grovt sett är en differentierbar kurva en kurva som definieras som lokalt bilden av en injicerbar funktion γ : I → x {\displaystyle \gamma \colon i\rightarrow X} från ett intervall i av de reella numren till ett differentierbart manifold X, ofta r n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
mer exakt är en differentierbar kurva en delmängd C av X där varje punkt i C har ett grannskap U så att c u {\displaystyle c \ cap U} är diffeomorphic till ett intervall av de reella numren., Med andra ord är en differentierbar kurva en differentierbar grenrör av dimension one.
längden på en kurvighet
längden på en kurva är oberoende av parametriseringen γ {\displaystyle \gamma } .
s = rit a b 1 + 2 D x . {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Längd ( γ ) = def sup ({i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) | n och a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\Sup \!\ left (\left\{\sum _{i=1}^{n}d (\gamma (T_{i}),\gamma ( T_{i-1}))~{\Bigg |}~n \in\mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\} \ right),} length (γ | ) = T 2 − T 1 . displaystyle operatorname!,\left(\gamma |_{}\right)=t_{2}-t_{1}.} Speed γ ( t ) = def lim sup s → t d ( γ ( S ) , γ ( T ) ) | S − t | {\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (T))}{|S-t|}}}
och sedan visa att
längd ( γ) = till B speed γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Längd} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Hastighet} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.,}
differentiell geometriedit
medan de första exemplen på kurvor som är uppfyllda är mestadels plankurvor (det vill säga i vardagliga ord, böjda linjer i tvådimensionellt utrymme) finns det uppenbara exempel som helixen som finns naturligt i tre dimensioner. Geometrins behov, och även till exempel klassisk mekanik, är att ha en uppfattning om kurva i rymden av valfritt antal dimensioner. I allmän relativitet är en världslinje en kurva i rymdtid.,
Om X {\displaystyle X} är ett differentierbart grenrör kan vi definiera begreppet differentierbar kurva i X {\displaystyle X} . Denna allmänna idé är tillräcklig för att täcka många av kurvorna i matematik. Från en lokal synvinkel kan man ta X {\displaystyle X} att vara euklidiskt utrymme. Å andra sidan är det användbart att vara mer allmänt, eftersom det (till exempel) är möjligt att definiera tangent vektorer till X {\displaystyle X} med hjälp av denna uppfattning om kurva.,
om X {\displaystyle X} är ett smidigt grenrör, är en jämn kurva i X {\displaystyle X} en jämn karta
γ : I → x {\displaystyle \ gamma \ colon i \ rightarrow x} .
en differentierbar kurva sägs vara regelbunden om dess derivat aldrig försvinner. (I ord, en vanlig kurva saktar aldrig till ett stopp eller backtracks på sig själv.,) Två c k {\displaystyle c^{k}} differentierbara kurvor
γ 1 : i → X {\displaystyle \gamma _{1}\kolon i\rightarrow x} Och γ 2 : j → x {\displaystyle \gamma _{2}\kolon J\rightarrow x}
sägs vara likvärdiga om det finns en bijektiv c k {\displaystyle c^{k}} karta
p : j → i {\displaystyle P\kolon j\Rightarrow i}
så att den inversa kartan
p − 1 : I → J {\displaystyle P^{-1}\Colon i\rightarrow J}
är också c k {\displaystyle c^{k}} och
γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \Gamma _{2}(T)=\gamma _{1}(p(t) = \ gamma _ {1} (p (t) = \ gamma _ {1}))}
Lämna ett svar