Angenommen, dass ein Lichtstrahl in eine Materialprobe eintritt. Definieren Sie z als Achse parallel zur Strahlrichtung. Teilen Sie die Materialprobe senkrecht zum Lichtstrahl in dünne Scheiben, wobei die Dicke dz so klein ist, dass ein Teilchen in einer Scheibe ein anderes Teilchen in derselben Scheibe nicht verdecken kann, wenn es entlang der z-Richtung betrachtet wird., Der Strahlungsfluss des Lichts, das aus einer Scheibe austritt, wird im Vergleich zu dem des eintretenden Lichts um dΦe(z) = −μ(z)Φe(z) dz verringert, wobei μ der (napierianische) Dämpfungskoeffizient ist, der die folgende lineare ODE erster Ordnung ergibt:
d Φ e ( z ) d z = -μ ( z ) Φ e ( z ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z).}
Die Dämpfung wird durch die Photonen verursacht, die es aufgrund von Streuung oder Absorption nicht auf die andere Seite der Scheibe geschafft haben.,die Anrechnung auf diese Differentialgleichung ergibt sich durch Multiplikation des Integrationsfaktors
e ∫ 0 z μ ( z ‚) d z ‚{\displaystyle e^{\int _{0}^{z}\mu (z‘)\mathrm {d} z‘}}
, um
d Φ e ( z ) d z e ∫ 0 z μ ( z ‚) d z ‚+ μ ( z ) Φ e ( z ) e ∫ 0 z μ ( z ‚) d z ‚= 0, {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}\, e^{\int _{0}^{z}\mu (z‘)\mathrm {d} z‘}+\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\, e^{\int _{0}^{z}\mu (z‘)\mathrm {d} z‘}=0,}
was aufgrund der Produktregel (rückwärts angewendet) auf
d d z ( Φ e ( z ) e ∫ 0 z μ ( z ‚) d z ‚ ) = 0 vereinfacht., {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\bigl (}\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z‘)\mathrm {d} z‘}{\bigr )}=0.}
die Integration von beiden Seiten und lösen für Φe für ein material der echte Dicke ℓ, mit den einfallenden Strahlungsfluss auf die Scheibe Φei = Φe(0) und der übermittelten Strahlungsfluss Φet = Φe(ℓ ) gibt
Φ e t = Φ e ich e − ∫ 0 ℓ μ ( z ) d z , {\displaystyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }=\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }\,e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z},}
und schließlich
T = Φ e Φ e i = e − ∫ 0 ℓ μ ( z ) d z ., {\displaystyle T={\frac {\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }}}=e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z}.}
Da der dekadische Dämpfung-Koeffizient μ10 ist in Bezug auf die (Napierian) Dämpfung-Koeffizient von μ10 = μ/ln 10, auch haben
T = e − ∫ 0 ℓ ln 10 10 μ ( z ) d z = e − ∫ 0 ℓ μ 10 ( z ) d z) – ln 10 = 10 − ∫ 0 ℓ μ 10 ( z ) d z . {\displaystyle T=e^{- \int _{0}^{\ell }\ln {10}\,\mu _{10} (z)\mathrm {d} z}={\bigl (} e^{- \int _{0}^{\ell }\mu _{10} (z)\mathrm {d} z}{\bigr)} ^{\ln {10}}=10^{-\int _{0}^{\ell }\mu _{10} (z)\mathrm {d} z}.,}
Um den Dämpfungskoeffizienten unabhängig von den Zahlendichten ni der N dämpfenden Spezies der Materialprobe zu beschreiben, führt man den Dämpfungsquerschnitt σi = µi (z) / ni(z) ein. σi hat die Dimension einer Fläche; es drückt die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung zwischen den Teilchen des Strahls und den Teilchen der Spezies i in der Materialprobe aus:
T = e − ∑ i = 1 N σ i ∫ 0 ℓ n i ( z ) d z. {\displaystyle T=e^{-\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z}.,}
kann Man auch die molare Dämpfung Koeffizienten ei = (NA/ln 10)σi, wobei NA die Avogadro-Konstante zur Beschreibung der Dämpfung-Koeffizient in einer Weise, unabhängig von der Höhe der Konzentrationen ci(z) = ni(z)/NA der Dämpfung Arten der material-Beispiel:
T = e − ∑ i = 1 N ln 10 N A ε i ∫ 0 ℓ n i ( z ) d z = ( e − ∑ i = 1 N ε i ∫ 0 ℓ n i ( z ) N A d z) – ln 10 = 10 − ∑ i = 1 N ε i ∫ 0 ℓ c i ( z ) d z ., {\displaystyle {\begin{a}T=e^{-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\ln {10}}{\mathrm {N_{A}}} \varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell} n_{i} (z)\mathrm {d} z}=\\{\Bigl (} e^{-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell} {\frac {n_{i} (z)} {\mathrm {N_{A}}}} \mathrm {d} z} {\Bigr)} ^{\ln {10}}=10^{-\summe _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i} (z)\mathrm {d} z}.\end{aligned}}}
Die obige Annahme, dass die Dämpfungsquerschnitte additiv sind, ist im Allgemeinen falsch, da eine elektromagnetische Kopplung auftritt, wenn die Abstände zwischen den absorbierenden Einheiten klein sind.,
Die Ableitung der Konzentrationsabhängigkeit der Absorption basiert auf der elektromagnetischen Theorie. Dementsprechend leitet sich die makroskopische Polarisation eines Mediums P {\displaystyle P} aus den mikroskopischen Dipolmomenten p {\displaystyle p} in Abwesenheit einer Wechselwirkung gemäß
P = N p {\displaystyle P=N\ p\ }
wobei p {\displaystyle p} das Dipolmoment und N {\displaystyle N} die Anzahl der absorbierenden Entitäten pro Volumeneinheit ist., Auf der anderen Seite, makroskopische Polarisation ist gegeben durch:
P = ( ε r − 1 ) ⋅ ε 0 ⋅ E {\displaystyle P=(\varepsilon _{r}-1)\cdot \varepsilon _{0}\cdot E}
Hier ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} stellt die relative dielektrische Funktion ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} die Vakuum-permittivität und E {\displaystyle E} das elektrische Feld.,_{r}=1+c{\frac {N_{A}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}} n ^ = 1 + c N ⋅ α ε 0 {\displaystyle {\hat {n}}={\sqrt {1+c{\frac {N_{A}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}}}} k = c N ⋅ α “ 2 ε 0 {\displaystyle k=c{\frac {N_{A}\cdot \alpha „}{2\varepsilon _{0}}}} = 2 π ( log 10 e ) N α “ λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\log _{10}e)N_{A}\alpha „}{\lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}
Als Folge der lineare Zusammenhang zwischen Konzentration und Extinktion in der Regel ist eine Annäherung, und das gilt insbesondere für kleine polarisabilities und schwache Absorptionen, ich.,e. Oszillator stärken.,oduce die Näherung √ ( 1 + x ) ≈ 1 + x / 2 {\displaystyle \surd (1+x)\approx 1+x/2} , und verwenden Sie stattdessen die folgende Beziehung zwischen dem Imaginärteil der relativen dielektrischen Funktion und der index der Brechung und absorption ε r “ = 2 n k {\displaystyle \varepsilon _{r}“=2nk} es kann gesehen werden, dass der molar attenuation coefficient hängt von der Brechungsindex (die selbst-Konzentration abhängig):
A = 2 π ( log 10 e ) N α “ n ⋅ λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\log _{10}e)N_{A}\alpha „}{n\cdot \lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}
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