i kalkylen använder en metod som kallas implicit differentiering kedjeregeln för att skilja implicit definierade funktioner.
för att skilja en implicit funktion y(x), definierad av en ekvation R(x, y) = 0, är det i allmänhet inte möjligt att lösa det explicit för y och sedan differentiera. Istället kan man helt skilja R ( x, y) = 0 med avseende på x och y och sedan lösa den resulterande linjära ekvationen för dy/dx för att uttryckligen få derivatet i termer av x och y., Även när det är möjligt att uttryckligen lösa den ursprungliga ekvationen är formeln som härrör från total differentiering i allmänhet mycket enklare och lättare att använda.
ExamplesEdit
exempel 1. Tänk
y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y+x+5=0\,.}
denna ekvation är lätt att lösa för y, vilket ger
y = − x-5, {\displaystyle y=-x-5\,,}
där höger sida är den uttryckliga formen av funktionen y(x). Differentiering ger då dy / dx = -1.
Alternativt kan man helt skilja den ursprungliga ekvationen:
d y d x + D x D x + D D x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {dy}{dx}} + {\frac {DX}{DX}} + {\frac {d}{dx}} (5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1 + 0&=0\,.\ end{aligned}}}
lösning för dy/dx ger
d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,}
samma svar som tidigare erhållits.
exempel 2. Ett exempel på en implicit funktion för vilken implicit differentiering är enklare än att använda explicit differentiering är funktionen y(x) definierad av ekvationen
x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle X^{4} + 2Y^{2} = 8\,.,}
för att differentiera detta explicit med avseende på x, måste man först få
y (x)= ± 8 − x 4 2 , {\displaystyle y(x) = \pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}
och differentiera sedan denna funktion. Detta skapar två derivat: en för y ≥ 0 och en annan för y < 0.
det är väsentligt lättare att implicit differentiera den ursprungliga ekvationen:
4 x 3 + 4 y d y d x = 0, {\displaystyle 4x^{3} + 4y {\frac {dy}{dx}} = 0\,,}
ger
d y d x = – 4 x 3 4 y = – x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}} = {\frac {- 4x^{3}}{4y}}= – {\frac {x^{3}}{y}}\,.}
Exempel 3., Ofta är det svårt eller omöjligt att lösa explicit för y, och implicit differentiering är den enda genomförbara metoden för differentiering. Ett exempel är ekvationen
y 5 − y = x . {\displaystyle y^{5}-y=x\,.}
det är omöjligt att algebraiskt uttrycka y explicit som en funktion av x, och därför kan man inte hitta dy / dx genom explicit differentiering. Med den implicita metoden kan dy/dx erhållas genom att skilja ekvationen för att erhålla
5 y 4 d y d x-D y d x = D x D x, {\displaystyle 5y^{4} {\frac {dy}{dx}} – {\frac {dy}{dx}} = {\frac {DX}{DX}}\,}
där DX / dx = 1., Factoring ut dy/dx visar att
( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5Y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,}
vilket ger resultatet
d y d x = 1 5 y 4 − 1, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}} = {\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}
som definieras för
y, ± 1 5 4 och Y, ± i 5 4 . {\displaystyle y \neq\pm {\frac {1} {\sqrt {5}}} \ quad {\text{and}} \ quad y \ neq \ pm {\frac {i} {\sqrt{5}}}\,.}
allmän formel för derivat av implicit functionEdit
om R(x, y) = 0 ges derivatet av den implicita funktionen y (x) av:§11.,5
d y d x = − första hjälpen, r X r y, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}} = − {\frac {\, {\frac {\partial r}{\partial x}}\,} {\frac {\partial r}{\partial y}}}=-{\frac {r_{x}}{r_{y}}}\,}
där RX och Ry anger de partiella derivaten r med avseende på X och Y.,
formeln ovan kommer från att använda generaliserade kedjeregeln för att få den totala derivatan med avseende på x — på båda sidor av R(x, y) = 0:
∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
alltså
∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
som, när den löst för dy/dx, ger uttryck för ovan.
Lämna ett svar