( t) = s(f) i 2 π f t d f , {\displaystyle s(t)=\int _{−\infty }^{\infty }S (f)\cdot e^{I2\pi ft}\,DF,}

vilken är den inversa transformationsformeln. Det komplexa numret, s (f ), förmedlar både amplitud och fas av frekvens f.,

se Fourier transform för mycket mer information, inklusive:

• konventioner för amplitudnormalisering och frekvensskalning/enheter
• transformera egenskaper
• tabulerade omvandlingar av specifika funktioner
• en förlängning/generalisering för funktioner av flera dimensioner, såsom bilder.,

Fourier seriesEdit

Fourier-omvandlingen av en periodisk funktion, sP(t), med period P, blir en Dirac-kamfunktion, modulerad av en sekvens av komplexa koefficienter:

s = 1 p _{p} s_ {p} (t) \cdot e^{- I2\pi {\frac{k} {p}} t}\, dt,\Quad K\in\mathbb {Z}},} (där dt p är integralet över något längdintervall p).,

Den inversa transformen, känd som Fourier-serien, är en representation av sP(t) i form av en summering av ett potentiellt oändligt antal harmoniskt relaterade sinusoids eller komplexa exponentialfunktioner, var och en med en amplitud och fas som anges av en av de koefficienter som:

s P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k-P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e n 2 π k P i t . {\displaystyle s_{p}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty} ^{+\infty }s\, \ delta \ left (f-{\frac {k}{p}}\right)\right\}\ \ = \ \ sum _{k= – \infty} ^{\infty }s\cdot e^{I2\pi {\frac {k}{p}}t}.,}

alla sP(t) kan uttryckas som en periodisk summering av en annan funktion, S(t):

S P ( t) M = − M S ( t − m p ) , {\displaystyle s_{p}(t)\,\triangleq \,\Sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-MP),}

och koefficienterna är proportionella mot prover av S( F ) med diskreta intervall på 1/p:

s = 1 p s ( k p ) . {\displaystyle s={\frac {1}{p}} \ cdot s \ left ({\frac {k}{p}}\right).}

Observera att alla s(t) vars transformation har samma diskreta provvärden kan användas i den periodiska summeringen. Ett tillräckligt villkor för att återvinna s (t) (och därför s (f )) Från just dessa prover (dvs., från Fourier-serien) är att den icke-nolldelen av S(t) begränsas till ett känt intervall av varaktighet P, vilket är frekvensdomänen dual av Nyquist–Shannon provtagning teorem.

se Fourier-serien för mer information, inklusive den historiska utvecklingen.

Discrete-time Fourier transform (DTFT)Edit

DTFT är den matematiska dubbla av time-domain Fourier-serien.,e-koefficienter prover av en närstående kontinuerlig tid funktion:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ fourierserier (DTFT) ⏟ Poissons summationsformel = F { ∑ n = − ∞ ∞ n δ ( t − n ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\summan _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\summan _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{fourierserier (DTFT)}}} _{\text{Poissons summationsformel}}={\mathcal {F}}\left\{\summan _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

som är känd som DTFT., Således är DTFT av s-sekvensen också Fouriertransformen av den modulerade Dirac-kamfunktionen.

Fourier serie koefficienter (och invers transform), definieras genom att:

s ≜ T ∫ 1 T 1 T ( f ) ⋅ e n 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e n 2 π f n T d f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \triangleq \ t\int _{\frac {1}{T}}s_{\frac {1}{t}}(f)\cdot e^{I2 \ pi FNT}\, df = t \ underbrace {\int _{- \infty } ^{\infty }s(f)\cdot e^{I2\pi FNT}\,df} _{\triangleq \,s (nT)}.,}

Parameter t motsvarar samplingsintervallet, och denna Fourier-serie kan nu erkännas som en form av Poisson summeringsformeln. Således har vi det viktiga resultatet att när en diskret datasekvens, s, är proportionell mot prover av en underliggande kontinuerlig funktion, S(t), kan man observera en periodisk summering av den kontinuerliga Fouriertransformen, s( f). Observera att alla s (t ) med samma diskreta provvärden producerar samma DTFT men under vissa idealiserade förhållanden kan man teoretiskt återställa s( f) och S(t) exakt., Ett tillräckligt villkor för perfekt återhämtning är att den icke-noll-delen av s (f) begränsas till ett känt frekvensintervall av Bredd 1/T. när det intervallet är , är den tillämpliga rekonstruktionsformeln Whittaker–Shannon interpoleringsformeln. Detta är en hörnsten i grunden för digital signalbehandling.

en annan anledning att vara intresserad av S1 / T( f ) är att det ofta ger insikt i hur mycket aliasing som orsakas av provtagningsprocessen.

applikationer för DTFT är inte begränsade till samplade funktioner.,li>

transformera egenskaper

tabulerade transformationer av specifika funktioner

Discrete Fourier transform (DFT) Edit

liknar en Fourier-serie, blir DTFT av en periodisk sekvens, sN, med period N, en Dirac − kamfunktion, modulerad av en sekvens av komplexa koefficienter (se Dtft § periodiska data):

S = N S N E-i 2 π k n n , k z , {\displaystyle s=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{- I2\PI {\frac {k}{n}}n},\Quad K\in \mathbb {Z},} (där N är summan över någon sekvens av längd n).,

s-sekvensen är vad som vanligtvis kallas DFT i en cykel av sN. Det är också N-periodiskt, så det är aldrig nödvändigt att beräkna mer än n-koefficienter. Den inversa transformationen, även känd som en diskret Fourier-serie, ges av:

S N = 1 N k s i 2 π n n k, {\displaystyle s_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k}s\cdot e^{I2 \ pi {\frac {n}{n}}k},} där K är summan över någon sekvens av längd N.,

När sN uttrycks som en periodisk summering av en annan funktion:

S N m = − s , {\displaystyle s_{n}\,\triangleq \,\Sum _{m=-\infty }^{\infty }s,} och S S S ( n t ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nt),}

koefficienterna är proportionella mot prov av S1/T( F ) med intervaller om 1/p = 1 diskreta/nt:

s = 1 T S 1 t ( k p ) . {\displaystyle s={\frac {1}{t}} \ cdot s_ {\frac {1}{t}} \ left ({\frac {k}{p}}\right).,}

omvänt, när man vill beräkna ett godtyckligt antal( N) diskreta prover av en cykel av en kontinuerlig DTFT, S1/T (f ), kan det göras genom att beräkna den relativt enkla DFT av sN, enligt definitionen ovan. I de flesta fall väljs N lika med längden på icke-nolldelen av s. ökande N, känd som noll-stoppning eller interpolering, resulterar i närmare avstånd prover av en cykel av S1/T( f ). Minskar N, orsakar överlappning (lägga till) i tidsdomänen (analog med aliasing), vilket motsvarar decimering i frekvensdomänen., (se DTFT § provtagning av DTFT) i de flesta fall av praktiskt intresse representerar s-sekvensen en längre sekvens som trunkerades genom tillämpning av en ändlig fönsterfunktion eller FIR-filtermatris.

DFT kan beräknas med hjälp av en snabb Fourier transform (FFT) algoritm, vilket gör det till en praktisk och viktig omvandling på datorer.,

se diskreta Fouriertransformationer för mycket mer information, inklusive:

• transformera egenskaper
• applikationer
• tabulerade transformationer av specifika funktioner

SummaryEdit

för periodiska funktioner omfattar både Fouriertransformationen och DTFT endast en diskret uppsättning frekvenskomponenter (Fourier-serien), och omvandlingarna avviker vid dessa frekvenser. En vanlig praxis (som inte diskuterats ovan) är att hantera denna divergens via Dirac delta och Dirac comb funktioner., Men samma spektralinformation kan urskiljas från bara en cykel av den periodiska funktionen, eftersom alla andra cykler är identiska. På samma sätt kan ändliga funktioner representeras som en Fourier-serie, utan faktisk förlust av information förutom att periodiciteten hos den inversa transformationen är en ren artefakt.

det är vanligt i praktiken att varaktigheten av s(•) begränsas till perioden, P eller N. Men dessa formler kräver inte det villkoret.,

Symmetry propertiesEdit

När de verkliga och imaginära delarna av en komplex funktion sönderdelas i sina jämna och udda delar finns det fyra komponenter, betecknade nedan av subscripts RE, RO, IE och io.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Omvänt innebär en jämn symmetrisk transformation en verklig värderad tidsdomän.
• omvandlingen av en imaginär värderad funktion (i sIE+ i sIO) är den udda symmetriska funktionen sro+ i SIE, och konversen är sann.
• omvandlingen av en jämn symmetrisk funktion (sre+ i sIO) är den verkliga värderade funktionen sre+ SRO, och konversen är sann.
• omvandlingen av en udda symmetrisk funktion (SRO+ i sIE) är den imaginära värderade funktionen i SIE+ i SIO, och konversen är sann.,

Fourier omvandlar på godtyckliga lokalt kompakta abeliska topologiska groupedit

Fouriervarianterna kan också generaliseras till Fourier Transformer på godtyckliga lokalt kompakta Abeliska topologiska grupper, som studeras i harmonisk analys; där tar Fouriertransformen funktioner på en grupp till funktioner på den dubbla gruppen. Denna behandling möjliggör också en allmän formulering av konvolutionsteoremen, som hänför Fouriertransformationer och varv. Se även Pontryagins dualitet för den generaliserade grunden för Fouriertransformen.,

mer specifik, Fourier analys kan göras på cosets, även diskreta cosets.

time–frequency transformsEdit

i signalbehandlingsvillkor är en funktion (av tid) en representation av en signal med perfekt tidsupplösning, men ingen frekvensinformation, medan Fouriertransformen har perfekt frekvensupplösning, men ingen tidsinformation.,

som alternativ till Fouriertransformationen, använder man i tidsfrekvensanalys tidfrekvensomvandlingar för att representera signaler i en form som har viss tidsinformation och viss frekvensinformation – enligt osäkerhetsprincipen finns det en avvägning mellan dessa., Dessa kan vara generaliseringar av Fouriertransformen, såsom den korta Fouriertransformen, Gabortransformen eller fraktionell Fouriertransformationen (FRFT), eller kan använda olika funktioner för att representera signaler, som i wavelet-omvandlingar och chirplet-omvandlingar, med wavelet-analogen av den (kontinuerliga) Fouriertransformen som den kontinuerliga wavelettransformationen.