Gammafunktion

GeneralEdit

andra viktiga funktionella ekvationer för gammafunktionen är Eulers reflektionsformel

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π Sin ( π z ) , z z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }

vilket innebär

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 γ ( − ε ) γ ( 1 + ε ) γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \gamma (\varepsilon-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\gamma (-\varepsilon )\gamma (1+\varepsilon )}{\gamma (n+1-\varepsilon)}}},}

och Legendre dupliceringsformeln

Γ ( z ) γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 Z π γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \ Gamma (z) \Gamma\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\; {\sqrt {\pi}}\; \ Gamma (2z).}

dupliceringsformeln är ett specialfall av multiplikationsteoremen (se, Eq. 5.5.6)

text = 0 m-1 Γ (z + k m) = (2 π) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z). {\displaystyle \ prod _{k = 0}^{m-1}\Gamma \ left (z+{\frac {k}{m}} \ right) = (2\pi) ^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-MZ}\;\Gamma (MZ).}

en enkel men användbar egenskap, som kan ses från gränsdefinitionen, är:

Γ (z) = Γ ( z ) Γ ( z) γ ( z) γ (z), {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \|\Gamma\left ({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi} {\COSH (\pi b)}}\prod _{K=1}^{n}\left (\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\Quad n\in\mathbb {N} \end{aligned}}}

kanske det mest kända värdet av gammafunktionen vid ett icke-heltalsargument är

γ ( 1 2 ) = π, {\displaystyle\gamma \Left ({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} γ ( 1 2 + N ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = ( n − 1 2 n ) n ! π Γ (1 2 − n) = (−4 ) n n ! ( 2 n ) ! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π ( − 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{anpassas}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\höger)&={(2n)! över 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!{2^{n}}} {\sqrt {\pi }} = {\binom {n – {\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\höger)&={(-4)^{n}n! \ över (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}} {\sqrt {\pi }} = {\frac {\sqrt {\pi }} {{\binom {-1/2}{n}}n!,}} \ end{aligned}}}

derivaten av gammafunktionen beskrivs i termer av polygamma-funktionen. Till exempel:

Γ ’ ( z ) = Γ ( z) (z ) . {\displaystyle \Gamma ’(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}

för ett positivt heltal m kan derivatet av gammafunktionen beräknas enligt följande (Här γ {\displaystyle \gamma } är Euler–Mascheroni-konstanten):

Γ ’ ( m + 1 ) = m ! (- γ + trip K = 1 m 1 k). {\displaystyle \Gamma ’(m+1)=m!\left(-\gamma +\summan _{n=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.,}

För ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} th derivat av gammafunktionen är:

d n d x n γ ( x) = t x − 1 e − t ( ln t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{DX^{n}}} \ Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(detta kan härledas genom att differentiera den integrerade formen av gammafunktionen med avseende på x {\displaystyle X}, och använda tekniken för differentiering under integraltecknet.)

använda identiteten

Γ ( n) (1) = (−1) n n ! ordförande ( X ) := { ζ ( x ) x 1 γ x = 1 {\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\ sum \ limits _{\pi\, \ vdash\, n}\,\prod _{i=1}^{r} {\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{K_{i}!,\cdot a_{jag}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{ärenden}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma & > x=1\end{ärenden}}} π = 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 villkor + ⋯ + r + ⋯ + r ⏟ k r villkor , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ villkor}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ villkor}}},}

vi har särskilt

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) ., {\displaystyle \ Gamma (z)={\frac {1}{z}} – \ gamma + {\tfrac {1}{2}} \ left (\gamma ^{2} + {\frac {\pi ^{2}}{6}}\höger) z-{\tfrac {1}{6}}\vänster (\gamma ^{3} + {\frac {\gamma \ pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3) \ höger) z^{2} + O (z^{3}).}

InequalitiesEdit

När den är begränsad till de positiva reella siffrorna är gammafunktionen en strikt logaritmiskt konvex funktion., Denna egenskap kan anges på något av följande tre likvärdiga sätt:

• för alla två positiva reala tal x 1 {\displaystyle x_{1}} och x 2 {\displaystyle x_{2}}, och för alla t {\displaystyle t \ in},

Γ (t x 1 + (1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ (x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \ Gamma(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• för två positiva reella tal x och y med y > x,

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ( Γ ’ ( x ) Γ ( x)))., {\displaystyle \ left ({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ’(x)}{\Gamma (x)}}\right).{\displaystyle X}, Γ ” ( X ) Γ ( x) > Γ ’ ( x ) 2 . {\displaystyle \Gamma ”(x)\Gamma (x)>\Gamma(x)^{2}.} Γ (a 1 x 1 + ris + a n x N A 1 + ris + a n) ≤ (Γ (x 1) A 1 (x n ) A N) 1 A 1 + ris + a n . , {\displaystyle \Gamma \left({\frac {A_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{A_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{A_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1} {1}+\cdots +a_ {n}}}.}

det finns också gränser för förhållandet mellan gammafunktioner. Den mest kända är Gautschis ojämlikhet, som säger att för alla positiva reella nummer x och eventuella s − nummer (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1-s ., {\displaystyle X^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)} {\Gamma (X+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

Stirlings formulaEdit

beteendet hos Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} för en ökande positiv variabel är enkel. Det växer snabbt, snabbare än en exponentiell funktion faktiskt., Asymptotiskt som z→, {\textstyle z\till \infty \ ,} storleken på gammafunktionen ges av Stirlings formel

Γ ( z + 1) 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

en annan användbar gräns för asymptotiska approximationer är:

lim n → γ ( n + α ) γ ( n ) n α = 1 , α . {\displaystyle \ lim _{n \ till \ infty } {\frac {\Gamma (n + \alpha)} {\Gamma (n) n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

beteendet för icke-positiv z {\displaystyle z} är mer invecklat., Eulers integral konvergerar inte för z ≤ 0 {\displaystyle z \ leq 0}, men funktionen Den definierar i det positiva komplexa halvplanet har en unik analytisk fortsättning på det negativa halvplanet. Ett sätt att hitta den analytiska fortsättningen är att använda Eulers integral för positiva argument och utöka domänen till negativa tal genom upprepad tillämpning av återkommande formel,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1) (z + n ) , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ( f , C ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \ operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\till c} (z-c)f (z).}

för den enkla Polen z = – n, {\displaystyle z = – n,} skriver vi om upprepningsformeln som:

( z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1) (z + n − 1 ) . {\displaystyle(z + n) \ Gamma (z)={\frac {\Gamma(z+n+1)}{z (z+1)\cdots (z+n-1)}}.}

täljaren vid z = − n , {\displaystyle z=-n,} är

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \ Gamma (z + n + 1)= \ Gamma (1) = 1}

och nämnaren

z ( z + 1) (z + n − 1) = − n ( 1 − n) (n − 1 − n) = (−1) n ! ., {\displaystyle z (z+1)\cdots(z+n-1)=-n (1-n)\cdots(n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

så resterna av gammafunktionen vid dessa punkter är:

Res (Γ, − n) = (- 1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

gamma-funktionen har ett lokalt minimum vid zmin +1.4616321496836234126 (trunkerad) där det uppnår värdet Γ(zmin) +0.88560319441088870027 (trunkerad)., Gamma-funktionen måste alternera tecken mellan polerna eftersom produkten i framåtriktningen innehåller ett udda antal negativa faktorer om antalet poler mellan z {\displaystyle z} och z + n {\displaystyle z+n} är udda och ett jämnt tal om antalet poler är jämnt.

Integral representationsEdit

det finns många formler, förutom Euler-integralen av den andra typen, som uttrycker gammafunktionen som en integrerad. Till exempel, när den verkliga delen av z är positiv,

Γ ( z) = 0 1 ( log 1 t ) z − 1 d t ., {\displaystyle \ Gamma (z) = \int _{0}^{1}\left (\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\, dt.}

Binets första integrerade formel för gammafunktionen anger att när den verkliga delen av z är positiv, då:

log Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log z − z + 1 2 log (2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 E T – 1) e − t z t d t . {\displaystyle \ log \ Gamma (z)= \ left(z – {\frac {1}{2}} \ right) \ log z-z + {\frac {1}{2}} \ log (2 \ pi ) + \ int _{0}^{\infty } \ left ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}} + {\frac {1}{e^{t}-1}} \ höger) {\frac {e^{- tz}}{t}}\, dt.}

integralen på höger sida kan tolkas som en Laplace-transformation., Det vill säga,

log (Γ (z) (e z) z 2 π z) = l ( 1 2 T − 1 T 2 + 1 T ( e T − 1)) (z). {\displaystyle \ log \ left (\Gamma (z)\left ({\frac {e}{z}} \ right)^{z} {\sqrt {2 \ pi z}} \ right)={\mathcal {L}} \ left ({\frac {1}{2T}} – {\frac {1}{T^{2}}} + {\frac {1}{T (E^{T}-1)}} \ right) (z).}

Binet andra integralformel stater som, återigen när realdelen av z är det positiva då:

logga ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) logga ⁡ z − z + 1 2 logga ⁡ ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \ log\Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2 \ pi )+2 \ int _ {0}^{\infty } {\frac {\arctan (t / z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

låt C vara en Hankelkontur, vilket betyder en väg som börjar och slutar vid punkten på Riemann sfären, vars enhet tangent vektor konvergerar till -1 i början av banan och till 1 i slutet, som har slingrande nummer 1 runt 0, och som inte korsar

Γ ( z ) = − 1 2 i sin π z c ( − t ) z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-T)^{Z-1}e^{-t}\,dt,} 1 γ ( z ) = i 2 π c ( − t ) − z e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{c}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}

gäller igen när Z inte är ett heltal.,oljan har följande fourierserier expansion för 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ π − 1 2 ln ⁡ synd ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n synd ⁡ ( 2 π n z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\höger)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\summan _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

som var för en lång tid hänföras till Ernst Kummer, som erhöll 1847., Men Iaroslav Blagouchine upptäckte att Carl Johan Malmsten först härledde denna serie 1842.

raabes formulaEdit

i 1840 Joseph Ludwig Raabe visat att

a a a + 1 ln γ (z) d z = 1 2 ln Trip 2 π + a ln a − a , a > 0. {\displaystyle \int _{a}^{a+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad>0.}

särskilt, om a = 0 {\displaystyle a=0} sedan

∫ 0 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

den senare kan härledas med logaritmen i ovanstående multiplikationsformel, vilket ger ett uttryck för Riemann-summan av integrand. Att ta gränsen för en → rightarrow\infty } ger formeln.,

pi functionEdit

en alternativ notation som ursprungligen introducerades av Gauss och som ibland användes Är Π {\displaystyle \Pi } -funktionen, som när det gäller gammafunktionen är

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = Z Γ ( z) = 0 0 e − t t t t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}

så att π ( n ) = n ! {\displaystyle \Pi (n)=n!} för varje icke-negativt heltal n {\displaystyle n} .,

använda pi − funktionen reflektionsformeln tar på sig formen

Π ( z ) Π (- z ) = π z sin ( π z ) = 1 sinc ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (−z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

där sinc är den normaliserade sinc − funktionen, medan multiplikationsfunktionen teorem tar formen

π ( z m ) π ( z − 1 m) π ( Z − M + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m-z-1 2 π ( z ) . {\displaystyle \ Pi \ left ({\frac {z}{m}}\right)\, \Pi\left ({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left ({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}}\Pi (z)\ .,}

vi hittar också ibland

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}

volymen av en n-ellipsoid med radii r1, …, rn kan uttryckas som

v n ( r 1 , … , r n ) = π n 2 Π ( n 2) {\displaystyle v_{n} (r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}} {\Pi \ left ({\frac {n}{2}}\right)}} \ prod _{K=1}^{n}r_{k}.}

förhållande till andra funktionerredigera

• i det första integralet ovan, som definierar gammafunktionen, är gränserna för integration fasta., De övre och nedre ofullständiga gammafunktionerna är de funktioner som erhålls genom att den nedre eller övre (respektive) integrationsgränsen kan variera.
• gammafunktionen är relaterad till betafunktionen med formeln

b (x, y) = 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y) Γ ( x + y). {\displaystyle \ mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1} (1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (X+y)}}.}

• det logaritmiska derivatet av gamma-funktionen kallas digamma-funktionen; högre derivat är polygamma-funktionerna.,
• analogen av gamma-funktionen över ett ändligt fält eller en ändlig ring är de gaussiska summorna, en typ av exponentiell summa.
• den ömsesidiga gammafunktionen är en hel funktion och har studerats som ett specifikt ämne.
• gammafunktionen visas också i ett viktigt förhållande med Riemann zeta-funktionen, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} .

π − z 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) ., {\displaystyle \ pi ^{- {\frac {z}{2}}}\; \ Gamma \ left ({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{- {\frac {1-z}{2}}}\; \Gamma\left ({\frac {1-z}{2}}\right)\; \ zeta (1-z).} Det visas också i följande formel: ζ ( z ) Γ ( z) = 0 u z e u − 1 d u u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}}},} som endast är giltigt för ( z ) > 1 {\U}} {U}}}}, {\frac {U}}},} som endast är giltigt för (z)>1 {\U}}} displaystyle \ re (z) > 1}., Gammafunktionens logaritm uppfyller följande formel på grund av Lerch: log Γ ( x ) = ζ H ’( 0 , x ) − ζ ’ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{h}'(0,x)-\zeta ’(0),} där ζ H {\displaystyle \zeta _{h}} är Hurwitz zeta-funktionen, ζ {\displaystyle \zeta } är Riemann zeta-funktionen och prime zeta-funktionen. ( ’ ) betecknar differentiering i den första variabeln.

• gammafunktionen är relaterad till den sträckta exponentiella funktionen. Till exempel är ögonblicken i denna funktion

trip d t t n − 1 e − ( t τ ) β = τ n β γ ( n β ) ., {\displaystyle \ langle \ tau ^{n} \ rangle \ equiv \ int _{0}^{\infty }dt\, t^{n-1}\, e^{- \left ({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left ({n \over \beta }\right).}

Synnerhet valuesEdit

Bland annat upp att de första 20 siffror efter decimalkommat, vissa särskilda värden för gamma funktion är:

Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}

den komplexa värderade gammafunktionen är odefinierad för icke-positiva heltal, men i dessa fall kan värdet definieras i Riemann-sfären som. Den ömsesidiga gammafunktionen är väldefinierad och analytisk vid dessa värden (och i hela komplexplanet):

1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1} {\Gamma (-3)}} = {\frac {1} {\Gamma (-2)}} = {\frac {1} {\Gamma (-1)}} = {\frac {1} {\Gamma (0)}}=0.}