Fibonacci är ett av de mest kända namnen i matematik. Detta skulle komma som en överraskning för Leonardo Pisano, matematikern vi nu känner till med det namnet. Och han kan ha blivit lika förvånad över att han har blivit odödlig i den berömda sekvensen– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – snarare än för vad som anses vara hans mycket större matematiska prestation-hjälper till att popularisera vårt moderna nummersystem i den latinska talande världen.,
det romerska riket lämnade Europa med det romerska siffersystemet som fortfarande finns bland annat i upphovsrättsmeddelandena efter film-och TV-program (2013 är MMXIII). De romerska siffrorna var inteplacerad fram till mitten av 1200-talet e. Kr., och Leonardo Pisanos bok, Liber Abaci (som betyder ”Beräkningarnas bok”), var en av de första västerländska böckerna för att beskriva deras eventuella ersättning.
Leonardo Fibonacci c1175-1250.,
Leonardo Pisano föddes sent på tolfte århundradet i Pisa, Italien: Pisano på italienska indikerade att han var från Pisa, på samma sätt som Mancunian indikerar att jag är från Manchester. Hans far var en köpman som heter Guglielmo Bonaccio och det är på grund av sin fars namn som Leonardo Pisano blev känd som Fibonacci. Århundraden senare, whenscholars var att studera den handskrivna kopior av Liber Abaci(som det var publicerade före utskrift uppfanns), theymisinterpreted del av titeln – ”filius Bonacci” som betyder ”sonof Bonaccio” – som hans efternamn, och Fibonacci var född.,
Fibonacci (som vi fortsätter att ringa honom) tillbringade sin barndom i NorthAfrica där hans far var tulltjänsteman. Han var utbildad av theMoors och reste vida omkring i Nordafrika (Algeriet), och blev senare senton affärsresor till Egypten, Syrien, Grekland, Sicilien och Provence.I 1200 han återvände till Pisa och använde den kunskap han hade fått onhis resor för att skriva Liber Abaci (publicerad i 1202) där han redogjorde för Latin-talande världen till det decimala talsystemet. Det första kapitlet i Del 1 börjar:
”det här är Indiens nio siffror: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Med dessa nio siffror, och med detta tecken 0 som på arabiska kallas zephirum, kan vilket nummer som helst skrivas, vilket kommer att demonstreras.”
Italien vid den tiden bestod av små oberoende städer och regioner och detta ledde till att många typer av vikter och pengarsystem användes. Handlarna var tvungna att konvertera från en till en annan när de handlade mellan dessa system., Fibonacci skrev Liber Abaci för dessa handlare, fyllda med praktiska problem och arbetade exempel som visar hur enkelt kommersiella och matematiska beräkningar kunde göras med detta nya nummersystemjämfört med de otympliga romerska siffrorna. Effekten av Fibonaccis bok sombörjan av spridningen av decimaltal var hans störstamatematiska prestation. Fibonacci är dock bättre ihågkommen fören viss sekvens av siffror som framkom som ett exempel i LiberAbaci.,
en sida av Fibonacci s Liber Abaci från Biblioteca Nazionale di Firenze som visar Fibonacci-sekvensen (i rutan till höger).”
problemet med kaniner
ett av de matematiska problemen Fibonacci undersökte i Liber Abaci handlade om hur snabba kaniner kunde uppfödas under ideala omständigheter.Antag att ett nyfött par kaniner, en man, en kvinna, sätts på ett fält. Kaniner kan para sig i en månads ålder så att en kvinna i slutet av sin andra månad kan producera ett annat par kaniner., Antag att våra kaniner aldrig dör och att honan alltid producerar ett nytt par (en man, en kvinna) varje månad från den andra månaden på. Pusslet som Fibonacci ställde var… Hur många par kommer det att finnas på ett år?
- i slutet av den första månaden mate de, men det finns fortfarande bara 1 par.
- i slutet av den andra månaden producerar honan ett nytt par, så nu finns det 2 par kaniner.
- i slutet av den tredje månaden producerar den ursprungliga honan ett andra par, vilket gör 3 par i alla.,
- i slutet av den fjärde månaden har den ursprungliga kvinnan producerat ett annat nytt par, honan född för två månader sedan producerade henneförsta paret också, vilket gjorde 5 par.
föreställ dig nu att det finns par av kaniner efter månader. Antalet par i månaden kommer att vara (I detta problem dör kaniner aldrig) plus antalet nya par födda. Men nya par är bara födda till par minst 1 månad gamla, så det kommer att finnas nya par., Så vi har
|
vilket helt enkelt är regeln för att generera Fibonacci-numren: lägg till de två sista för att få nästa. Efter detta genom hittar du att efter 12 månader (eller 1 år) kommer det att finnas 233 par kaniner.
bin är bättre
kaninproblemet är uppenbarligen mycket konstruerat, men Fibonacci-sekvensen förekommer i verkliga populationer. Honeybees ger ett exempel., I en koloni av honungsbin finns en speciell kvinna som heter drottningen. De andra honorna är arbetare bin som, till skillnad från bidrottningen, producerar inga ägg. De manliga bina gör inget arbete och kallas drone bin.
män produceras av drottningens obefruktade ägg, så manliga bin har bara en mamma men ingen far. Alla honorna produceras när drottningen har parat sig med en man och så har två föräldrar., Honorna brukar sluta som arbetare bin men vissa matas med en speciell substans som kallas royal jelly som gör dem växa till drottningar redo att gå iväg för att starta en ny koloni när bina bildar en svärm och lämna sitt hem (en bikupa) på jakt efter en plats att bygga ett nytt bo. Så kvinnliga bin har två föräldrar, en man och en kvinna medan manliga bin har bara en förälder, en kvinna.
låt oss titta på släktträdet hos en manlig drone bee.
Han har 1 förälder, en kvinna.
han har 2 morföräldrar, eftersom hans mamma hade två föräldrar, en man och en kvinna.,
han har 3 farföräldrar: hans mormor hade två föräldrar men hans farfar hade bara en.
hur många farföräldrar hade han?,”>
morföräldrar
morföräldrar
morföräldrar
spiraler och skal
spiraler och skal
bipopulationer är inte den enda platsen i naturen där Fibonacci-tal uppträder, de förekommer också i de vackra formerna av skal., För att se detta, låt oss bygga upp en bild som börjar med tvåsmå rutor av Storlek 1 bredvid varandra. På toppen av båda dessaraw en kvadrat med storlek 2 (=1+1). Vi kan nu rita en ny kvadrat-röra både en av enhetens rutor och den senaste kvadraten på sidan 2 – sohaving sidor 3 enheter lång; och sedan en annan röra både 2-kvadratoch 3-kvadraten (som har sidor av 5 enheter). Vi kan fortsätta addingsquares runt bilden, varje ny kvadrat med en sida som är aslong som summan av de senaste två kvadratiska sidor., Denna uppsättning avrektanglar vars sidor är två på varandra följande Fibonacci nummer i längdoch som består av kvadrater med sidor som är Fibonaccinumbers, vi kommer att ringa Fibonacci rektanglar.
om vi nu ritar en fjärdedel av en cirkel i varje ruta kan vi bygga upp asort av spiral. Spiralen är inte en sann matematisk spiral (eftersom den består offragments som är delar av cirklar och går inte på att fåmindre och mindre) men det är en bra approximation till ett slag avspiral som ofta förekommer i naturen., Sådana spiraler (kallade logaritmiska spiraler) ses iform av skal av sniglar och havsskal. Bilden nedan av ett tvärsnitt av ett nautilus skal visar spiralkurvan av skalet och de inre kamrarna som djuret använder det lägger påsom det växer. Kamrarna ger flytkraft i vattnet.
Fibonacci-nummer visas också i växter och blommor. Vissa växter grenar på ett sådant sätt att de alltid har ett Fibonacci antalav växande punkter. Blommor har ofta ett Fibonacci antal kronblad, tusenskönor kan ha 34, 55 eller till och med så många som 89 kronblad!,
ett särskilt vackert utseende av fibonacci-nummer finns ispiraler av frön i ett fröhuvud. Nästa gång du ser en solros, titta på arrangemangen av fröna i centrum. De verkar spiralling utåt både till vänster och höger.
|
|
|
vid kanten av den här bilden av en solros, om du räknar dessa kurvor av frön som spirar till vänstersom du går utåt, finns det 55 spiraler., Samtidigt finns det 34 spiraler av frön som spirar till höger.Lite längre mot centrum och du kan räkna 34 spiraler till vänster och 21 spiraler till höger. Paret tal (countingspirals svängde vänster och svängde höger) är (nästan alltid) grannar i Fibonacci-serien.
detsamma händer i många frö-och blomhuvuden i naturen., Anledningen verkar vara att detta arrangemang bildar en optimal förpackning av fröna så att de, oavsett hur stor fröhuvudet är, är jämnt förpackade i vilket skede som helst, alla frön är av samma storlek, ingen trängsel i mitten och inte för glesa vid kanterna.
naturen verkar använda samma mönster för att ordna kronblad runt kanten av en blomma och att placeralöv runt en stam. Vad är mer, alla dessa upprätthålla sin effektivitet som anläggningen fortsätter att växa och det är en hel del att be om asingle process! Så hur växer växter för att upprätthålla denna optimering av designen?,
gyllene tillväxt
botaniker har visat att växter växer från en enda liten grupp av celler precis vid spetsen av någon växande växt, kallad meristem. Det finns en separat meristem i slutet av varje gren eller kvist där nya celler bildas. När de väl bildats växer de i storlek, men nya celler bildas endast vid sådana växande punkter. Celler tidigare ner stammen expandera och så växer den växande punkten.Dessutom växer dessa celler på ett spiralformigt sätt: det är som om meristem vänder sig med en vinkel, producerar en ny cell, vänder sig igen med samma vinkel, producerar en ny cell och så vidare., Dessa celler kan sedan bli ett frö, ett nytt blad, en ny gren, eller kanske på en blomma blir kronblad och ståndare.
bladen här är numrerade i tur och ordning – var och en är exakt 0,618 medurs (222,5°) från föregående.
det fantastiska är att en enda fast rotationsvinkel kan producera den optimala designen oavsett hur stor växten växer., Principen att en enda vinkel producerar enhetliga förpackningar oavsett hur mycket tillväxt verkar misstänktes så tidigt som förra seklet men visade sig bara matematiskt 1993 av Stéphane Douady och Yves Couder, två franska matematiker. Att göra 0,618 av en tur innan du producerar ett nytt frö (eller blad, kronblad, etc) producerarden optimala förpackningen av frön oavsett storleken på fröhuvudet. Men var kommer detta magiska nummer 0.618 från?,
det gyllene förhållandet
om vi tar förhållandet mellan två på varandra följande tal i Fibonaccis serie, dividerar var och en med numret före det, hittar vi följande nummer:
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…
om du plottar en graf över dessa värden ser du att de verkar tenderar till en gräns, vilket leder till det gyllene förhållandet (även känt som goldennumber och golden section).
förhållandet mellan successiva Fibonacci-termer.,
det har ett värde på (ungefär 1.618034) och representeras ofta av ett grekiskt brev Phi, skrivet som. Det närbesläktade värdet som vi skriver som , en liten phi, är bara decimaldelen av Phi, nämligen 0.618034… (), numret som står för spiralerna i fröhuvudena och arrangemangen av löv i många växter. Men varför ser vi phi i så många växter?
numret Phi (1.618034…), och därför också phi (0.618034…,), är irrationella tal: de kan inte skrivas som en enkel bråkdel. Låt oss se vad som skulle hända om meristem i ett fröhuvud istället vrids av något enklare nummer, till exempel fraktionen 1/2. Efter två varv genom hälften av en cirkel skulle vi vara tillbaka till där det första fröet producerades. Med tiden skulle vändning med en halv tur mellan frön producera ett fröhuvud med två armar som strålar ut från en central punkt och lämnar mycket bortkastat utrymme.
|
ett fröhuvud producerat av 0.,5=1/2 varv mellan frön: alternativa frön linje upp. |
ett fröhuvud producerat av 0.48=12/25 varv mellan frön: fröna bildar två roterande armar. |
ett fröhuvud producerat av 0.6=3/5 varv mellan frön: fröna bildar 5 raka armar., |
pi vänder mellan frön producerar sju spiralarmar
något liknande händer för någon annan enkel bråkdel av en tur: frön växer i spiralarmar som lämnar mycket utrymme mellan dem (antalet armar är nämnaren för den andra fraktion). Så det bästa värdet för varv mellan frön kommer att vara ett irrationellt nummer. Men inte bara något irrationellt nummer kommer att göra. Till exempel verkar fröhuvudet som skapats med pi-varv per frö ha sju spirande armar av frön., Detta beror på att 22/7 är en mycket bra rationell approximation av pi.
vad som behövs för att inte slösa utrymme är ett irrationellt tal som inte är väl approximerat av ett rationellt tal. Och det visar sig att Phi (1.618034…) och dess decimal phi (0.618034…) är ”mest irrationella” av alla irrationella tal. (Du kan ta reda på varför i kaos i nummerland: det hemliga livet för fortsatta fraktioner.) Det är därför en vändning av Phi ger optimal förpackning av frön och löv i växter., Det förklarar också varför Fibonacci nummer visas i blad arrangemang och som antalet spiraler i seedheads. Intilliggande Fibonacci-nummer ger de bästa approximationerna av det gyllene förhållandet. De turas om att vara nämnaren av approximationerna och definiera antalet eller spiralerna när fröhuvudena ökar i storlek.
hur upptäckte så många växter detta vackra och användbara nummer, Phi?Uppenbarligen inte från att lösa matematik som Fibonacci gjorde., I stället utgår vi från att evolutionen, precis som förhållandet mellan de successiva Fibonacci-numrereneventuellt sett sätter sig på det gyllene förhållandet, gradvis avvecklades på rätt nummer också. Arvet från Leonardo Pisano, aka Fibonacci, ligger i hjärtat av varje blomma, liksom i hjärtat av vårt nummersystem.
Ytterligare läsning
om du har haft den här artikeln kanske du vill besöka Fibonacci nummer och den gyllene sektionen.
om den här artikeln
den här artikeln är baserad på material skrivet av Dr R., Knott, som tidigare var lektor vid Institutionen för datavetenskap vid University of Surrey. Knott startade webbplatsen på Fibonacci-nummer och Golden Section tillbaka i 1996 som ett experiment på att använda webben för att inspirera och uppmuntra fler matteutredningar både inom och utanför skoltiden. Det har sedan dess vuxit och täcker nu många andra ämnen, alla med interaktiva element och online-räknare. Även om nu pensionerad, Knott fortfarande upprätthåller och utökar webbsidor., Han är för närvarande en besökande Karl vid University of Surrey och ger samtal över hela landet till skolor, universitet, konferenser och matematik samhällen. Han gillar också promenader, matematiska rekreation, växande saker att äta och laga dem.
Lämna ett svar