Das reale (nichtlineare) einfache Pendel
Wenn die Winkelverschiebungsamplitude des Pendels groß genug ist, dass die kleine Winkelanpassung nicht mehr gilt, muss die Bewegungsgleichung in ihrer nichtlinearen Form bleiben$$ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0 $$Diese Differentialgleichung hat keine geschlossene Formlösung, sondern muss gelöst werden numerisch mit einem Computer. Mathematica numerisch löst diese Differentialgleichung sehr leicht mit der eingebauten Funktion NDSolve.,
Die kleine Winkelanpassung gilt für anfängliche Winkelverschiebungen von etwa 20° oder weniger. Wenn der Anfangswinkel kleiner als dieser Betrag ist, ist die einfache harmonische Annäherung ausreichend. Wenn der Winkel jedoch größer ist, werden die Unterschiede zwischen der kleinen Winkelanpassung und der genauen Lösung schnell offensichtlich.
In der Animation unten links ist der Anfangswinkel klein. Das dunkelblaue Pendel ist die kleine Winkelanpassung, und das hellblaue Pendel (zunächst dahinter verborgen) ist die genaue Lösung., Für einen kleinen Anfangswinkel dauert es eine ziemlich große Anzahl von Schwingungen, bevor die Differenz zwischen der kleinen Winkelanpassung (dunkelblau) und der genauen Lösung (hellblau) merklich divergiert.
In der Animation unten rechts ist der Anfangswinkel groß. Das schwarze Pendel ist die kleine Winkelanpassung, und das hellgraue Pendel (zunächst dahinter verborgen) ist die genaue Lösung. Bei einem großen Anfangswinkel wird der Unterschied zwischen der kleinen Winkelanpassung (schwarz) und der exakten Lösung (hellgrau) fast sofort sichtbar.,
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