Das Leben und die Zahlen von Fibonacci

Fibonacci ist einer der bekanntesten Namen in der Mathematik. Dies würde Leonardo Pisano, den Mathematiker, den wir jetzt unter diesem Namen kennen, überraschen. Und er könnte ebenso überrascht gewesen sein, dass er in der berühmten Sequenz verewigt wurde– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – anstatt für das, was als seine weitaus größere mathematische Leistung – Hilfe zur Popularisierung unserer modernen Zahlensystem in der lateinischen Welt.,

Das Römische Reich hat Europa mit dem römischen Zahlensystem verlassen, das wir unter anderem in den Urheberrechtsvermerken nach Filmen und Fernsehprogrammen sehen (2013 ist MMXIII). Jahrhundert n. Chr. verlegt, und Leonardo Pisanos Buch, Liber Abaci (was „Das Buch der Berechnungen“ bedeutet), war eines der ersten westlichen Bücher, das ihren eventuellen Ersatz beschrieb.

Leonardo Pisano wurde Ende des zwölften Jahrhunderts in Pisa, Italien, geboren: Pisano auf Italienisch gab an, dass er aus Pisa stammte, genauso wie Mancunian angibt, dass ich aus Manchester komme. Sein Vater war ein Kaufmann namens Guglielmo Bonaccio und Leonardo Pisano wurde wegen des Namens seines Vaters als Fibonacci bekannt. Jahrhunderte später, wannscholaren studierten die handgeschriebenen Kopien von Liber Abaci (wie es vor der Erfindung des Drucks veröffentlicht wurde), sieinterpretiert einen Teil des Titels – „filius Bonacci“ bedeutet „sonof Bonaccio“ – als seinen Nachnamen, und Fibonacci wurde geboren.,

Fibonacci (wie wir ihn weiter nennen werden) verbrachte seine Kindheit in Nordafrika, wo sein Vater Zollbeamter war. Er wurde von ihnen erzogen, und reiste weit in Barbary (Algerien), und wurde später auf Geschäftsreisen nach Ägypten geschickt, Syrien, Griechenland, Sizilien und Provence.In 1200 kehrte er nach Pisa zurück und nutzte das Wissen, das er auf seinen Reisen gewonnen hatte, um Liber Abaci (veröffentlicht 1202) zu schreiben, in dem er die lateinische Welt in das Dezimalzahlensystem einführte. Das erste Kapitel von Teil 1 beginnt:

„Dies sind die neun zahlen des Indianer: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Mit diesen neun Figuren und mit diesem Zeichen 0, das auf Arabisch Zephirum heißt, kann eine beliebige Zahl geschrieben werden, wie gezeigt wird.“

Italien bestand zu dieser Zeit aus kleinen unabhängigen Städten und Regionen und dies führte zur Verwendung vieler Arten von Gewichten und Geldsystemen. Händler mussten von einem zum anderen konvertieren, wenn sie zwischen diesen Systemen gehandelt., Fibonacci schrieb Liber Abaci für diese Händler, füllte sich mit praktischen Problemen und arbeitete Beispiele, die zeigten, wie einfach kommerzielle und mathematische Berechnungen mit diesem neuen Zahlensystem im Vergleich zu den unhandlichen römischen Ziffern durchgeführt werden konnten. Die Auswirkungen von Fibonaccis Buch als thebeginning der Verbreitung von Dezimalzahlen war sein größtes mathematische Leistung. Fibonacci ist jedoch besser in Erinnerung füreine bestimmte Folge von Zahlen, die als Beispiel in LiberAbaci erschien.,

Das Problem mit Kaninchen

Eines der mathematischen Probleme, die in Liber Abaci untersucht wurden, war, wie schnell Kaninchen unter idealen Umständen brüten können.Angenommen, ein neugeborenes Kaninchenpaar, ein Männchen, ein Weibchen, wird auf ein Feld gelegt. Kaninchen können sich im Alter von einem Monat paaren, so dass am Ende des zweiten Monats ein Weibchen ein weiteres Kaninchenpaar produzieren kann., Angenommen, unsere Kaninchen sterben nie und das Weibchen produziert ab dem zweiten Monat jeden Monat ein neues Paar (ein Männchen, ein Weibchen). Das Rätsel, das Fibonacci stellte, war… Wie viele Paare wird es in einem Jahr geben?

• Am Ende des ersten Monats paaren sie sich, aber es gibt immer noch nur 1 Paar.
• Am Ende des zweiten Monats produziert das Weibchen ein neues Paar, also gibt es jetzt 2 Kaninchenpaare.
• Am Ende des dritten Monats produziert das ursprüngliche Weibchen ein zweites Paar und macht insgesamt 3 Paare.,
• Am Ende des vierten Monats hat das ursprüngliche Weibchen produziertjetzt ein weiteres neues Paar, das vor zwei Monaten geborene Weibchen produzierte auch ihr erstes Paar und machte 5 Paare.

Stellen Sie sich nun vor, dass es Hasenpaare nach Monaten gibt. Die Anzahl der Paare im Monat ist (bei diesem Problem sterben Kaninchen nie) plus die Anzahl der geborenen neuen Paare. Aber neue Paare werden nur zu Paaren geboren, die mindestens 1 Monat alt sind, also wird es neue Paare geben., Wir haben also

Dies ist einfach die Regel zum Generieren der Fibonacci-Zahlen: Fügen Sie die letzten beiden hinzu, um die nächsten zu erhalten. Im Anschluss daran werden Sie feststellen, dass es nach 12 Monaten (oder 1 Jahr) 233 Kaninchenpaare geben wird.

die Bienen sind besser

Das Kaninchen problem ist natürlich sehr konstruiert, aber die Fibonacci-Folge kommt in realen Populationen. Honigbienen geben ein Beispiel., In einer Kolonie von Honigbienen gibt es eine besondere Frau namens Königin. Die anderen Weibchen sind Arbeiterbienen, die im Gegensatz zur Bienenkönigin keine Eier produzieren. Die männlichen Bienen, machen keine Arbeit und werden als Drohnen-Bienen.

Männchen werden von den unbefruchteten Eiern der Königin produziert, so dass männliche Bienen nur eine Mutter, aber keinen Vater haben. Alle Weibchen werden produziert, wenn sich die Königin mit einem Männchen gepaart hat und so zwei Elternteile hat., Weibchen enden normalerweise als Arbeiterbienen, aber einige werden mit einer speziellen Substanz namens Gelée Royale gefüttert, die sie zu Königinnen werden lässt, die bereit sind, eine neue Kolonie zu gründen, wenn die Bienen einen Schwarm bilden und ihr Zuhause (einen Bienenstock) verlassen auf der Suche nach einem Ort, um ein neues Nest zu bauen. Weibliche Bienen haben also zwei Elternteile, ein Männchen und ein Weibchen, während männliche Bienen nur ein Elternteil haben, ein Weibchen.

schauen wir uns den Stammbaum des männlichen drone bee.

Er hat 1 Elternteil, eine Frau.
Er hat 2 Großeltern, da seine Mutter hatte zwei Eltern, eine männliche und eine weibliche.,
Er hat 3 Urgroßeltern: seine Großmutter hatte zwei Eltern, aber sein Großvater hatte nur einen.
Wie viele Ur-Ur-Großeltern hatte er?,“>

Anzahl der Eltern Großeltern Ur-
Großeltern Ur-Ur-
Großeltern Ur-Ur-Ur-
Großeltern einer MÄNNLICHEN Biene 1 2 3 /td> 5 8 einer WEIBLICHEN Biene 2 3 5 8 13

Spiralen und Schalen

Bienenpopulationen sind nicht der einzige Ort in der Natur, an dem Fibonacci-Zahlen vorkommen, sie erscheinen auch in den schönen Formen von Muscheln., Um dies zu sehen, bauen wir ein Bild auf, beginnend mit zweikleine Quadrate der Größe 1 nebeneinander. Oben auf diesen beiden zeichnen Sie ein Quadrat der Größe 2 (=1+1). Wir können jetzt ein neues Quadrat zeichnen – indem wir sowohl eines der Einheitsquadrate als auch das neueste Quadrat der Seite 2 berühren, wobei die Seiten 3 Einheiten lang sind; und dann ein anderes, das sowohl das 2-Quadrat als auch das 3-Quadrat berührt (das Seiten von 5 Einheiten hat). Wir können weiter hinzufügenquares um das Bild, jedes neue Quadrat mit einer Seite, die so lang ist wie die Summe der letzten beiden Quadrate Seiten., Dieser Satz Vonrechtecke, deren Seiten zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen in der Länge sindund die aus Quadraten mit Seiten bestehen, die Fibonacci-Zahlen sind, werden wir die Fibonacci-Rechtecke nennen.

Wenn wir jetzt ein Viertel eines Kreises in jedem Quadrat zeichnen, können wir als Teil einer Spirale aufbauen. Die Spirale ist keine echte mathematische Spirale (da sie besteht Ausfragmente, die Teile von Kreisen sind und nicht weitergehensmaller und kleiner), aber es ist eine gute Annäherung an eine Art Vonspiral, das oft in der Natur erscheint., Solche Spiralen (logarithmische Spiralen genannt) sind in derForm von Muscheln von Schnecken und Muscheln. Das Bild unten eines Querschnitts einer Nautilus-Schale zeigt die spiralförmige Kurve der Schale und die inneren Kammern, die das Tier, das es verwendet, hinzufügt, wenn es wächst. Die Kammern sorgen für Auftrieb im Wasser.

die Fibonacci-zahlen Tauchen auch in Pflanzen und Blumen. Einige Pflanzen verzweigen sich so, dass sie immer eine Fibonacci-Anzahl habender Wachstumspunkte. Blumen haben oft eine große Anzahl von Blütenblättern, Gänseblümchen können 34, 55 oder sogar 89 Blütenblätter haben!,

Ein besonders schönes Aussehen der Fibonacci-Zahlen findet sich in den Samen eines Samenkopfes. Wenn Sie das nächste Mal eine Sonnenblume sehen, sehen Sie sich die Anordnung der Samen in der Mitte an. Sie scheinen sich sowohl nach links als auch nach rechts nach außen zu drehen.

Am Rand wenn Sie von diesem Bild einer Sonnenblume die Kurven der Samen zählen, die nach links spiralförmig sind, wenn Sie nach außen gehen, gibt es 55 Spiralen., An der gleichen Stelle gibt es 34 Spiralen von Samen spiralförmig nach rechts.Etwas weiter in Richtung Zentrum können Sie 34 Spiralen nach links und 21 Spiralen nach rechts zählen. Das Zahlenpaar (Zählung links und rechts) ist (fast immer) Nachbarn in der Fibonacci-Reihe.

Das gleiche passiert in vielen Samen – und Blütenköpfen in der Natur., Der Grund scheint zu sein, dass diese Anordnung eine optimale Verpackung der Samen bildet, so dass, egal wie groß der Samenkopf, sie in jedem Stadium gleichmäßig verpackt sind, alle Samen die gleiche Größe haben, keine Überfüllung in der Mitte und nicht zu spärlich an den Rändern.

Die Natur scheint dasselbe Muster zu verwenden, um Blütenblätter am Rand einer Blume anzuordnen und Blätter um einen Stiel zu platzieren. Darüber hinaus erhalten alle diese ihre Effizienz, wenn die Pflanze weiter wächst, und das ist eine Menge von asingle Prozess zu fragen! Wie wachsen Pflanzen, um diese Optimalität des Designs aufrechtzuerhalten?,

Goldenes Wachstum

Botaniker haben gezeigt, dass Pflanzen aus einer einzigen winzigen Gruppe von Zellen direkt an der Spitze einer wachsenden Pflanze wachsen, die Meristem genannt wird. Am Ende jedes Zweigs oder Zweigs befindet sich ein separates Meristem, in dem neue Zellen gebildet werden. Einmal gebildet, wachsen sie in der Größe, aber neue Zellen werden nur an solchen Wachstumspunkten gebildet. Zellen früher im Stamm dehnen sich aus und so steigt der Wachstumspunkt.Außerdem wachsen diese Zellen spiralförmig: Es ist, als ob sich das Meristem um einen Winkel dreht, eine neue Zelle erzeugt, sich wieder um den gleichen Winkel dreht, eine neue Zelle erzeugt und so weiter., Diese Zellen können dann zu einem Samen, einem neuen Blatt, einem neuen Zweig oder vielleicht auf einer Blume zu Blütenblättern und Staubblättern werden.

Das Erstaunliche ist, dass ein einziger fester Drehwinkel das optimale Design erzeugen kann, egal wie groß die Pflanze wächst., Das Prinzip, dass ein einziger Winkel gleichmäßige Packungen erzeugt, egal wie viel Wachstum auftritt, wurde bereits im letzten Jahrhundert vermutet, aber erst 1993 von Stéphane Douady und Yves Couder, zwei französischen Mathematikern, mathematisch bewiesen. Wenn Sie 0,618 einer Umdrehung machen, bevor Sie ein neues Saatgut (oder Blatt, Blütenblatt usw.) produzieren, wird die optimale Verpackung der Samen unabhängig von der Größe des Samenkopfes erzielt. Aber woher kommt diese magische Zahl 0.618?,

Das goldene Verhältnis

Wenn wir das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen in der Fibonacci-Reihe nehmen und jede durch die Zahl davor dividieren, finden wir die folgende Zahlenreihe:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

Wenn Sie ein Diagramm dieser Werte zeichnen, werden Sie sehen, dass sie zu einer Grenze zu neigen scheinen, die wirkalle das goldene Verhältnis (auch bekannt als goldennumber und goldener Abschnitt).

Es hat den Wert ( ungefähr 1.618034) und wird oft durch einen griechischen Buchstaben Phi dargestellt, geschrieben als . Der eng verwandte Wert, den wir als , ein Kleinbuchstabe phi, schreiben, ist nur der Dezimalteil von Phi, nämlich 0.618034… (), die Zahl, die die Spiralen in den Saatköpfen und die Anordnung der Blätter in vielen Pflanzen ausmacht. Aber warum sehen wir Phi in so vielen Pflanzen?

Die Zahl Phi (1.618034…) und damit auch phi (0.618034…,), sind irrationale Zahlen: Sie können nicht als einfacher Bruch geschrieben werden. Mal sehen, was passieren würde, wenn das Meristem in einem Samenkopf stattdessen um eine einfachere Zahl gedreht würde, zum Beispiel den Bruch 1/2. Nach zwei Umdrehungen durch einen halben Kreis wären wir wieder dort, wo der erste Samen produziert wurde. Im Laufe der Zeit würde das Drehen um eine halbe Umdrehung zwischen den Samen einen Samenkopf mit zwei Armen erzeugen, die von einem zentralen Punkt ausstrahlen und viel Platz verschwenden.

Ein fruchtstand produziert von 0.,5=1/2 Umdrehungen zwischen den Samen: alternative Samen aufstellen.

Ein Samenkopf von 0,48=12/25 Umdrehungen zwischen den Samen: Die Samen bilden zwei Dreharme.

Ein Samenkopf, der von 0,6=3/5 Umdrehungen zwischen den Samen erzeugt wird: Die Samen bilden 5 gerade Arme.,

Ähnliches passiert für jeden anderen einfachen Bruchteil einer Umdrehung: Samen wachsen in spiralförmigen Armen, die viel Platz zwischen ihnen lassen (die Anzahl der Arme ist der Nenner der bruchteil). Der beste Wert für die Umdrehungen zwischen den Samen ist also eine irrationale Zahl. Aber nicht jede irrationale Zahl reicht aus. Zum Beispiel scheint der mit Pi-Umdrehungen pro Samen erzeugte Samenkopf sieben spiralförmige Samenarme zu haben., Dies liegt daran, dass 22/7 eine sehr gute rationale Annäherung an pi ist.

Was benötigt wird, um keinen Platz zu verschwenden, ist eine irrationale Zahl, die nicht gut durch eine rationale Zahl angenähert wird. Und es stellt sich heraus, dass Phi (1.618034…) und sein Dezimalteil phi (0.618034…) sind die „irrationalsten“ aller irrationalen Zahlen. (Finden Sie heraus, warum Chaos im land, Anzahl: das geheime Leben der kettenbrüche.) Aus diesem Grund gibt eine Umdrehung von Phi die optimale Verpackung von Samen und Blättern in Pflanzen., Es erklärt auch, warum die Fibonacci-Zahlen in den Blattanordnungen und als Anzahl der Spiralen in Seedheads erscheinen. Benachbarte Fibonacci-Zahlen geben die besten Approximationen des goldenen Verhältnisses. Sie sind abwechselnd der Nenner der Näherungen und definieren die Anzahl oder Spiralen, wenn die Samenköpfe an Größe zunehmen.

Wie haben so viele Pflanzen diese schöne und nützliche Zahl entdeckt, Phi?Offensichtlich nicht von der Lösung der Mathematik wie Fibonacci., Stattdessen gehen wir davon aus, dass sich die Evolution, so wie sich das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen zufällig auf dem goldenen Verhältnis niederschlägt, allmählich auch auf der richtigen Zahl niederlässt. Das Erbe von Leonardo Pisano, auch bekannt als Fibonacci, liegt im Herzen jeder Blume sowie im Herzen unseres Zahlensystems.

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Über diesen Artikel

Dieser Artikel basiert auf Material von Dr R., Knott, der zuvor Dozent am Department of Computing Studies der University of Surrey war. Knott startete die Website zu Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt in 1996 als Experiment zur Nutzung des Internets, um mehr mathematische Untersuchungen sowohl innerhalb als auch außerhalb der Schulzeit zu inspirieren und zu fördern. Es ist seitdem gewachsen und deckt jetzt viele andere Themen ab, alle mit interaktiven Elementenund Online-Taschenrechnern. Obwohl jetzt im Ruhestand, Knott noch unterhält und erweitert die Web-Seiten., Derzeit ist er Visiting Fellow an der University of Surrey und hält Vorträge im ganzen Land an Schulen, Universitäten, Konferenzen und Mathematik Gesellschaften. Er geht auch gerne spazieren, macht Erholung, baut Dinge zum Essen auf und kocht sie.