Finite-Elemente-Methode – Was ist das? FEM und FEA erklärten

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist eine numerische Technik, die zur Durchführung der Finite-Elemente-Analyse (FEA) eines bestimmten physikalischen Phänomens verwendet wird.

Es ist notwendig, Mathematik zu verwenden, um physikalische Phänomene wie strukturelles oder flüssiges Verhalten, thermischen Transport, Wellenausbreitung und das Wachstum biologischer Zellen umfassend zu verstehen und zu quantifizieren. Die meisten dieser Prozesse werden unter Verwendung von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) beschrieben., Für einen Computer zur Lösung dieser PDEs wurden jedoch in den letzten Jahrzehnten numerische Techniken entwickelt, und eine der bekanntesten ist heute die Finite-Elemente-Methode.,

Finite-Elemente-Methodenanwendungen der Finite-Elemente-Methode

Die Finite-Elemente-Methode begann mit signifikanten Verbesserungen bei der Modellierung mehrerer mechanischer Anwendungen in Bezug auf Luft-und Raumfahrt.tiefbau. Die Anwendungen der Finite-Elemente-Methode beginnen erst jetzt ihr Potenzial zu erreichen., Eine der aufregendsten Perspektiven ist die Anwendung bei gekoppelten Problemen wie der Wechselwirkung zwischen Fluid und Struktur, thermomechanischen, thermochemischen, thermo-chemomechanischen Problemen, Biomechanik, Biomedizintechnik, piezoelektrischen, ferroelektrischen und elektromagnetischen Problemen.

In den letzten Jahrzehnten wurden viele alternative Methoden vorgeschlagen, deren kommerzielle Anwendbarkeit jedoch noch nicht bewiesen ist. Kurz gesagt, FEM hat gerade einen Blick auf das Radar gemacht!

Bevor Sie mit den Differentialgleichungen beginnen, müssen Sie unbedingt den Artikel über die FEA-Software im SimWiki lesen., Es beginnt mit den Grundlagen und geht allmählich zu den Differentialgleichungen über.

FEM-Gleichungen Partielle Differentialgleichungen

Erstens ist es wichtig, die verschiedenen Arten von PDEs und ihre Eignung für die Verwendung mit FEM zu verstehen. Dies zu verstehen ist besonders wichtig für alle, unabhängig von der Motivation für die Verwendung der Finite-Elemente-Analyse. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass FEM ein Werkzeug ist und jedes Werkzeug nur so gut ist wie sein Benutzer.

PDEs können als elliptisch, hyperbolisch und parabolisch kategorisiert werden., Bei der Lösung dieser Differentialgleichungen müssen Grenz-und / oder Anfangsbedingungen angegeben werden. Basierend auf der Art der PDE können die erforderlichen Eingaben ausgewertet werden. Beispiele für PDEs in jeder Kategorie sind die Poisson-Gleichung (elliptisch), die Wellengleichung (hyperbolisch) und das Fourier-Gesetz (parabolisch).

Es gibt zwei Hauptansätze zur Lösung von elliptischen PDEs, nämlich die Finite Difference-Methoden (FDM) und Variations – (oder Energie -) Methoden. FEM fällt in die zweite Kategorie. Variationsansätze basieren in erster Linie auf der Philosophie der Energieminimierung.,

Hyperbolische PDEs sind häufig mit Sprüngen in Lösungen verbunden. Zum Beispiel ist die Wellengleichung eine hyperbolische PDE. Aufgrund des Vorhandenseins von Diskontinuitäten (oder Sprüngen) in Lösungen wurde angenommen, dass die ursprüngliche FEM-Technologie (oder Bubnov-Galerkin-Methode) zur Lösung hyperbolischer PDEs ungeeignet ist. Im Laufe der Jahre wurden jedoch Modifikationen entwickelt, um die Anwendbarkeit der FEM-Technologie zu erweitern.

Bevor diese Diskussion abgeschlossen wird, muss die Konsequenz der Verwendung eines für den PDE-Typ ungeeigneten numerischen Rahmens berücksichtigt werden., Eine solche Verwendung führt zu Lösungen, die als „unsachgemäß“ bezeichnet werden.“Dies könnte bedeuten, dass kleine Änderungen der Domänenparameter zu großen Schwingungen in den Lösungen führen oder dass die Lösungen nur in einem bestimmten Teil der Domäne oder Zeit existieren, die nicht zuverlässig sind. Gut gestellte Explikationen sind definiert als solche, bei denen kontinuierlich eine eindeutige Lösung für die definierten Daten vorhanden ist. In Anbetracht der Zuverlässigkeit ist es daher äußerst wichtig, gut gestellte Lösungen zu erhalten.,

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FEM-Prinzip der Energieminimierung

Wie funktioniert FEM? Was ist die primäre treibende Kraft? Das Prinzip der Energieminimierung bildet das primäre Rückgrat der Finite-Elemente-Methode. Mit anderen Worten, wenn eine bestimmte Randbedingung auf einen Körper angewendet wird, kann dies zu mehreren Konfigurationen führen, aber dennoch ist nur eine bestimmte Konfiguration realistisch möglich oder erreicht., Selbst wenn die Simulation mehrmals durchgeführt wird, überwiegen die gleichen Ergebnisse. Warum ist das so?

Dies wird durch das Prinzip der Minimierung der Energie geregelt. Es besagt, dass, wenn eine Randbedingung (wie Verschiebung oder Kraft) angewendet wird, von den zahlreichen möglichen Konfigurationen, die der Körper annehmen kann, nur die Konfiguration, bei der die Gesamtenergie minimal ist, diejenige ist, die gewählt wird.,

Finite-Elemente-Methode Geschichte der Finite-Elemente-Methode

Technisch gesehen hat FEM je nach Perspektive bereits im 16. Die frühesten mathematischen Arbeiten über FEM finden sich jedoch in den Werken von Schellback und Courant .

FEM wurde von Ingenieuren unabhängig entwickelt, um strukturmechanische Probleme im Zusammenhang mit Luft-und Raumfahrt und Bauingenieurwesen zu lösen. Die Entwicklungen begannen Mitte der 1950er Jahre mit den Arbeiten von Turner, Clough, Martin und Topp , Argyris sowie Babuska und Aziz ., Die Bücher von Zienkiewicz und Strang sowie Fix legten auch den Grundstein für die zukünftige Entwicklung in FEM.

Ein interessanter Rückblick auf diese historischen Entwicklungen findet sich in Oden. Ein Rückblick auf die FEM-Entwicklung der letzten 75 Jahre findet sich in diesem Blogartikel: 75 Jahre Finite-Elemente-Methode.

Technische FEM Technischen Überblick über die Finite-Element-Methode

Finite-element-Methode ist in sich selbst ein semester Kurs. In diesem Artikel wird eine kurze Beschreibung des Mechanismus von FEM beschrieben. Betrachten Sie ein einfaches 1-D-Problem, um die verschiedenen Phasen der FEA darzustellen.,

Schwache Form

Einer der ersten Schritte in FEM besteht darin, die mit dem physikalischen Phänomen verbundene PDE zu identifizieren. Die PDE (oder Differentialform) ist bekannt als die starke Form und die integrale Form ist bekannt als die schwache Form. Betrachten Sie die einfache PDE, wie unten gezeigt. Die Gleichung wird auf beiden Seiten mit einer Testfunktion v(x) multipliziert und in die Domäne integriert .,

Jetzt, mit integration von teile, die LHS der oben gleichung kann reduziert werden zu

Wie man sehen kann, wird die Reihenfolge der Kontinuität, die für die unbekannte Funktion u(x) benötigt wird, um eins reduziert. Die frühere Differentialgleichung erforderte, dass u(x) mindestens zweimal differenzierbar war, während die Integralgleichung nur einmal differenzierbar war., Dasselbe gilt für mehrdimensionale Funktionen, aber die Ableitungen werden durch Gradienten und Divergenz ersetzt.

Ohne auf die Mathematik einzugehen, kann der Riesz-Darstellungssatz beweisen, dass es für u(x) eine einzigartige Lösung für das Integral und damit die Differentialform gibt. Wenn f(x) glatt ist, wird außerdem sichergestellt, dass u(x) glatt ist.

Diskretisierung

Sobald die integrale oder schwache Form eingerichtet wurde, ist der nächste Schritt die Diskretisierung der schwachen Form., Die Integralform muss numerisch gelöst werden und daher wird die Integration in eine Summation umgewandelt, die numerisch berechnet werden kann. Darüber hinaus besteht eines der Hauptziele der Diskretisierung darin, die integrale Form in eine Reihe von Matrixgleichungen umzuwandeln, die mit bekannten Theorien der Matrixalgebra gelöst werden können.

Wie in Fig., 03 wird die Domäne in kleine Stücke unterteilt, die als „Elemente“ bekannt sind, und der Eckpunkt jedes Elements wird als „Knoten“bezeichnet. Die unbekannten funktionellen u (x) werden an den Knotenpunkten berechnet. Interpolationsfunktionen werden für jedes zu interpolierende Element für Werte innerhalb des Elements unter Verwendung von Knotenwerten definiert. Diese Interpolationsfunktionen werden auch häufig als Shape-oder Ansatzfunktionen bezeichnet., Somit kann das unbekannte funktionale u(x) auf

reduziert werden, wobei nen die Anzahl der Knoten im Element, Ni und ui die Interpolationsfunktion bzw. Unbekannte sind, die dem Knoten i zugeordnet sind., form kann umgeschrieben werden als

Die Summationsschemata können in Matrixprodukte umgewandelt und als

Die schwache Form kann nun auf eine Matrixform reduziert werden {u} = {f}

Beachten Sie oben, dass die frühere Testfunktion v(x), die multipliziert worden war, existiert nicht mehr in der resultierenden Matrixgleichung., Auch hier ist die Steifigkeitsmatrix bekannt, {u} ist der Vektor der Knotenwissenden und {R} ist der Restvektor. Ferner werden unter Verwendung numerischer Integrationsschemata, wie Gauss-oder Newton-Cotes-Quadratur, die Integrationen in der schwachen Form, die die Tangensensteifigkeit und den Restvektor bildet, ebenfalls leicht gehandhabt.

Bei der Auswahl von Interpolationsfunktionen ist viel Mathematik beteiligt, was Kenntnisse über Funktionsräume (wie Hilbert und Sobolev) erfordert. Für weitere Details in dieser Hinsicht sind die Referenzen im Artikel „Wie kann ich Finite-Elemente-Analyse lernen?,“werden empfohlen.

Löser

Sobald die Matrixgleichungen festgelegt wurden, werden die Gleichungen an einen Löser weitergegeben, um das Gleichungssystem zu lösen. Je nach Art des Problems werden im Allgemeinen direkte oder iterative Löser verwendet. Eine detailliertere Übersicht über die Löser und ihre Funktionsweise sowie Tipps zur Auswahl finden Sie im Blogartikel “ Wie wähle ich Löser aus: Direkt oder iterativ?,“

Arten von FEM Verschiedene Arten von Finite-Elemente-Methoden

Wie bereits erörtert, hat die traditionelle FEM-Technologie Mängel bei der Modellierung von Problemen im Zusammenhang mit Strömungsmechanik und Wellenförmigkeit gezeigt.ausbreitung. In letzter Zeit wurden mehrere Verbesserungen vorgenommen, um den Lösungsprozess zu verbessern und die Anwendbarkeit der Finite-Elemente-Analyse auf eine Vielzahl von Problemen zu erweitern., Einige der wichtigsten noch verwendet werden, sind:

Extended Finite Element Method (XFEM)

Bubnov-Galerkin Methode erfordert Kontinuität der Verschiebung über Elemente. Obwohl Probleme wie Kontakt, Bruch und Beschädigung Diskontinuitäten und Sprünge beinhalten, die nicht direkt mit der Finite-Elemente-Methode behandelt werden können. Um dieses Manko zu überwinden, wurde XFEM in den 1990er Jahren geboren.XFEM arbeitet durch die Erweiterung der Formfunktionen mit Heaviside step functions. Den Knoten um den Punkt der Diskontinuität werden zusätzliche Freiheitsgrade zugewiesen, so dass die Sprünge berücksichtigt werden können.,

Generalized Finite Element Method (GFEM)

GFEM eingeführt wurde um die gleiche Zeit wie XFEM in den 90er Jahren. Es kombiniert die Funktionen der traditionellen FEM-und meshless-Methoden. Shape-Funktionen werden in erster Linie durch die globalen Koordinaten definiert und weiter mit Partition-of-Unity multipliziert, um lokale Elementformfunktionen zu erstellen. Einer der Vorteile von GFEM ist die Verhinderung einer erneuten Vernetzung um Singularitäten.

Gemischte Finite-Elemente-Methode

Bei mehreren Problemen, wie Kontakt oder Inkompressibilität, werden Einschränkungen mit Lagrange-Multiplikatoren auferlegt., Diese zusätzlichen Freiheitsgrade, die sich aus Lagrange-Multiplikatoren ergeben, werden unabhängig voneinander gelöst. Das Gleichungssystem ist wie ein gekoppeltes Gleichungssystem gelöst.

hp-Finite-Elemente-Methode

hp-FEM ist eine Kombination aus automatischer Netzveredelung (h-Verfeinerung) und einer Erhöhung der Polynomreihenfolge (p-Verfeinerung). Dies ist nicht dasselbe wie h – und p – Verfeinerungen separat. Wenn eine automatische hp-Verfeinerung verwendet wird und ein Element in kleinere Elemente unterteilt ist (h-Verfeinerung), kann jedes Element auch unterschiedliche Polynomordnungen haben.,

Diskontinuierliche Galerkin-Finite-Element-Methode (DG-FEM)

DG-FEM hat gezeigt, signifikante Versprechen für die Nutzung der Idee der Finiten Elemente für hyperbolische Gleichungen lösen, in denen die traditionellen finite-element-Methoden wurden schwach. Darüber hinaus hat es auch Verbesserungen bei Biege-und inkompressiblen Problemen gezeigt, die typischerweise bei den meisten Materialprozessen beobachtet werden. Hier werden der schwachen Form zusätzliche Einschränkungen hinzugefügt, die einen bestimmten Parameter (um eine Durchdringung zu verhindern) und Begriffe für ein anderes Spannungsgleichgewicht zwischen den Elementen enthalten.,

FEM Schlussfolgerung

Wir hoffen, dass dieser Artikel die Antworten auf Ihre wichtigsten Fragen zur Finite-Elemente-Methode behandelt hat. Wenn Sie es in der Praxis sehen möchten, bietet SimScale die Möglichkeit Finite-Elemente-Analysen im Webbrowser durchzuführen. Um alle Funktionen der Cloud-basierten Simulationsplattform SimScale zu entdecken, laden Sie diese Übersicht herunter oder sehen Sie sich die Aufzeichnung eines unserer Webinare an.

Materialien für den Einstieg in SimScale finden Sie im Blogartikel „9 Lernressourcen für den Einstieg in Engineering Simulation“.,